Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Р еш е и н е. В качестве исходного базиса возьмем Р ! Е1 ! Кз гз Кз = сз К Положим 1о = Ко = 1 н1з=й,+сс1е. Так как (Ео 1е)= 1 гй(=О, то а=о и -1 11 й а 1 йвлее, положим 12 = йз+()1с+ Т1» Имеем (йз, 12) = ~ гзй! -1 1 1 =* — (1„1в)= ) й(=2, откуда 3= — —, (Ев,1,)=) (зот =О, Я ! 32 ' г 3 1 -1 а значит, т О. Следовательно, 1 1 = (1=-— 3' ЕВКЛНДОВО ПРОСТРАНСТВО 1гл.
пг 152 1 Пусть 1з = аз+ )414+ р14+ т11 Имеем (Вз, 14)= ) гзе(=0, от куда -1 3 !Г = О' (844 11) = ) 1~4(! = 5 ° (1о 1д= ) !зе! = 3, значит, р= — —, 5' -1 -1 1 н (Вз,1,) ) ~!з — 3 г~)В!=0, т. е. и=0. Следовательно, -1 3 1з — (з 5 Положим, наконец, 14 = Вз+ $14+ зф + ь11+ р1з. Тогда, по- 1 скольку (вз 14) = ) !44(г = —, а (14 14) = 2, то ь = — — ! далее 2 1, 1 (24, 1,) ~ !44(! = О, значит, т! = О. Затем имеем -1 14 2 2 1б г ( 3 ) 7 15 !05 -1 2 11 2 4 2 8 (1 1) = "гз - гз ~.-'е! = — — +-=— 3 ' 9) 5 9 9 45' -1 6 г 1 3 откуда (= — 7, наконец, (Вз 1з) = ) 14~1 — 5 Г) В! =О, т.
е, -1 р = О. Следовательно, 1=!' — — — — !' — — — ! !+ 5 74, 3) 7 Полученные многочлены 14, 14, 14, 14. 14 — это (с точностью до множителей) первые пить из та к называемых многочленов Лежандра, нграюцгих важную роль в математической физике. Найдем выражение скалярного произведения векторов в координатак, Пусть е„ез, ..., е„— произвольный % а1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЯ БАЗИС базис пространства )г со скалярным произведением и х = х1е1+ хдед+...
+х„е„, у = у,е1 + удед + ... + у„е„. Тогда / д 1 н (х, у) = ~ ~ х;еь ~~з„удед) = ~„(х;е;, удед) = д=д сд=д и д ~ хамуд(еье,) = ~ д;дх;у„ п А=1 кд=д где 1 и й независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, ..., и, а д,д =(еь е„). Если пространство )г евклидово, а еь е,, ..., е„— ортонормирова нный базис, то (еь е,) = О при 1 чь й, (е„е;) = 1 при всех 1= = 1,2, ..., н н, значит, (х, у) = х,у, +х,у,+... +х„у„. Легко видеть, что, и обратно, если в базисе е, е,, ..., е„ скалярное произведение векторов х = х,е, + хгед + ... + х„е„ и у = у1е~ + у е, +... + у е„ равно Х1У~ + ХБУБ +...
+ Х~~у, то этот базис ортонор м и рова н ный, так как в этом случае (еь е,) = 1 и (еь е,) = О при 1 Ф й. Пусть еь ед,..., е„— ортонормированный базис в евклидовом пространстве 11 и х = х,е, + хде, +... + -1-х„е„. Умножив обе части последнего равенства скалярно на еь получим (х, е,)= хь т. е. 1-я координата вектора х в ортонормированном базисе равна скалярному произведению х на единичный вектор ед Это скалярное произведение можно назвать (ортогональной) п р оекцией вектора х на вектор е,. Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе — зто его лроекиии на базисные векторы. Пусть )д' и )т' — два и-мериых евклидовых пространства.
Если в каждом из них выбрать ар топор м и р ованный базис (е1, ед, ..., е„в 1т и е„е,, ...,е в Я') ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО (гл. Рч и поставить в соответствие каждому вектору х из )с век- тор х' из (т' с теми же координатам и, то, как известно (см. 5 5 главы 11), сумме элементов из )г бу- дет отвечать сумма соответствующих элементов из Р' и произведению элемента из )с на число — произведение соответствующего элемента из К' на то же число. При этом, если х = х~е~+ хзез+... + х„е„, у = у~е~+ укех+...
+ у„е„ (и значит, х' = х,е, + х,е', +... + х„е'„, у' = у„е', + у,е, +... +ухе„'), то скалярное произведение (х, у) =х1у1 + хкук +... + х„у„= (х', у') . Таким образом, пространства )1 и 1(' устроены оди- наково: соответствующие векторы их имеют одинаковые длины((х(=3~'(х,х) =У(х',х') =(х'(), а в случае ве- щественного пространства и углы между парами соот- ветствующих друг другу векторов равны между собой: ( соз(х,у) = — „' =,, ', =сов(х',у')). (х, у) (х', у') 1 к ( 1 у ( ( к' 11 у'( Таким образом, все евклидовы векторные простран- ства над одним и тем же полем изоморфны и, как гово- рят, «изометричны» между собой, т.
