Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 28
Текст из файла (страница 28)
т '!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!! !!!!!!!!Г Т !!!!!!!!!, если А )=1, если А )=— Для нечетного н !!!!!!!!!!!! !!!!!! !! !!!!!!! ! !!!!!!. есле ! А)=1, если ! А ! = - 1 относительно «координатных гипгрплоскостей» (матри- ца каждого такого преобразования имеет вид (6)) и несколько поворотов вокруг «(и — 2)-мерных осей» (каждый из которых имеет матрицу вида (7)) — это преобразование представляет собой одинаковый пово- рот, осуществляемый одновременно во всех двумерных плоскостях, перпендикулярных к (и — 2)-мерной «оси» поворота. Объединяя в матрице (5) два соседних элемента + 1 или — 1 в «клетки» [! 01 [со» О вЂ” н!п 01 [ — 1 О~ [сони — е!пи~ мы (возможно, после изменения нумерации базисных векторов) получим четыре типа ортогональных матриц Гсо» ф — н!и ф1 (заштрихованы «клетки» вида [, 3!п ф сон !Г где <р, в частности, может равняться нулю или и, а в пустых клетках все элементы равны нулю): Для четного и: 1З1 РНИТАРНЫИ ОПЕРАТОР $61 $5.
Унитарный оператор В этом параграфе евклидово пространство Й предполагается комплексным. О п р е д е л е и и е 4'. Линейный оператор л6, действующий в комплексном евклидовом пространстве, называется унитарным, если (зРх, зРу) = (х, у) для всех х, у из )т. Таким образом, унитарный оператор является аналогом ортогонального оператора. Так же как и ортогональный оператор (в вещественном пространстве), он сохраняет длины векторов и ортогональные векторы переводит в ортогональные. В частности, любой ортонормированньсй базис унитарный оператор переводит в ортонормированный базис. Верно и обратное: линейный оператор, преобразующий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, является унитарньии.
Легко видеть, что если оператор зг — унитарный, то зе' = за-', и обратно. Свойства 1 — 3 ортогональных операторов (см.стр. 173) переносятся на унитарные операторы без изменений. Фактически сохраняется и свойство 4: 4. Если Ф вЂ унитарн оператор, то для того, чтобы оператор аме был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы а по модулю было равно 1, ибо (ивах,алеу) = аи(М~х, Зеу) =1а)г(х,у). Пусть А — матрица унитарного оператора ее: в ортонормированном базисе еь ег, ..., е„. Тогда образы заеь зэег, ..., згбе„базисных векторов еь ег...е„ сами образуют ортонормированныйбазис: (лбеьд~е,) = = О при 6'Фй и (заев лбе<) = 1, т.
е. анам+ аг;ам+...+а ~а., = О при 1чь й, амаи+амам+ ... +а„;аги =1аг;)г+)агг)г+ ... (2') ... +)а„,16-1 при всех й Далее, если за — унитарный оператор, то оператор .4* = зй-' — тоже унитарный, н значит, столбцы магри. !82 ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч цы А', т. е. строки матрицы А, тоже образуют ортонормированную систему: а„ап + аьтаа+... +а„„а,„= О при (чьй, (з') а„ап+ а„ам+ ...
+ а;„а,„= = ) ап !' + )аы 1' + ... + ) а, „)' = 1 при 1= 1, 2, ..., и. Матрица А, для которой А'=А-', т. е. матрица, элементы которой удовлетворяют условиям (2') (или равносильным им условиям (3')), называется унитарной матрицей. Таким образом, матрица унитарного оператора в любом ортонормированном базисе является унитарной. Обратно, если в каком-то ортонормированном базисе матрица оператора Ф унитарна: А* = А ', то Фь = за-' и оператор зй является унитарным.
Теорема 6 переносится на унитарные операторы без изменений: ортогокальное дополнение )т1 надпространства Яь инвариантного относительно унитарного оператора,Ф, инвариантно относительно Ж Теорема 7 принимает такой вид: Т е о р е м а 7'. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны 1. Доказательство. Пусть х — собственный вектор и Х вЂ” соответствующее собственное значение унитарного оператора зя; тогда .Фх = Хх и (зях, Фх) = (х, х), Но (зарх, за) = (Ах, Хх) =Й(х, х) =)А)з(х, х); а так как (х, х) Ф О (х — собственный вектор, и значит, х Ф О), то )Х)з = 1, или )Х) = 1.
