Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Однако, как видно из построении, корневые надпространства (н в каждом из них число собственных векторов, с которых начинаютсн цепочки определенной длины) определяются геометрически — инвариантными подпространствами преобразования. Таким образом, жорданова форма матрицы преобразования определена единственным образом с точностью до порядка расположения клеток на главной диагонали. Собственные значения клеток - это собственные значения преобразования. При этом все жордановы клетки с одним и тем же собственным значением объединяются в одну большую клетку, соответствующую корневому надпространству.
Жорданова матрица треугольная. Поэтому кратность собственного значения Л, ранна Ло если Л, встречается на диагонали матрицы Л, раз. Отсюда сразу следует Предложение 6. Размерность корневого надпространства равна кратности его собственного значения в характеристическом многочлене. 5. Приведение к жордвновой форме.
Нахождение жорданова базиса, или, как говорят, приведение матрицы преобразования к жордановой форме облегчается тем, что при этом нет нужды искать корневые надпространства. Они получатся автоматически после того, как будут построены соответствующие жордановы цепочки. Действительно, длн построения цепочек достаточно найти для каждого корни Л, его собственное надпространство и вложенные в него подпространства "1;, ...г "*, определяющие, с каких собственных векторов 1 начинаются цепочки. Согласно определению гз = (А — Л;Е)Ц,Х;) О Кег(А — Л,Е), но тут не надо находить,т;. Дело в том, что ~А — ЛзЕ)'(,У) О Кег(А — Л,Е) = = (А — Л,Е)'(,Ж,) й Кег(А — Л;Е). (9) Действительно, любой вектор х из У раскладывается в сумму векторов из корневых надпространств х = хз + ...
+ х, и (А — Л, Е) (х) = = уз + " + у„где у, = (А — Л, Е) (хз) Е М;, так как корневые надпространстваа инвариантны. При этом если х. ~ о при 1 ф з, то и у у: о, так как Кег(А — ЛьЕ) С.зы. По этим сообразкениям вектор, не лежащий в,Х,, не может перейти в вектор из М,. Отсюда сразу следует (9) и г~ = (А — Л;Е)~(2) П Кег(А — ЛзЕ), Рассмотрим в качестве примера преобразование А шестимерного 47.
Теорема Жордаяа 213 базисе о о о о 0 1 4 О О 3 о иней пространства, заданное в некотором матр о о 0 — 9 о — 2 2 0 1 О 1 О 0 0 1 о о о о о о о о Нетрудно подсчитать, что характеристический многочлен А равен (Л вЂ” 1)з(Л вЂ” 2)з, и, следовательно, имеются два корневых подпространства размерности 3 каждое.
Начнем с корня Л~ = 1. Составим матрицу 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 — 9 0 0 — 1 0 2 0 0 0 0 1 0 — 3 0 0 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 — 1 0 1 0 0 0 0 2 0 — 9 0 0 — 1 0 1 0 0 0 0 1 0 — 4 Из однородной системы уравнений с такой матрицей следует, что собственное подпространство одномерно, и его базисный вектор Ь имеет координатный столбец 13 = (~ 1 0 0 0 0 О (~т. Так как корневое пространство трехмерное, к Ь должны быть два присоединенных век- Решая однородную систему линейных уравнений с этой матрицей, находим, что собственное надпространство натянуто на векторы аз и аа с координатными столбцами, соответственно а~ = ~~ 0 1 0 0 0 0 ~~а и схл = (! 0 0 0 3 0 1 (!т . Собственное под пространство двумерное, а корневое трехмерное. Значит, должен быть один присоединенный вектор. Чтобы найти., к какому собственному вектору он присоединен, ищем пересечение "~' собственного подпространства с 1ш (Д вЂ” Е), которое 1 натянуто на столбцы матрицы А — Е.
Легко заметить, что четвертый столбец И вЂ” Е совпадает с сха. Так как а~ не раскладывается по столбцам А — Е, размерность сумллы подпространств равна 5, а сумма размерностей .—. 6. Значит, пересечение одномерно, и базис н нем аз. Решим систему уравнений (А — Е)~ = гхз и найдем координатный столбец гхз = (! 0 0 0 1 0 0 ((т присоединенного вектора аз.
