Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если .Ф вЂ” ортогональное проектирование обычного трехмерного пространства на плоскость или на прямую, то .~Р =,Ф. Если .яФ вЂ” дифференцирование в пространстве многочленов, то оператор,Фг †э взятие второй производной. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором. Действительно, 1) (.ФЯ)(х+у) =Ф(Я(х+у)) =,~Ф(Як+Му)= = БФ(ЯХ) + Ф(Яу) = (5ФЯ)х+ (ФЯ)у, зп дгпствия нлд линеяными опеэктогкми 1О! 2) (ФЯ) (ах) = зУ(Я(ах)) = зФ(аЯх) = аФ(Ях) = а(.яФЯ)х. Найдем, как выражается матрица С линейного оператора 27 = ЛЯ через матрицы А = 1а„] и В = 1Ь„'1 линейных операторов,Ф и Я. Имеем Уе, = Ф (Яе) = зь (Ь|„е! + Ьг,ег +...
+ Ь„,е„) = = Ь|гэ5е,+Ьг,,Жег+... + Ь„„зле„= Ь„(а,|е|+аг,е,+... ... + а„,е„) + Ьг„(аме, + агге, +... + а„ге„) +... ... +Ь„,(а,„е| + аг ег+... + а„„е„) = = (а| |б,„+ а,гЬг„+... + а|„б„) е| + + (а„бг, + а,гЬ„+... + аг„Ь„„) ег +... ...+ (а„|бы+а„гбгг+...+а„„б„„)е„; значит, если Уе, = сме| + сжег +... + с.„е„, то с„= ааб,„+ а,гбг, +... + а,„бкм где!,я=1,2,...,п.
Мы видим, что для того чтобы получить элемент матрицы С, стоящий в пересечении ее 1-й строки и я-го столбца, надо каждый элемент |-й строки матрицы А умножить на соответствующий элемент й-го столбца матрицы В и все полученные произведения сложить. (Говорят и короче: элемент с„ равен произведению ч1-й строки матрицы А иа Ь-й столбец матрицы Вэ.) Матрица С называется произведением матриц А и В, Пример. [3 5)[1 2] [3 4+5 1 3 3+5 21 [17 191 Произведение тех же матриц в обратном порядке равно [1 2) [3 51 = [! 2 + 2 3 1 ° 1 + 2 5) = [ 8 11~' Мы видим, что у м н о ж е н и е м а т р и ц (вооб|це говоря) не коммутативно.
Рассмотрим свойства умножения линейных операторов н умножения матриц. 102 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. !и 1. Если .Ф, Я, еу — линейные операторы, то (.ФЯ) (Р = .зй (Яе'). Действительно, для любого вектора х ев )с имеем [(л~Я)$)х = (лйЯ) (Ух) = лй(Я(Жх)) и (Ф (Ячг) ) х = БФ 1 (Яе') к1 = вй (Я (Е'х) ); таким образом, умножение линейных операторов (а, сле. довательно, и матриц) ассоциативно.
Произведение (.ФЯ)(т =,Ф(ЯЖ) линейных операторов, состоящее в последовательном нх выполнении: сначала (Р, затем Я и, наконец, лг,— обозначается обычно просто через ФЯе' — без скобок. 2, Для любого линейного оператора МГ ФЮ = в Ф = лс. Матрица Е тождественного оператора е! (см. выше, стр. 97) называется единичной матрицей. Для любой матрицы А (того же порядка, что н Е) АЕ = ЕА = А. 3.
Умножение и сложение линейных операторов свявины дистрибутивными законами: (Ф+Я) е' =.ясв. +Я(к и 1)Г(Ф+ Я) = Жвй+(РЯ, так как для любого вектора х еи Е ((Ф + Я)%') х = (,Ф + Я) (вх) = Ф (%'х) + Я ((ух) = = (вй(Р) х+ (Яв) х = (4е. +Яку) х и (Ж(лй + Я) )х = (Р((вй+ Я)х) = Ж(зйх+Ях) = = ег(,Фх)+ (р(Ях) = (%'.яг)х+ (ЖЯ)х = ((р,я!+ а'Я) к. Аналогичные тождества справедливы и для матриц. Вспомним теперь основные законы сложения и умножения чисел, сформулированные на стр. 55 — 56 (аксиомы поля).