Таким образом, спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности комплексной плоскости. Новой является следующая Теорема 1О. Матрица унитарного оператора зэ комплексного евклидова пространства )т в некотором ортонормированном базисе приводится к диагональному виду (где все элементы главной диагонали по модулю равны 1). Доказательство. Пусть Х1 — одно иэ собственных значений (унитарного) оператора Ж По теореме 7', )Х1) = 1.
Соответствующий Х~ (едииичный) собственный вектор обозначим через еь Тогда зле~ = Х~еь ФЧ ПРОИЗВОЛЬНЫН ЛННЕИНЫИ ОПЕРАТОР !83 Пусть Я~ — одномерное подпространство, порожденное вектором еь Его ортогональное дополнение Й1 инвариантно относительно .Ф. Если, далее, Хз (где !Лт~ = 1) — собственное значение оператора .Ф в подпространстве )г, н ез — соответствующий (еднничный) собственный вектор, то ,Фез = Хзеь Обозначим через )сз (инвариантное) подпространство, порожденное векторами е1 и ез. Тогда надпространство й, тоже инвариантно относительно Ф. Продолжая это построение, мы найдем и попарно ортогональных (и, следовательно, линейно независимых) единичных векторов еь ем ..., е„ вЂ” собственных векторов оператора Ф. В базисе, состоящем из этих векторов, матрица оператора .Ф имеет диагональный вид Все элементы, стоящие на главной диагонали втой матрицы, по модулю равны 1.
Отсюда, в частности, видно, что определитель матрицы унитарного оператора в любом базисе (он ведь не зависит от базиса!) по модулю равен 1 (ср. с теоремой 8). й 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве Теорема 11. Всякий линейный оператор Ф в комплексном евклидовом пространстве можно представить в виде Ф = Я+ Ю, где Я и Ву — зрмитовы операторы. Доказательство. Допустим, что такое представление возможно; тогда вР' = Я* + (Я') ' = Я' — Ю' =Я вЂ” Ю, тан каи Я' Я и У'= Вт. Из равенств вР= Я+И' и Ф*= Я вЂ” Я' находим, что Я= з (м'+.4) н У= я (~ — ~). 134 ОпеРАтОРы В ВВклиДОВОм ПРОстРАнстВВ |гл, 7 Легко видеть, что операторы З= (А+А) и Е= (Ае А) 1 2 2 действительно являются самосопряженными и что А = =Я+ 1'и".
Представление А = Я+ (в" напоминает разложение комплексного числа на вещественную и мнимую части (ведь самосопряженный оператор имеет вещественный спектр!). Более содержательна, однако, следующая Т е о р е м а 12. Каждый невырожденный линейный оператор А в евклидовом пространстве можно представая|а в виде произведения А =%6, где  — самоса. пряженный оператор с положительными собственными значениями (такой оператор называется п ол аж ит е л ь н о о п р е д е л е н н ы м, или просто п о л о ж и- тельным), а У вЂ” унитарный (а в случае вещественного пространства — ортогональный) оператор (собственные значения которого, как известно, по модулю равны 1).
[Такое разложение в произведение вида й(в" линейного оператора напоминает т р и г о н о м е т р и ч ее к у ю ф о р м у комплексного числа: если и ~ О, то а = =г(совр+(з!п|Р), где г> О, а число соа|р+(з)п|р по модулю равно 1.1 Доказательство. Заметим сначала, что если А — произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве, то оператор З = А'А (так же, как и АА') является самосопряженным, так как Зе (АеА) ° АеАее АеА Я Если оператор А — невырожденный, то при хчьО и Ах ~ О, а значит (Ах, Ах) > О. Покажем, что в этом случае все собственные значения оператора Я=А'А положительны.
Действительно, пусть А †собственн значение, а х †соответствующ собственный вектор оператора Я. Тогда хФО и Ях=Хх. В этом случае (Зх, х)= =(А'Ах, х) =(Ах, Ах) > О. Но (Ях, х) =(Ах, х) =1 (х, х). А так как (х, х) > О, то и А > О. Докажем теперь само утверждение теоремы. Если оно справедливо, т. е.
