Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 120 [ГЛ. и1 Выберем в пространстве Е какой-нибудь базис е1, ео,... ..., е„, и пусть х=х,е1+хоео+...+х„е„, а матрица оператора .Ф в этом базисе А =1а<1). Тогда (см. $ !) Фх = (апх, + анхо+... + а1„х„) е, + + (амх1 + аоохо + .. +аз„х„) ео +... ... + (а„1х1 + а„око +... + а.„х„) е„= = Хо(х1е1 + хоео + ... + х„е„), откуда, ввиду единственности разложения вектора Фх по базису е1, ео, ..., е„, (а„— ) о) х, + а„хо +... + а,пхп пп О, а„Х, + (а„— Ао) Х, + ... + а,пХп пп О, ° ° 1 ° ° ° Ф ° ° ° ап,х, + ап,х, +... +(а„п — 3о) х„= О. (8) Для существования ненулевого решения этой (однородной) системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю: и о ьо ''' 1п п1 а Ао"'е =Π— А 'по " "пп о п1 (теорема 1О иэ главы 1).
Левая часть последнего ра. венства совпадает со значением пРи Х = Ао опРеделителя 1А — ХЕ) матрицы А — ЛЕ, который является много- членом относительно Х степени л. Коэффициенты этого многочлена <р(Х), называемого х а р а к т е р и с т и ч ескнм многочленом матрицы А, принадлежат, очевидно, основному полю Р.
Ниже (теорема 6) будет показано, что многочлен 1р(х) на самом деле не зав и сит от выбор а базиса, и поэтому его можно назвать характеристическим многочленом о и е р а- тора Ф. Мы доказали, что каждое собственное значение линейного оператора Ф является корнем его характеристического многочлена. Обратно, каждый корень Ао характеристического многочлена оператора .Ф будет его собственным значением — соответствующие Хо собственные Э а) соБстВенные Векторы и сОБстВенные значении 1в) векторы находятся из системы уравнений (8), которая в этом случае обязательно имеет ненулевые решения, так как ее определитель равен нулю.
Т е о р е м а 6. Характеристический многочлен линейного оператора нв зависит от выбора базиса. Доказательство. Пусть гр.(Л) = (А — ЛЕ)— характеристический многочлен оператора эб в базисе еь ва, ..., в„. Предположим, что новый базис г„е„..., г„ получается из старого с помощью матрицы С, Тогда характеристический многочлен оператора Ф в базисе ф,. (Л) = ~ С-'АС вЂ” ЛЕ ~ = ! С-'АС вЂ” С-'ЛЕС! = = ~ С '(А — ЛЕ) С~ = ~С '11А — ЛЕ11С(= =! С( '!А — )Е((С(= (А — ЛЕ(= ф,(Л).
Пусть ф(Л) = ( — 1) "Л" + ( — 1)" сасЛ"-с +... + ૠ— характеристический многочлен оператора эб. Легко видеть, что ис равно сумме ам+ ата+.. +а„„диагональных элементов матрицы А (эта сумма называется следом матрицы А я обозначается символом 1г А «)). С другой стороны, и. = ф(0) есть определитель матрицы А; поэтому для того чтобы оператор .Ф бьсл невьсрожденным, необходимо и достаточно, чтобы ф(0) было отлично от нуля, т.
е. чтобы оператор лб нв имел нулевых собственных значений (что, впрочем, ясно и непосредственно). Для тозкдественного оператора в с е ненулевые векторы пространства являются, очевидно, собственными (с собственным значением, равным единице). Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю). Иаадсм собственные значения и собственные векторы преобразования 1 из 5 1. Характеристнческссй нногочлен соа ф — Л асп ф ф () ) = ~ = Х вЂ” 2 сов ф.
Л + 1. а!и ф соз ф — Л) ') От английского слова 1гасе — след; нногда также употребляют обоаначенне ор А от немецкого слова барнс — след. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. гп 122 Его корни Хьз = сову ~ !Мпгр комплексны. Значит, в вещественной плоскости, и если чг не кратно и, зто преобразоваайе не имеет соб. ственных значений. Если е 2пй, преобразование является тождественным, н к а- жд й вектор плоскости — собственный (причем А = 1). Если ~р = (2й + 1)и, преобразование является центральной сим. метрней, и к а ж д ы й вектор плосности будет собственным с собственным значением, равным — 1. В комплексном случае система (8) приводится к уравнению (х, + хз О для собственного значения )ч сов гр+1з(п р и к уравнению гх,— хз = Π— для корня ьз сов чз — 1з(пгр.
Это дает два линейно независимых собственных вектора (1, -1) и (1, 1). Рассмотрим еше оден пример. П р и м е р. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования Ф с матрицей А =~ Р е ш е н и е. Характеристический многочлен преобразования Ф: (! — "ь 2 р(А) = ~ (=Х вЂ” бй — 6. (5 4 — !с! Его корни )г1 = 6, )гз = — 1. Собственные векторы находятсн из двух систем уравнений: ! (1 — )С!) хд+ 2хз —— О, бх,+(4 — Хг) х,=о, ! 1, 2, каждая из которых, поскольку ее определитель равен нулю, сводится к одному уравнению. При )г 6 это — уравкение 5х, — 2х, = О, из которого находим; х,: х, 2: 5, и в качестве собственного вектора, соответствующего А 6, можно взять а, (2, 5) (или любой вектор, кратный а,).