Для сложения и умножения матриц мы доказали справедливость всех этих законов„кроме пятого и восьмого. Пример на стр. 101 показывает, что умножение матриц, а значит, и умножение линейных операторов, вообще говоря, не коммутативно, 4 и ДЕИСТВИЯ НАД ЛИНЕИНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ )оз Что же касается существования линейного оператора, обратного к данному, то справедливо следующее предложение: Для каждого невы рожденного линейного оператора .4 существует такой — обратный к Ф линейный оператор.Ф ', что Фл~-' = Ф-'.4 = д' с А А ...А„ Ам А$2 ".
А,„ При транспонировании ее получается матрица А, называемая присоединенной к матрице А: .4п .4м" Аь Ам А ...А„ т-~ Перемножая данную матрицу А и матрицу Л, получим ~А! О ...О О ~ А / ... О О О ...~А~ АА = АА = (и соответственно для каждой матрицы А, определитель которой отличен от нуля, существует такая обратная к А матрица А-', что АА ' = А-'А = Е).
Докажем это. Пусть Ф вЂ” невырожденный линейный оператор, имеющий в некотором базисе еь ем ..., е„ матрицу А. Мы докажем сначала существование обратной к А матрицы, т. е. такой матрицы, А ', что АА-' = А-'А = Е; тогда линейный оператор .Ф-', имеющий в том же базисе в„ем ..., е. матрицу А-', будет обратным к яг: ведь последовательное применение операторов Ф-' и гФ одного за другим будет линейным оператором с единичной матрицей, т. е.
тождественным оператором. Итак, пусть дана матрица А = [ач], определитель которой отличен от нуля. Рассмотрим матрицу, составленную из а л г е б р а н ч е с к и х до п о л н е н и й соответствующих элементов матрицы А: линеиные оперлторы [ГЛ. Н1 [04 (теоремы 3 и 4 главы 1). А следовательно, матрица А -1 Л (А! будет обратной к А.
П р и мер. Иайга ма!рану, абра!аул! л А= 3 2 — 1 Реп! е н не. Определитель матрицы А равен 4. Алгебраические дополнения ее элементов: Лп = 2, Аи = — 2, Ам 2, Лм = — 2, А22 4~ А22 = 2, АВ! = 8, ЛВВ = [О, АВ — 4 и, значит, Заметим, что если операторы Ф и Я невырожденные, то таким же будет и их произведение (так как нз равенства (.ФЯ) х =.Ф (Ях) = О вытекает, что Ях = О и, значит, х О), причем (ФЯ) ' =Я 'м4-' (а для матриц (АВ) ' = В 'А '), так как (ФЯ) (Я 'чс ') хв(Я(Я'М ')т = з21(ЯЯ ')М '] = — .4 (ЮФ ') = ФФ ' = б'. Теорем а 3. Определитель произведения двух мат риц равен произведению определителей сомножителей если АВ = С, то 1С! = ! А( (В!.
До к аз а тельство. Пусть ьы ьм ..ь,я 2! 22 ''' 2а с сы ...с„ 2! СЫ Сзч АВ [ !1 !2 ' !Я 21 22 ''' 2В а„! ааа ... аьо ф 21 ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ~ОЗ Тогда, как известно, 77 сгь = аиогь + аы622 + ° ° . + пг~Ь А = аа пиЬ71 7=1 Определитель матрицы С равен ~ а17.Ь,1~ч' „а„.ь,г ~ а„. Ь,, „ 7Ч=1 77=1 777=1 а ° Ь, ~' а . Ь ... ~ а ° Ь 7Ч 1 7Ь 1 72=1 1С!= а.г 27А 7Ч1 .ы 27Ч 3,2 а.7 ага 7,р ~' а .
Ь. ~' а . Ь. ... ~' а ° Ь 7,=1 а;Ь; а;Ь; ...а. Ь.„ 27~ 71 23» 7Л ''' 27а 7а» ап7,Ь7А1 аа7ЧЬ7чг аа7 где индексы 17, 12, ..., 1. независимо друг от друга пробегают все значения 1, 2, 3, ..., л (всего в этой сумме л" слагаемых). Однако можно считать, что в определителе, стоящем под знаком суммы, все индексы 1ь 12..., ..., 1„различны, так как те определители, у которых имеются одинаковые индексы 1„равны нулю как определители с пропорциональными столбцами. Таким образом, в этой сумме остаются только и! слагаемых, отвечающйх р а з н ы м наборам /1, 12, ..., /„. Вынося теперь за знак определителя общий множитель элементов каждого столбца, получим а 7 а; ...
