Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда А'=А, т. е. ав= а„при всех 1, я. Такая матрица называется э р м и т о в о й. Таким образом, если А— эрмитова матрица, то ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, являются к о м п л е ко н о-с о и р я ж е н н ы м и В частности, элементы главной диагонали вещественны, так как а„= аи при всех й Пример эрмитовой матрицы: 1 — 1 О 3+21 Итак, матрица зрмитова оператора в любом ортонормированном базисе является зрмитовой. Очевидно, что и, обратно, линейный оператор, матрица которого в каном-то ортонормированном базисе является зрмитовой,— зрмитов. Т е о р е м а 4' Собственные значения самосопряженного (эрмитова) оператора вещественны.
Доказательство этой теоремы для комплексного пространства совсем просто. В самом деле, пусть х — собственный вектор и Л вЂ” соответствующее ему собственное значение эрмитова оператора Ф, тогда (мах, х) = (х, Фх), или (Ах, х) = (х, Хх), откуда Х(х, х) = й(х, х), и так как (х, х) Ф О, то Х = Х, т.
е. А — вещественно. Таким образом, спектр самосопряженного оператора (и в вещественном, и в комплексном пространствах) расположен на вещественной оси. Далее так же, как для вещественного пространства, в комплексном случае доказывается. ОРТОГОНАЛЬНЫИ ОПЕРАТОР 173 Теор ем а 5'. Матрица самосопряженного (зрмитова) оператора в некотором ортонормированном базисе приводится к диагональному виду (где все диагональные элементы в е ш е с т в е н н ы) . й 4. Ортогональный оператор В этом параграфе евклидова пространство )т предполагается вещественным.
Определение 4. Линейный оператор Ф в вещественном евклидовом пространстве гс называется ортогональным, если (зьх, .Фу) = (х, у) для всех х, у из )г. Таким образом, ортогональиый оператор сохраняет скалярное произведение, и значит, он сохраняет длины векторов и углы между ними. Если Ф вЂ” ортогональный оператор и,Ф' — сопряженный ему оператор, то (х, у) = (Фх, зэу) — (х, зг*зэу) для всех х, уев Й.
Следовательно, зР*Ф =о — по лемме из 52, или Ф* = мг-'. При этом равенство Ф* =за ' является необходимым и достаточным условием для того, чтобы линейный оператор зэ был ортогональным. Отсюда, в частности, видно, что ортогональный оператор всегда невырожденный. Свойства ортогональных операторов. ), Тождественный оператор 4У является ортогональным, так как 8'х = х для всякого х, и значит, (о'х,о у) = (х, у). 2. Произведение ортогональных операторов является ортогональным, так как если операторы Ф и Я ортогональны, то (зйМх, ФМу) = (Ях, яу) = (х, у), 174 ОпеРАтОРы В ВВклидОВОм пРОстРАнстВВ 1гл.
ч 3. Оператор, обратный ортогональному оператору, тоже является ортогональным, так как если Фь =.я~-', то (ма-') ь = (Фь)-1 = (зй-1)-1 (см. п. 4 из $2). 4. Если Ф вЂ” ортогональный оператор, то произведение аФ будет ортогональным в том и только в том случае, если а = ~1, — это видно из равенства (а.Фх, а,Фу) = ит(Фх, Фу) = а'(х, у). Ясно, что ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный. Покажем, что верно и обратное: линейный оператор Ф, переводящий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, является ортогональным. Действительно, пусть ортонормированный базис еь е, ..., е„ оператором Ф переводится в ортонормирован- Р Ф ный базис е,, е„...,е„.
Тогда, если х = х1е~ + хтег+... + х„е„, у = у1е1 + уьез +... + у„е„, то Р У ~ х = х,е, + х,е, + ... + х,е„ Р У Р в~у = у,е, + у,е, + ... + у„е„ (Фх, злу) = х1у1 + хтут+... + х„у„= (х, у) . Пусть А = (а,„] — матрица ортогонального оператора в ортоиормированном базисе еь еы..., е„. Так как под действием ортогонального оператора ортонормироваиный базис переходит в ортонормированный, то образы замен,Феи ..., Фе„базисных векторов еь еы ..., е„ сами образуют ортонормированный базис.
А значит, (лаеь .Фе,) = О при 1Ф й и (Феь маг<) = 1 при всех 1, т. е. аиа„+ аваг*+... + а.,а„„= О при (чьМ (2) аы + а',1 + ... + а„'1 = 1 при всех Таким образом, столбцы матрицы А, рассматриваемые как векторы, сами образуют ортонормирова инуюю систему. Это же верно и для строк. Действительно, если Ф вЂ” ортогональный оператор, то Ф' =Ф-1 — оператор тоже ортогональный, и значит, ОРтогоньльныи Опвихтоь 175 столбцы матрицы Аь, т. е. строки матрицы А, тоже образуют ортонормированную систему: апаь1+ апаа+ .. + а,„а,„= 0 пРи 1Фй и (3) а<, + аьм + ... + а(„ = 1 при всех Матрица А, для которой А' = А-', называется ортогональной матрицей; она характеризуется соотношениями (2) и (равносильными им) соотношениями (3).
Мы показали, что матрица ортогонального оператора в любом оргонормированном базисе является ортогональной; обратно, если в каком-то ортонормированном базисе матрица оператора мс ортогональна: А-' = А', то мс ' = Ф*, и оператор Ф является ортогональным. Теорема 6. Если надпространство Я, инвириантно относительно ортогонального оператора .Ф, то его ортогональное дополнение Е1~ тоже инвариантно относительно .Ф. Доказательство.
