Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. строки, на [лгУе',л]-матрицу будет [1и',л]-матрицей, т. е, строкой. Примеры ! 2 О 3 О ! ! 1 2 ! — 3 3 — э э~[ ~2 — 5 41 э. 1э э э э1'[ =Я Г! 2Ч 3. 1! 2 31 ~ 2 3 ~ = 1!4 201. 3 4 Нетрудно понять «геометрический смысл» операции умножения прямоугольных матриц. Пусть имеются три векторных пространства, вообще говоря, разных размерностей: Й", В, В', и пусть даны два линейных оператора:,Ф, отображающий В в В', и Я, отображающий В" в В .
Оператор ФЯ, ставящий в соответствие каждому вектору хан В" вектор яг(Ях) пространства Ве, называется произведением операторов Ф и Я. Легко видеть, что .МЯ является линейным оператором, отображающим !г" в В', и что если оператору .я! отвечает р Х и]-матрица А, а оператору Я вЂ” [1и Х л]-матрица , то матрицей оператора ФЯ будет [рыл]-матрица АВ. Как и для квадратных матриц, умножение прямоугольных матриц ассоциативно: А(ВС) = (АВ) С, и дистрибутивно относительно сложения: (А + В) С = А С+ ВС, С(А + В) = СА +СВ,— разумеется, если матрицы таковы, что все эти действия над ними выполнимы, Кроме того, если А — произвольная пгямотгольныа млтгицы 1ОВ [яз Х л)-матрица, то АЕ„ = А и Е А = А, где ń— единичная матрица порядка я. Рассмотрим снова систему линейных уравнений аз,х, +а„хз + ...
+ а,„х„= 6„ аззхз + аззхз +... + а„,х„= Ь„ (3) а„„х, + а„зхз +... + а „х„= Ь . Обозначим через А матрицу из коэффициентов при неизвестных этой системы, через Х вЂ” столбец, составленный из неизвестных, и через  — столбец, составленный из правых частей. Тогда систему (3) можно записать в виде одного матричного уравнения АХ=В, Если матрица А квадратная и ее определитель отличен от нуля, то существует обратная к ней матрица А-'. Умножая обе части последнего равенства слева на А ', получим А-'(АХ) = А-'В, откуда Х = А-'В.
В более подробной записи зто — формулы Крамера (ср. выше, стр. 33). Если Ф вЂ” линейный оператор в пространстве Я и А — его матрица в некотором базисе е„ез, ..., е„, в котором х=(хь хз, ..., х.) имтх=(х„хз,...,х„),то формулы (1) из $1 можно записать в виде одного матричного уравнения У=АХ, где Х вЂ” столбец нз координат вектора х, а у— с т о л б е ц из координат вектора Фх. Наконец, если С в матрица перехода от базиса вь ез, ..., е„ к (новому) базису е,, е',, ...,е„, то Х„= СХ„„ где Մ— столбец старых, а Х...— столбец новых координат вектора х (см.
формулы в $ б главы [1). Из последней формулы непосредственно вытекает равенство: Х„,=С-'Х„, т. е. что новые координаты получаются из старых с помощью матрицы, обратной матрице перехода, что впрочем вполне очевидно и так, ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПО !ГЛ. П! В последнем «блоке» левая матрниа — единичная, а правая равна А-'. Можно было бы производить элементарные преобразования не над строками, а н а д с т о л б ц а и и — одновременно матриц А н Е, — но всегда либо только над строкамн, либо только над столбцами.