а7. "11, аг7 ° ' аг7„ аа7, аа7 ° аа72 777з" 72 где суммирование ведется по всевозможным перестановкам 11, 11, ..., 1„чисел 1, 2, „ч л, По свойству 4 определителей его можно представить в виде суммы 1ов ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ. П1 В определителе, стоящем под знаком (последней) суммы, переставим столбцы так, чтобы вторые индексы их элементов расположились в порядке возрастания. Это можно сделать посредством нескольких транспозиций столбцов.
Так как при переходе от одной перестановки к другой той же четности требуется четное число транс- позиций, а при переходе к перестановке другой четности — нечетное число транспозиций (а перестановка 1, 2, ..., и — четная), то определитель в правой части последнего равенства равен( — 1)1"'*'"'п)(А 1. Таким образом, получаем ~С~= 2', ( — 1)1"'и""")Ь;„Ь;,, ... Ь;„п~А)=)АЦВ~. зптп ° - зп Следствие. 1А 1~ = ~А~-', что вытекает из равен- ства 1= ~Е~ = ~АА-1) = ~А~ ~А '~. $ 3. Прямоугольные матрицы Матрица, состоящая из пт строк и л столбцов, называется (тп Х п)-матрицей. Можно определить ел ожение [тХп)-матриц, полагая Ь„Ь„...
Ьзп аз Эя Эп Ь Ь ... Ь т1 та ''' тп | и пээ ... пэп атт птэ" птп + а„ + Ьэз пээ + Ь„ ... л,п + Ьэп 1 п +Ь о +Ь ...и +Ь пт+ т1 та та ''' тп тп 1тХЕ]-матрицы на число и— и умножение равенством и ап ап ...аа тп 11 1Э ПВ1 Оээ птх Пта Легко вндеть, что относительно этих операций сложения н умноження на число (гл Х и)-матрнцы (в чвстностн, квадратные матрицы порядка и) с элементами нз поля г сами образуют векторное пространство над полем г. Обозначнм (гл К п) матрацу, у которой эле- ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ % з1 107 мент 1-й строки н й-го столбца равен 1, а все остальные элементы равны нулю, через еы.
Тогда ясно, что зтн матрицы е~ь, где 1 = 1, 2, ..., гп, Ь = 1, 2, ..., л, линейно незавнснмы н что каждая [гл УС л)-матраца является нх линейной комбинацией. Следовательно, размерность пространства [гл Х и)-матрац равна тп. В частностн, пространство всех квадратнык матриц порядка и имеет размерность и'. лбе„= аы1г + аз.1з +... +а .1' ° Таким образом, линейному оператору Ф, отображающему пространство )с" в Й-, соответствует прямоугольная матрица А-~" жз пы пяз '' пзп ! гня ' ' ' язв столбцы которой образованы коэффициентами разложений вектоРов е, по вектоРам [ь По аналогии с умножением квадратных частиц можно определить и умножение прямоугольных Прямоугольную матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператор а, отобр ажаю- щего одно векторное пространство в другое.
А именно, пусть имеются два векторных пространства гт'" и )с-., во- обще говоря, разных размерностей и и т, но над одним и тем же числовым полем г, и предположим, что каж- дому вектору х ~ тт" поставлен в соответствие вектор Фх~)т так, что выполнены следующие условия: 1. ль(х+ у) =.Фх+ лбу, 2. Ф(ах) = а.4х для всех х, уенгс" и аенг". Мы говорим тогда, что Ф есть линейный оператор, отображающий пространство гт" е гс", или линейное отображение )т" е 1с . Выберем в пространстве гс" базис ег, ея, ..., е„, а в пространстве й" базис )'ь [з, ..., 7 . Вектор Аег, где [= 1, 2, ..., и, принадлежит гс-, и следовательно, его можно разложить по базису 1Н 1а,..., 1„; пусть лгез — — азДг+ ааг[з+... +а 1[, .Фе = а ) + а [з+...
+ а ), ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Юв !Гл. 1И матриц, Такое умножение выполнимо только в том случае, если длина строки левого множителя равна длине столбца правого, т. е. когда число столбцов левого множителя равно числу строк правого. Произведение ]- лтКл]-матрицы на [лХр]-матрицу будет, очевидно, легар]-матрицей. В частности, произведение [т Хл]- матрицы на (л Х! )-матрицу, т. е. на столбец, будет т Х 1]-матрицей, т. е. столбцом, а произведение 1Хлт]-матрицы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