Так как .Ф вЂ” ортогональный оператор, то Ф-' =.м1*. По теореме 1, подпространство й," инвариантно относительно оператора Ф* = .Ф-'1 но в таком случае в силу теоремы 5 главы Ш оно инвариантно и относительно (Ф-')-' = Ф. Теорема 7. Собственные значения ортогональноео оператора равны ~1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х — собственный вектор и к — соответствующее ему собственное значение ортогонального оператора Ф. Тогда (х, х) = (Фх, Фх) = (Хх, Хх) = У(х, х), откуда получаем (поскольку (х, х) Ф 0) У=1 и А=~1. Теорема 8. Определитель ортогональной матрицы равен ~ 1. Доказательство.
Из равенства АА'= Е следует, что 1А) 1А') = 1АА'1 = 1Е! = 1. Но так как 1А'( = )А), то )А)'=1 и 1А) = ~1. ОРтОГОНАльныи опеРАтоР 177 н диагональному виду. Но таи как собственные значе- ния здесь находятся непосредственно: 1 сов <р — Х з1п я $1пф с05ф — Ц отнуда Х = ~ 1, то матрица преобразования ,Ф приве- де А=~ (4б) Произвольный вектор х, в иовом базисе равный х!е1+ +х,еь пРеобРазУетсЯ в х'= х1е! — хгеь Это — симметрия относительно прямой, определяемой вектором е! — первым базисным вектором нового базиса (рис. 14).
Таким образом, ортогональное преобразование плоскости — зто либо и о в ар о т вокруг начала координат на некоторый угол. !р (в частности, т о ж д е с т- 1 венное преобразо- 1 ванне или центральная симметрия; опре- в 1 делитель такого преобразо- 1 вания равен +!), либав 1 осевая симметрия Ю (с определителем, рав- Рас. !4. ным — 1).
Из доказанного, в частности, вытекают две теоремы (плоской) элементарной геометрии: 1. Произведение двух осевых симметрий является поворотом вокруг точки пересечения осей симметрии (таи как это — ортогональное преобразование с определителем, равным + 1). 2. Произведение поворота и симметрии, ось которой проходит через центр поворота, является симметрией относительно некоторой новой оси, проходки(ей через ту асе точку (тан нак зто — ортогональное преобразование с определителем, равным — 1). Перейдем теперь и общему случаю ортогонального оператора, действующего в и-мерном евклидовом прост.
ранстве. 178 ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч Теорема 9. Матрица ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе приводится к виду 1 1 -1 сс522, -зоп 2Р В1п 'Т с05 2Р соз 2Р -з1п 2Р 2 2 51п ф ссз2Р (3) сс5 Ч~ -52п 2Р 2 2 51п ц~„созу„ (Все остальные элементы этой матрицы равны нулю.) Доказательство проведем методом математической индукции. Мы уже установили справедливость этой теоремы при и = 1 и л= 2. Предположим, что теорема верна для всех пространств, размерность которых меньше л, и пусть )т — л-мерное евклидова пространство и лФ вЂ” действующий в нем ортогональный оператор.
Возможны два случая. 1. Оператор Ф имеет вещественное собственное значение (это обязательно будет так, если л нечетно): А = ~ 1. Пусть е1 — соответствующий (единичный) собственный вектор (тогда Фе| = ~е1) и )т1 — порожденное вектором е, одномерное подпространство. В силу теоремы 6, (л — 1)-мерное надпространство )т~т инвариантно относительно,Ф. Ясно, что и в нем Ф будет ортогональным оператором.
По предположению индукции, в 1ТТ можно найти ортонормированный базис еь ез... „ е„, в котором матрица оператора Ф приведется к виду (б). Учитывая замечание, сделанное в 9 7 главы П1, получаем, что (возможно, после соответствующего изменения нумерации базисных векторов) матрица оператора мс во всем пространстве )т в некотором ортонормированном базисе приведется к виду (5). 2.
Оператор Ф не имеет вещественных собственных значении. По теореме 8 из главы П1, в )г найдется двумерное инвариантное подпространство )1П По доказанному выше, в плоскости )1, можно найти ортонормнро- ОРТОГОНАЛЬНЫН ОПЕРАТОР 17Э 1 1 1 — 1 1 н нескольких матриц вида 1 1 .! 505 Ч1 — 51п 1Р 51П 1Р 505 1Р 1 (7) то ортогональное преобразование Ф можно осуществить, произведя последовательно несколько симметрий ванный базис е1, ез, в котором матрица оператора Ф приведется к виду (4а).
(Другой случай, (46), здесь невозможен, так как, по предяоложению, оператор Ф не имеет вещественных собственных значений.) Подпространство )т5~ инвариантно относительно Ф. По предположению индукции, в )5~~ можно найти такой ортонормированный базис Е5, еь ..., е„, в котором матрица оператора Ф приведется к виду (5). (В этом слу. чае л обязательно четно, н на главной диагонали этой матрицы совсем не будет чисел 1 и — 1.) Ввиду замечания нз $ 7 главы П1 матрица оператора .Ф всего пространства )г в ортонормнрованном базисе еь ез,..., е„ приведется к виду (5). Геометрический смысл ортогонального преобразования виден нз последней теоремы. Так как каждая матрица вида (5) является произведением нескольких матриц вида 1ЭО опееатоны в евклидовом пностнлнстве !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
