Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для любого вектора х скалярный квадрат (х, х) ~ О, и из равенства (х, х) = О вытекает, что х=О, называется евклидовым векторным пространством '). Из равенств 1 — 3 легко получаются следующие соотношения: 2.' (х. ау) = (ау, х) = а(у, х) = а(у, х) = сс(х, у), (В вещественном случае (х, ау) = а(х, у),) 3.
(2, х+у) = (Х+у, 2) = (Х, 2) + (у, 2) ю» »= (Х, 2)+ (У, 2) = (2, Х)+ (2, У) Пример ы 1. Пусть в п.мерном векторном пространстве )г звфвкснровзн определенный базис. Тогда скзлярное произведение векторов х [хь хг, ..., х„) н у = (уь уз, ..., у„) можно определить звенством Р (х, у) = х~у~ + хзуз+... + х„у (1) (в вещественном пространстве (х, у) к~у~ + хзуз + ... + х»у»). Спрвведлнвость условий 1 — 4 проверяется непосредственно. 2, В пространстве Р многочленов от ! с вешественнымн коэф. фнциентвми н в пространстве С функций, яепрерывнык яв отрезке ») удовлетворяющее условиям 1 — 3 «произведение» векторов комплексного векторного пространства, сопостзвлиюшее каждым двум векторам х, у щ й комплексное чясло (х, у), часто называют также врмятоеым скалярным произведением, е то пространство, ко.
торос мы назвали евклндовым,— »рмиговым (или унитарным) комп. лексным векторным пространством. Мы, однако, предпочтем исполь. зрввть здесь более простые н привычные термины «скалярное произведение» и «евклндово пространство», ивклидово пространство !гл. гч 146 [а, Ь), скалярное пронзиедение можно определить равенством ь (х,у) =) х(!)у(!) еп (2) а Справедливость условий 1 — 3 очеандна, а 4-е следует из того, что непрерывная неотрицательная функция, интеграл от которой ранен нулю, тождественно раина нулю. Определение 2.
Длиной, нли модулем, или нормо й, вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата ~ х) = )/ (х, х). Векторы х и у, скалярное произведение (х, у) которых равно нулю (а значит, равно нулю и произведение (у, х) = (х, у) ), называются ортогональными. В этом случае мы будем также писать хЛ у. В любом пространстве со скалярным произведением справедлива «Теорема Пифагора», Если векторы х и у ортогональны, то (х+у(я= [х(а+ [у)и. Действительно, если (х, у)= 0 то, ввиду условий 1 — 3, (х+ у(а= (х+ у, х+ у) = = (х, х)+(х, у)+(у, х)+(у, у) = (х!е+ (у~а. В любом евклидовом пространстве справедливо Неравенство Коши — Буняковского: для любых векторов х, у из В ) (х, у) ~ < (х~(у~. Доказательство проведем отдельно для вещественного и комплексного случаев. А.
Пространство Я вЂ” вещественное. Если а~р, то для вектора х — ау по условию 4 имеем неравенство (х — ау, х — ау) ~0, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 147 из которого, ввиду условий ! — 3, получаем (х, х) — 2а(х, у)+аз(у, у) > О, (х(з — 2а(х, у)+аз(у(Я > О. Это — квадратный трехчлен относительно а. Так как он должен быть неотрицательным при всех значениях а, то он не может иметь двух различных вещественных корней и, значит, его дискриминаит неположителен: (х, у)Я вЂ” (х(э)у(Я =; О, откуда ((х, у)~ < (х((у~, что и требовалось доказать. Б. Пространство г! — комплексное.
И в этом случае для любых двух векторов х, у из )с и любого (комплексного) числа а (х — ау, х — ау) > О, откуда, в силу условий ! — 3, получаем (х, х) — а(у, х) — а(х, у)+ аа(у, у) ) О. Полагаяа=р — ', где р — произвольное вещест(х, у) ((х, Р) Р венное число, и учитывая, что (х, у) (х, у) ) (х, у) !', будем иметь ~ х ~ Я вЂ” 2 !) ~ ('х, у) ~ + рз ~ у ~ э ~ О. (т(ы получили квадратный трехчлен относительно р с в ещ е с т в е н н ы м и коэффициентами. Так как он неотрицателен при всех !), то его дискриминант неположителен н, значит, ~ (х, у) !' — (х(з(у(з < О, что и требовалось доказать. Легко видеть, что равенство ~(х, у) ) = (х~ (у~ будет иметь место в том и только в том случае, если для некоторого айаг имеем х — ау = О, т.
е. если векторы х и у п р о п о р ц и о н а л ь н ы: х = ау. В вещественном евклидовом пространстве можно определить угол ~р между ненулевыми векторами х ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО [ГЛ. 1Ч 148 н у. По определению, (3) Легко видеть, что, ввиду неравенства Коши — Буняковского, [сов гр( «1. Из неравенства Коши — буняковского, если применить его к пространству Р со скалярным произведением [1), получается ен е р авенство К о шиты для любых чисел аь Ьз [аА + азбз+...
+а,б, [з « «[[а,[з+ [аз[а+... + [а„[з) [[Ь,['+ [Ь,['+... + [Ь„[') — для комплексного пространства и (а Ь + а Ь + ... + а„ь„) « « (азз + а' + ... + а„') (Ь~ ~+ Ьз + ... + Ьз) - в вешественном случае, а для пространства С со скалярным про. изведением [2) — евера ее яство буняковского> | ь ь ь ) х [1) у (1) ЕГ ~ «( [л (1) Р ат ) [у [1) [з Ф, а а а справедливое для любых двух непрерывных функпиа х[1) и у[1).