е. обладают в не- котором смысле одинаковыми метриками; следователь- но, единственной характеристикой евклидова простран- ства над данным полем г является его р а з м е р н о с т ь. $3. Ортогональное дополнение О п р е д е л е н и е 4. Два надпространства Я, и Дк евклидова пространства Я называются в з а и м н о о р т ог о и а л ь н ы м и, если каждый вектор из Я, ортогоиалеи каждому вектору из )тк (мы будем писать в этом слу. чае 1(11 Йк). Так, в обычном трехмерном пространстве проходящая через начало координат плоскость и (понимаемая как множество принадлежащих и векторов) и перпендикулярная к ней (и тоже проходящая через начало) прямая 1 ортогоиальны (рис, 10,а), Наоборот, две вза- ОРТОГОНАЛЬНОЕ.
ДОПОЛНЕНИЕ 155 имно перпендикулярные в смысле элементарной геометрии плоскости п1 и и, (рнс. 10, б) не будут ортогональными подпространствами в смысле этого определения: ведь из того, что а~ ее пь а аз ее пн совсем не следует, что а,)а,. Рис, 1О. Для того чтобы подпространства Р~ и Яз были взаимно ортогональны и, необходимо и достаточно, чтобы все базисные векторы одного были ортогональньс всем базисным векторам другого. Необходимость следует нз определения 4, для доказательства достаточности предположим, что еь ем ..., е, — базис )с1 и 1ь 1з, ..., )в базис )1н причем (е<, ~,) =О для всех 1' = 1,2, ., й, 1 = 1, 2, ..., Лс, тогда для каждого х = кеес+ х,ее+...
+х„е„ и каждого у = у~11 + уз(з +... +у 1 скалярное произведение (х, у) = ~ х;у1 (ес, Я = О, Ь1=1 и значит, эти векторы ортогональны. Покажем, что два взаимно ортогональных надпространства пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, пусть й~ и )сз — взаимно ортогональные подпространства )с'. Если вектор х ен )т1 () )тз, то х еи еи )г1 н хан)тм но тогда (х, х) = О и, значит, х = О. Пусть 111 — произвольное подпространство евклидова пространства )с, Выберем в )г1 ортонормированный базис е1, ез, ..., е, и дополним его до ортонормированного (гл.
~ч ввклидово пеостэанство 156 базиса еь еы..., е„е,+ь..., е„всего пространства. Векторы е,+ь ..., е„порождают (и — г)-мерное подпространство Р», очевидно, ортогональное Йь Покажем, что каждый вектор х из Я, ортогональный 1(ь принадлежит 1(э Действительно, если вектор х = х,е~ + хгез + ...
+ х,е, ортогонален 1(ь то (х,е) =х< —— О при(=1,2, ...,г, и значит х = х,+~е,+~ + ... + х„е„ ~ Рь Определение 5. Подпространство 1(», образованное всевозможными векторами из 1(, ортогональными ко всем векторам из Рь называется о р т о г о н а л ь н ы м дополнением й,; это надпространство 1(, мы будем обозначать через 1(~. Легко видеть, что ортогональное дополнение г-мерного подпространства (и — г)-мерно и что ортогональное дополнение к К~ совпадает с Яь т.
е. что Подпространства Я, и Й, порождают все 1( и пересекаются по нулевому вектору. Следовательно, евклидова пространство Я является прямой суммой любого своего надпространства и его ортогонального дополнения: 1( = й~ йт й~~ Поэтому каждый вектор х из 1( однозначно представляется в виде суммы х = у+ г, где у еи Рь г ен 1( ~ (теорема 6 главы П).
Вектор у можно назвать ортогональной проекцией вектора х на надпространство Рь В случае вещественного пространства можно определить и угол между вектором х и подпр остр а нств о м Я~ — его естественно считать равным углу между вектором х и проекцией у вектора х на )гь а значит, косинус этого угла равен (» У) (У+». У) (У У) (У) (У) (»1(У) 1»1(У( 1»1)У( )»1(У( (»1' 4 41 ЕВКЛИДОВО (ТОЧЕЧНО.ВЕКТОРНОЕ) ПРОСТРАНСТВО 157 Рассмотрим снова систему линейных однородных уравнений; аых,+а,зх,+ ... +а „х„=о а,х, + аз,ха + ...
+ а „х„= О (4) а<яхт+а ехз+...+ам х =О Этой системе можно дать следующую геометрическую интерпретацию. В евклидовом пространстве )4" (в ортонормированном базисе) задано ш еекторое а< = (а«, ам, ..., а<к), 1 1, 2, ..., ш. задача состоит в том, чтобы найти еге вектора х (кь х„ ..., х„), оргогокалькае каждому из векторов аь аз,..., а Пусть ранг матрицы А [а<ь] равен г, Если вектор х ортега. пален ко всем векторам аь то он ортогонален и к порождаемому имн г.м е р н о м у надпространству )7<. Таким образом, векторы-решения х образуют ортогональное дополнение )1~ подпространства Ль Размерность И< (т. е. максимальное число линейно независимых решений системы (4)) равна, как мы видели, и — г. Каждая фундаментальная система решений уравнений (4) — вто базис надпространства к<к. $ 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство Пусть А" — вещественное и-мерное аффинное пространство н Я" — соответствующее ему векторное пространство, в котором введена евклидова метрика (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