После этого жорданов базис первого корневого подпространства построен. Для корпя Лз = 2 составляем матрицу Гь 'гй Пинейнне пространства 214 тора. Первый присоединенный получаел~ из системы (А — 2Е)?Г. = ?З. Его координатный столбец есть?З~ — — ~~ О 0 1 0 1 О йт. Второй присоединенный — решение системы (А — 2Е)?Р = Д. Его координатный столбец,Зз = (! 0 0 0 0 1 0)п~. Итак, жорданов базис состоит из трех цепочек: цепочка аг длины 1, цепочка аз, аз и цепочка Ь, Ьы Ьз. Координатные столбцы этих вектоРов гхы гхз,гхз, Д„Зы 13 составлЯют матРицУ пеРехода Я от исходного базиса к жорданову базису. Учитывая порядок, в котором мы расположили векторы жордановых цепочек, мы можем выписать жорданову матрицу А', которую имеет А в построенном базисе.
В матрице Я выделены жордановы цепочки, а в матрица .4' --. соответствующие люрдановы клетки; 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Рекомендуем читателю проделать все описанные здесь вычисления. Упражнения 1. Сколько существует жордановых матриц, отличающихся кратностями характеристических чисел, числом н размсрами клеток, среди матриц: а) второго порядка; б) третьего порядка: в) четвертого порядка'? 2. Найдите жорданову форму матрицы н матрицу перехода к жорданову базису для преобразования, заданного в исходном базисе матриней: 1 — 1 Π— 1 О 1 1 1 О 1/2 О 1 1 1 0 0 О 0 1 1?2 0 0 0 0 1 3 — 1 0 — 1 1 1 0 — 1 О О 2 — 1 0 0 1 О б) а) ГЛАВА ЪП ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА в 1.
Евклидовы пространства 1. Скалярное произведение. Линейное пространство, введенное в предыдущей главе, существенно отличаотся от множества векторов обычного геометрического пространства тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между векторами. В настоящей главе мы изучим такие пространства, в которых эти понятия определены. В гл.
1, используя длину вектора и угол, мы определили скалярное произнедение. Здесь удобнее поступить наоборот. Мы аксиома- тически определим операцию скалярного умножения, а длину и угол определим с ее помощью. Определение скалнрного умножения для вещественных и для комплексных пространств формулируется различно.
Этот параграф посвящен вещественным пространствам. О п редел е н и е. Вещественное линейное пространство б" называется енклидовым, если в нем определена операция скалярного улзкогкекия: любым двум векторам х и у из б'сопоставлено вещественное число (обозначаемое (х,у)), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, каковы бы ни были векторы х, у и г и число сс 1) (х,у) =(у,х):.
2) (х+ у, г) = (х, -) + (у, г): 3) (ах,у) = а(х,у)., 4) (х,х) ) О длн всех х ф о. Будем рассматривать я;мерное евклидоно пространство б'. Любое подпространство бн в б' — также евклидоно пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение. Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так как (х, ау) = (ау, х) = а(у, х), имеем (х, ау) = а(х, у). (1) Аналогично доказывается (х, у + ) = (, у) + (х, г) (2) Можно дать второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому. О п р е д ел е н и е. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем задана положительно определенная квадратичная форма.
Гл. 171. Явклидовы и унитарные пространства 216 Из первого определения следует второе. Действительно, если в вещественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это функция от двух векторов. Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейная. Аксиома 1) означает, что оилинейная функция сил1мстрична, а аксиома 4) . - что соответствующая квадратичная форма положительно определена.
Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно. Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определенных квадратичных форм. Во втором определении слово "задана" означает, что одна из них выделена и играет особую роль. Будем называть ес основной квадратичной формой. Пример 1. Для векторов геометрического пространства скалярное произведение двух векторов определено как произведение их длин на косинус угла между ними. Так, определенная операция скалярного умножения обладает нужными свойствами, но зависит от выбора единицы измерения длин.
Поэтому, если такая единица выбрана, векторы геометрического пространства образуют трехмерное евклидова пространство в определенном здесь смысле. П р и м е р 2. В п;мерном арифметическом пространстве мы можем ввести скалярное умножение., сопоставив столбцам ~ и ц число (тт1 = ('ц' + ... + ~™г1", (3) где через ~1 и ц' обозначены элементы столбцов. Используя свойства умножения матриц, читатель без труда может проверить, что все условия, входящие в определение, выполнены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