В евклндовом пространстве справедливо так называемое неравенство треугольника: для любых двух векторов х, уев)т [х+ у[«[х[+[у). Доказательство в вещественном случае очень просто. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем (х+у(з= (х+у, х+у) = (х(з+2(х, у)+ |у)з « «[х)з+2[х( [у!+[у[в= ([х[+(у))г откуда [к+у[ «[к[+[у(. Пусть теперь пространство Й вЂ” к о м и л е к с н о е.
Имеем, очевидно, [к+у[а =(х+у, х+у) =(х, х)+(х, у)+(у, х)+(у, у), ОРТОНОРМИРОВАННЫП ВАЭИС 149 %я Скалярное произведение (х, у) есть, вообще говоря, комплексное число, пусть (х, у) =а + ЬЕ Тогда (у, х) = =(х,у) =а — Ь1 и (х, у) + (у, х) = 2а ( 2 )<'а' -1- Ь' = 2 ~ (х, у) ~. Следовательно, 1х + у(г < 1х1г + 2~(х, у)) + 1у1г, а это, в силу неравенства Коши †Буняковско, не пре- восходит 1х1г+2~х~ ~у~+ ~у1з (1х1+1у])з Таким образом, ~х+у)з ~ (1х~ + 1у~)з и, значит, 1х+у~ <1х~+1у~. Равенство ~ х+ у ~ = ~ х ~ + ~ у ~ будет вы- полняться, если, во-первых, у = <хх (и тогда ~(х,у) ~ = )хЦу!)и если, во-вторых,а=)< а'+ Ь',т.
е. если Ь О и скалярное произведение (х, у) вещественно и по- ложительно. А тогда (у, х)=(ах, х)=а(х, х) О и <г> О. $2. Ортонормированный базис Определение 3. Базис еь ем ..., е„евклидова пространства Я называется о р г о г о н а л ь и ы м, если (е„е„)= О при(Ф Ф. Если, кроме того, ~1е<'1 = 1 лри 1= 1, 2,... и, то бизис называется ар го нормированным.
Л е м м а. Попарно ортогональные и отличные от нуля векторьс линейно независимы. Доказательство. Пусть векторы х<, хм ..., х„ попарно ортогональны: (хь х,) =О при < Ф Ь, и отличны от нуля. Предположим, что а<к< + азха +... + а„х„= О. Умножая обе части этого равенства скалярно на х„ 1 = 1, 2, ..., и, будем иметь а< (хь х<) + аз(хм х ) +... + а (х„, х<) = О, 1ЗО ВВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 1ГЛ.
1я откуда, поскольку (х„х,) = О при 1= й и (х„х,) чь О при всех 1 = 1, 2, ..., т, вытекает, что с21 = О при всех 1=1,2,...,т. Теорем а 1. Во всяком евклидовом аространстве Я имеются ортонормированные базисы Доказательство. Пусть п1, д2, ..., и„— произвольный базис пространства 12. положим 11 = л1 и 12 = = н2+ а11, причем а подберем так, чтобы векторы 11 и 12 были ортогональны: (аг+ 21111, 1) =(а2, 111)+ 22(11 ) ) = О, откуда (е 12) а= —— (1 11)' Так как 11 Ф О, то знаменатель ()1, 11) последней дроби отличен от нуля.
Ввиду линейной независимости векторов й'1 и п2 полученный вектор 12 — ненулевой. Допустим теперь, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы 11, 12,... 1, 1 уже найдены. положим 1$ ил + )яп1 + )я212 + ° ° ')я-н.-1~ и подберем числа Х1, Х2, ..., Х„1 так, чтобы вектор был ортогоналеи к )ь 12, ..., 12 1. Для этого нужно, что бы выполнялись равенства ()я, 1<) = (дь ~<)+Л Иь ~~) = О пРи 1 = 1, 2, ..., й — 1, отк да У (яА' 11) Л1 = — — ' (01 11) ' Знаменатель (7ь 7,) здесь отличен от нуля, так как все векторы ~, при 1' = 1, 2, ..., й — 1, по предположению,— ненулевые. Так как векторы д1, и2, ..., д„линейно независимы, то и полученный вектор 1, тоже будет ненулевым.
Это построение мы будем продолжать до тех пор, пока не найдем последнего (ненулевого) вектора 1я = К + Ви! + $212 + + Вя-1)я-1~ ортогонального всем предыдущим векторам 11, 12, , 1„ 1. В силу последней леммы векторы 11, 12, ..., )„ $21 ОРТОИОРМИРОВАННЫИ БАЗИС линейно независимы и, значит, образуют (ортогональ- ный) базис.
Если теперь каждый из векторов ~, поде- лить на его модуль, то получится о р т о н о р м и р о в а н- ный базис, образованный векторами 1, 1, !12)' ) Г "" " )1.!' ЛЕГКО ВИДЕТЬ, Чта ЕСЛи ПЕРВЫЕ й ВЕКТОРОВ йг„йгз, ... .,„йь были попаРно ОРтогональньгми, то 1! = дь 12 —— =Р„,, 1ь = йь, а если они были, кРоме того, единич- ными, то е, = д„ез = 32... ез = йь. Примененный здесь способ получения ортонормиро- ванной системы векторов из заданной линейно независи- мой системы носит название процесса ортого- иализации. Замечание.
Если )с, — надпространство )с и е„ ее, ..., е„— ортонормированный базис )сь то векторы е„еа, ..., е, можно включить в ортонормированный ба- зис всего пространства. Для доказательства достаточно дополнить еь ез, ..., е„до базиса пространства Е и произвести ортогона- лизацию полученного множества векторов, начиная с ЕЬ Ез, ..., Е„. Пример. Найтн ортогонольнай базис в пространстве много- еленов степени не ваше 4, онределеннык но отрезке [ — 1, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