Во втором случае (прн элементарных преобразованиях столбцов) удобнее располагать матрицы «столбиком»: единичную матрицу Е помешать лод матрнцей А. Так, в нашем примере мы будем иметь последовательно: 2 ! 4 3 О ! — 2 3 О 1 ! 3 1 — — О 1 1 1 О 1 Π— 2 1 О 1 О ! ! 1 О О О 1 1 3 2 2 1 — 2 3 1 2 2 — 2 1 Здесь удвоенный второй столбец вычитается нз первого, первый столбец делится аа — 2, утроенный первый столбец вычитается из второго и, наконец, столбцы меняются местами. После того как верхняя матрица превратилась в единичную, нижняя будет равна А-'. Для того чтобы обосновать эти действия, заметим следующее, Укажем здесь еше олин, практически более удобный, чем изложенный выше, способ вычисления матрицы А ', о б р а т н о й дан. ной невырожденной матрице А. Выпишем рядом матрицу А и единичную матрицу В в над с т р о к а м и их будем одновременно производить элементарные преобразования до тех пор, пока матраца А не превратится в единичную.
Прн этом исходная единичная матрица превратится в А-'. Рассмотрим п ример. Пусть нам надо найти матрицу А-', об- 12 1! ратную матрние А = [4 31. Выпишем рядом с А единичную матрицу Е в над строкам я полученной «объединенной (прямоугольной) матрицы» будем производить элементарные преобразования: сначала отнимем от второй строки утроенную первую, затем разделим вторую строку на — 2, вычтем удвоенную вторую строку из первой а, наконец, переставим строки. Так мы получим последовательно: ПРЛМОУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЪ! ф 3! 1. Умножение произвольной [л Х т] -матрицы А с л е в а на матрицу В порядка л, получающуюся из единичной матрицы умножением ее г-й строки на число с, равносильно умножению на с 1-3 строки самой матрицы А.
В то же время умножение матрицы А на аналогичную матрицу В, поряка ш с п р а в а равносильно умножению на с 1-го стол 6ц а матрицы А. (Проверьте зто сами.) 2. Умножение [лХгл)-матрицы А слева на матрицу С порядка л, получающуюся из единичной матрицы перестановкой ее 1-й и й-й строк, равносильно перестановке 1-й н й-й с т р о к самой матрицы А, а умножение матрицы А на аналогичную матрипу Сг порядка т с п р в в а равносильно перестановке 1-го и й-го столбцов матрицы А. (Проверьте и это.) 3. Умножение [л Х т)-матрицы А с л е в а на матрицу О, получаюшуюси из единйчной матрицы порядка л прибавлением к ее 1-й строке й-й строки, умноженной на с, равносильно аналогичной операции н а д с т р о к а м и самой матрицы А. Так, например, [ — 3 1~ [4 31 [ — 2 01' В то же время умножение матрицы А с п р а в а на матрицу )), порядка т, получаюшуюся из единичной матрицы прибавлением к ее 1-му столбцу й-го столбца, умноженного на число с, равносильно аналогичной операции над столбцами самоК матрицы А.
Ь((окажите все зто сами.) Так, например, [4 3~ [ — 2 1~ [ — 2 31' Пусть теперь А-' — матрица, обратная А, тогда АА-' Е. Элементарные преобразования н а д с т р о к а и и матрицы А равносильны умножению ее слева на некоторые специальным образом подобранкые матрицы. На те же матрицы одновременно умножается и матрица Е. В нашем примере злементарные преобразования над стРоками матрицы [4 31 отвечают таким лействиям: 12 1! Но произведение 1О О ! 0 — 2 — 3! равно Е, и значит, правая часть последнего равенства равна А-'. Элементарные преобразования с т о л б ц о в отвечают умножению равенства А 'А = Е (обратите внимание на то, что геперь мы 112 ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ.
РЦ написали матрицу А справа) справа на определенным образом подобранные матрицы. Тах, в том же примере мы имеем 1 0 — 2 0 ! — 3 0 1 — Е 10 — 2 О 1 3 01 А 10 2 О 1 — 3 01 равно Е, то правая часть последнего равенства равна А-'. Эаметим, что аналогичный прием можно применить и при решении матричного уравнения, скажем, вида АХ В, где А - - квадратная матрица порядка л, Х вЂ” искомая и  — данная !л )С гл)-матрицы: производим элементарные преобразования с т р о и одновременно матриц А и В до тех пор, пока матрица А не превратится в единичнунк при этом матрица В превратится в А-'В = Х.