если оператор А можно предста- $61 ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР 1вз вить в указанном виде А =%в", то оператор З ре е (~цее)ееце1 мацацее 611 Возьмем в качестве базиса пространства Я тот (ортонормированный) базис, в котором матрица (самосопряженного) оператора З=А'А приводится к диагональному виду 0 66...0 (8) где по доказанному все Х1) О.
Обозначим через Ф «положнтельный квадратный корень» из З, т. е. оператор Ж, матрица которого в том же базисе имеет вид Ух,о...о о Ух,... о о о ...Ул„ Тогда ясно, что в — положительно оп р еде лен н ьгй оператор н что бе=З. Если теперь положить А = = Яв", то оператор Я = И ', и нам остается только показать, что оператор Я вЂ” з р м и т о в (в вещественном случае — ортогональный). Но это видно из равенства сйе~ее ( ~ее 1)еАР 1 — (те-1) ° ~еАв 1— =6 1ЗО 1=6 1616 1=8 — и теорема доказана. Аналогично можно доказать, что всякий невырожденный линейный оператор А можно представить и в виде А = и",Я„где в1 — положительно определенный, а еЦ1 — унитарный (ортогональный) операторы.
Можно доказать, что указанное в теореме разложение единственно. В случае вещественного пространства можно сказать, таким образом, что каждое невырожденное линейное преобразование сводится к нескольким симметриям относительно гиперплоскостей, нескольким поворотам 136 ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У около (и — 2)-мерных «Осей» н нескольким растяжениям вдоль попарно ортогональных прямых. Пример. Пусть оператор А в базисе (е„е,) имеет невырожденную ()А~=4ФО) матрицу [ — д д — д~ Произведение )д2 2 Р 2 3 6 5)Г2 — симметрическая матрица, нз которой надо «извлечь квадратный корень«.
Собственные значения  — это Х, = 16 и 3,« = 1. Соответствующие собственные векто. ры е,'=(1, к'2) н е,=( — )д 2, Ц. В базисе (е,', е«) Г16 01 матрица оператора Я приводится к виду В, =1«о 1~. Значит, «положительный квадратный корень» из пеев это Ст= 1е, 1. МатРнцей пеРехода от базиса (ео е,) Г4 01 1 — Р'21 к базису (е,', е,') будет Л = ~, а обратной 1)21 к ней — А '= — ~ ~. Следовательно, в старом 3~ р2 базисе (е„е,) матрица оператора Ж вЂ” это С=ЛС«о '= — о 1 ' 3 и тогда У=АС '= [, (при этом А=Яй — оператор А представлен в виде произведения положительно определенного и унитарного опе.
раторов). ГЛАВА Л вилинвиныв и квддрдтичныв формы результаты первых пяти параграфов этой главы относятся к вещественному пространству. В последнем, шестом, параграфе они обобщаются на ком ил е ксный случай. $1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы Определение 1.
Заданная в (вещественном) век- торном пространстве Я функция двух переменных А(х, у), относящая каждой паре х, у векторов число А(х, у), называется билинейной функцией, нлн билинейным функционалом, если А (х + у, г) = А (х, г) + А (у, г), А(ах, у') = аА(х, у), А(г,х+у) =А(г,х) +А(г,у), А(х, ау) = аА(х, у), еде х, у, г — произвольные векторы из )с и а — любое (вещественное) число. Таким образом, А(х, у) есть линейный функционал по х при фиксированном у и линейный функционал по у при фиксированном х.
Примером билинейного функционала может служить скалярное произведение (х, у) векторов (вещественного) евклидова пространства. Найдем выраасение билинейного функционала в координатах. Пусть в пространстве )с задан базис еь ез, ... ..., е„, и пусть х х,е1+ хзез+ ° ..+ х„е„, у = у~е1 + узез+... +у„е„. <вв вилиннпные и квлдилтичныи еормы <гл. тп Тогда А(х,у) А (х,е, + х,ее+ ... + х„е„, у,е, + увез+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