При А — 1 имеем уравнение х~+ хз О, из которого х,: хз = — 1, и соответствующий собственный вектор аг = (1, — 1) (иан любой вектор, кратный ему). Особенно простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего и линейно независимых собственных векторов. В самом деле, пусть линейный оператор дФ имеет и линейно независимых собственных векторов еи ез, ..., е„с собственными значениями, соответственно равными )(!, )гз, ..., Л.. Векторы еь ею ... е„примем за базисные, тогда, ввиду равенств Фе, = Хгег при (= (, 2, ..., и $ 81 СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1зз матрица оператора гтг будет иметь вид А =~ (такая матрица называется диагональной).
Верно и обратное: если матрица А оператора мс в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора зз. Однако далеко не каждый линейный оператор в и-мерном векторном пространстве имеет и-линейно независимых собственных векторов. Один из случаев, когда можно утверждать, что базис из собственных векторов («собственный базис») существует, подсказывается следующей теоремой: Те о р е м а 7. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
Дока зател ьст в о проведем индукцией по числу рассматриваемых собственных векторов. Для одного вектора. х это ясно, так как, по определению собственного вектора, он отличен от нуля (и значит, из равенства ах = 0 вытекает, что а =0). Пусть наше утверждение справедливо для й — 1 век. торов хь хи..., х, н и предположим, что й собственных векторов хь хм...,х„, отвечающих попарно различным собственным значениям Ль Лм..., Л„, линейно зависимы: а1х1+ агхг +... + а„х„= О.
(9) Применяя к обеим частям этого равенства оператор Ф, получим иФх1+ агз»хг +... + ачФх, = О, или а1Л1х1 + и»Лзхг+... +и„д„х, = О, (10) С другой стороны, умножая равенство (9) на Л„, будем иметь а|Л»х1 + азЛ„хз +... + а„Л„х, = О, (11) !Гл. !и ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Вычитая равенство (11) из равенства (10), получим а! (Х! — Х~) х! + аэ(ХА — ЛА)хе+... ...
+ал !(А, ! — А!)х„-! = О, а так как, по условию, все Х, различны и в силу предположения индукции векторы хь хэ, ..., х„, линейно независимы, то а!=аз=...=аз !=О, а тогда из равенства (9) имеем а„х„= 0 и а„= О. Теорема доказана. Таким образом, если линейный оператор ээ имеет п попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и мат.
рица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид. Поскольку многочлен с вещественными коэффициентами не обязательно имеет хотя бы один вещественный корень, то в вещественном пространстве не для всякого линейного оператора найдется хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство. Однако имеет место следующая Теор е м а 8. Для всякого линейного оператора, действующего в вещественном пространстве размерности п)2, существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Доказательство. Если характеристический многочлен оператора Ф имеет хотя бы один вещественный корень, то этот оператор имеет собственный вектор, и значит, в 1т существует одномерное инвариантное относи. тельно ээ подпространство. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, мы сошлемся на так называемую ос.
ионную теорему алгебры комплексных чисел: Каждый многочлен с комплексными (в частности, с вещественными) коэффициентами имеет хотя бы один (комплексный) корень. В силу этой теоремы (которую мы здесь не доказываем) характеристический многочлен, ие имеющий вещественного корня, будет иметь хотя бы один комплекс. ный корень А= а+(р, где рным. В В1 СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1ЕБ Решая для этого Х систему уравнений (8), мы найдем соответствующие (комплексные) решения: г1 =х~+1уь г2 — — ха+ 1уы ..., г„= х„+ 1у„, н значит, будут справедливы равенства ам (х, + 1У,) + ам (ха + (УЗ) + ... + а,„(х„+ (У„) = (и + 1р) (х, + (у,), а„(х,+ (у,)+ а„(х,+ 1у,)+...
+ а,„(х„+ ру„) = = (и + 11)) (х, + (у,), а„, (х, + (у,) + а„(х,, + Еу,) + ... + а„„(х„+ (у„) = = (и + ф) (х„+ Юу„). Приравнивая действительные н мнимые части, получим две системы равенств: аых, + ам х,+ ... + а,„х„= ихт — ру„ а„х, + а„х,+ ... + а,„х„= их,— ()у„ (12) а„,х, + а„, х, + ... + а„„х„= их„— ру„ ану, + а„у, +... + а„,у„= иу, + рхы а„у, + а„у, + ... + а,„у„= иу, + ~х„ (13) а му1+ а„,у, + ... + а„„у„= иу„+ рх„. Рассмотрим два (вещественных) вектора и = х1е1+ х,ез+... + х„е„ и о = у,е, + узет +... + у„е„. Равенства (12) показывают, что .Фи ии — ро, а равенства (13) — что,ЯРО = по+ ри.
Но тогда надпространство )ть порожденное векторами и н о, инвариантно относительно яа, так как если хан )тн т. е. х = $а+ т)о, то и Фх = $Фи+ тЬФО = Ции — бо) + т1 (ио+ ри) = = (иф+рт1)и+ (ин — Я)о принадлежит 11ь Это подпространство двумерно, так как если бы векторы и н о были линейно завнснмымн: ЛИИЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ИГЛ. !11 о (и, то мы имели бы Фи = аи — ро = (а — р"() и, и вектор и был бы собственным вектором оператора Ф с вещественным собственным значением а — ру. 5 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