(Сравните это с методом Гаусса на стр. 50, которым, в сущности, решается матричное уравнение АХ = В, гае А — матрица из иоэффнциентов прн неизвестных, Х вЂ” столбец неизвестных и  — столбец правых частей.) й 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису Пусть линейный опсратор лй, действующий в пространстве )с, в базисе еь еа, ..., е„имеет матрицу А = [а,э), а в базисе е„е„..., его вообще говоря, другую матрицу А,= [а!а|. Найдем, как связаны между собой матрицы А и Аь Обозначим через С = [сз] матрицу перехода от базиса ен ез,..., е„к базису е„е„...,е .
Тогда е, = с„е, + сме, +... + сиге„, где 1= 1, 2, ..., л. Будем матрицу С рассматривать как матрицу линейного оператора цг в базисе ен еш ..., е„. Тогда очевидно, что Уе! = с,эет+ се!ее+ .. -~- с„эе = ег, и значит, линейный оператор тй переводит векторы е„ ех, ..., е„соответственно в векторы е, е„...,е„. ПЕРЕХОД К НОВОМУ БАЗИСУ Из Определитель матрицы С отличен от нуля ($6 гла.
вы П), а значит, для $' существует обратный оператор %'-1 таКОй, ЧтО1У 'Е,=г„аи 'Е,=Е„...,Ж 'Е =Е. ПО условию, ,обе! = а,'зе,' + а,зе, + ... + а' се . Применяя к обеим частям этого равенства оператор а ', получим 1з 'лбе!= а,се,+аз!ее+ ... +а„зе„. Подставляя в левую часть последнего равенства ее= =%'ео будем иметь %' ~гзг1тез ахзех+ аззе, + ... + а„зе, (4) т. е. Матрицей оператора ат-!лиат в базисе еь ез, ..., е„ является матрица А1.
Но, с другой стороны, матрица втого оператора равна произведению матриц операто ров У-1, Ф и У в базисе е„ез, ..., е„, т. е. А1 С-'АС. (6) Отсюда, в частности, следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса: ) А1) ( С-1АС ~ = ~ С-1 ~ ) А ~ ) С! = ) С! 1~ А ~ ~ С) = ! А ) (см. следствие на стр. 106). Пример.
В базисе ее ез лреобразоеазие зе имеет матрицу А 1~. !Гааисать матрицу этого иреобразозанцз е базисе Гб -21 г е +2гз, е 2е +зе. Решение. Матрица иерехола алесь С !2 3!, а обратная Г! 21 1 à — 3 21 я нев матраца С *! 2 !). Слелонательно, [ — 3 2~ [6 — 2~ [1 2~ [ — 3 2~ [2 6] [2 61 Формулу !Ь) можно оолучнть еше и слциушшим образом. Как доказано н $3, имеем Хоа СХ»оа и У„ = СУ»,, !'оа = АХ»а Н Уаоа А1Х»оа. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЪ| !14 1гл. Н1 Следовательно, СУя,ь = Уья = АХят = АСХяяв, отнуда Унья С 'АСХяоь. Но Уньь = А~Хя,в, и значит, А1 = С 'АС.
(Легно видеть, что из матричного равенства ВХ = В,Х, справедливого п р н в се а Х вЂ” если В и В, одного строения, вытекает, что В = Вь) $5. Ранг и дефект линейного оператора Определение 2. Пусть Ф вЂ” линейный оператор, действующий в пространстве й|. Совокупность,Фтс всевозможных векторов вида Фх, где хан|с, называется областью значений оператора .Ф, или образом п р о с т р а н с г в а гс при преобразовании зФ, а множество 1|1 всевозможных векторов х, для которых исх= О, — ядром оператора Ж Покажем, что область значений и ядро линейного оператора .Ф являются подпросг ран с твами в )т. Действительно, для области значений зто вытекает из теоремы 1, если рассматриваемое в ней подпространство 1|1 совпадает со всем пространством )т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
