Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтому элемент 1 пространства Р со строкой коэффициентов ~)рз ... у„~) имеет разложение ь = за~ р + "+ ззнр т (6) Введем столбец р, составленный из функций р'. Теперь разложение (6) можно переписать в матричной форме: рз (7) р Таким образом, строка координат элемента 1 б .хе* во взаимном базисе р совпадает с его строкой коэффициентов в исходном базисе еы ..., в пространства У'. Если для пространства .У' придерживаться соглашения писать компоненты вектора в столбец, а базисные векторы в строку, то формулу (7) следовало бы написать в виде 1 = Пусть в .ье базисы е и е' связаны равенством е' = е5.
Найдем матрицу перехода между их взаимными базисами р и р'. Для этого напишем формулу (4) в виде (4) З 1, решив ее относительно старых коэффициентов и транспонировав, чтобы записать коэффициенты в столбе . Мы пол чим у'=Ф') ю'. Отсюда видно, что матрицей перехода вт базиса р к базису р' в пространстве К" будет матрица (Я ')т. Значит, базисы связаны формулой р' = рт(Б ')т. Если вернуться для пространства .У" к записи ,т т уэц Линейные функции 195 элементов базиса в столбец, связь базисов примет вид р=фр' (8) Пространство х' такое же линейное пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство .хэ элементы которого - .
линейные функции на хэ'. Предложение 4. Пространство В'*' может быть отождествлено с Х'. Доказательство. Фиксируем определенный вектор х из .2' и сопоставим каждому элементу $ Е К* число $(х). Таким образом, х можно рассматривать как функцию на В' . Эта функция линейная. Действительно, (1 + я) (х) = 1(х) + й(х), и, следовательно, х сумме функций сопоставляет сумму чисел, сопоставляемых слагаемым. Аналогично, равенство (о1)(х) = о1(х) означает, что произведению( на о вектор х сопоставляет произведение о на число, сопоставленное 1.
Итак, х лзожно отождествить с некоторым элементом И" . При этом сумма и произведение на число для векторов из В' совпадают с их суммой и произведением на число, если их понимать как функции на х'*. Это очевидно. Например, для суммы это равносильно равенству 1(х -~- у) = 1(х) + 1(у). Теперь мы видим, что К может быть отождествлено с подпространством в Х' '. Но Йп1.хэ = с(1т.'а' = Йт.хэ, и надпространство совпадает со всем пространством. Упражнения 1. Может ли для линейной функции еа линейном пространстве х" для всех т Е 'х' выполняться: а) 1(х) > О; б) 1(х) 3 01 2.
Пусть а — фиксированный вектор плоскости. Сопоставим каждому вектору х плошадь ориентированного параллелограмма, построенного пах и а, или О, если векторы коллинеарвы. Проверьте, что эта фунвция линейна, и найдите строку ее коэффнциевтов в базисе си ех, если а = ае| -Ь де . Изменив базис, проверьте формулу (4). 3. Пусть к натуральное число. Сопоставим каждому многочлену степени не выше и значение его й-й производной в точке а,. Проверьте, что этим определена линейная функция. Найдите ее координатную строку в базисах: а) 1, К1, ...,1: б) 1, (1 — а), (1 — и), ..., (1 — а)".
4. Пусть еи ..., в„е Х' и р, ..., р" Е.Х: пара биортогональных базисов. Докальите, что длн любого х Е К и лля любого 1 Е 'х' выполнено х = = р (х)с~ -~- ... + р" (х)в и 1 = 1(в1)р -~- ... -~-1(с )р 9 6. Квадратичные формы 1. Билинейные функции. Введем следующее Определение. Билинейной функцией или билинейной формой на линейном пространстве хэ называется функция Ь от двух векторов Гл.
Вй»»инейныв пространства из .К, линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая 1для любых х, у и з и любого числа о) равенстнам Ь)х + д, з) = Ь1х, з) + Ь(у, з), Ь1ох, у) = оЬ)х, у), (1) Ь1х, у + з) = Ь1х, у) + Ь1х, з), Ь1х,од) = оЬ1х., у). Ь»х,у) = Ь(~ С'ео ~~ т1»с ) = ~~ С"»1»Ь(сов. ), или, окончательно, Ь)х,у») = У»з»»с'»1». 12) Здесь аз чисел А.
= Ь1е„е ) (значения билинейной функпии на всевозможных парах базисных векторов) называются ее коэффициента»ни в базисе е. Их записывают в виде квадратной матрицы порядка ти Аэ " Ап Аз ",Ф2п А» с»ы н» ннз " Впн Эта матрица называется»натрицей билинейной функции в данном базисе. Как легко проверить умножением матриц, равенство 12) можно написать в матричном виде: Ь1х,у) = ~~В»1. (3) Матрица билинейной функции в следуюшем смысле однозначно определена: если значение Ь1х,у) для любой пары векторов получается по формуле 13) с помошью матрицы С, то С = В, т.
е. элементы С - — значения Ь на парах базисных векторов. Действительно, в этом случае мы имеем А = Ь(еее ) = е» Сев где е, и е . столбцы единичной матрицы. Пример 4 ~ 2 гл. Ъ' показывает, что А» равно элементу сц матрицы С. При замене базиса матрица билинейной функции, разумеется, меннстся. Получим закон ее изменения. Пусть С' и »1' — координатные столбцы векторов х и у н базисе е' = е5. Тогда с = Я' и т1 = Я»1'. По формуле 13) имеем Ь1х,у) = 1Я')т В(Я»1') = ~'(Я~ВЯ)»1'. Поскольку матрица В' функции Ь в базисе е' однозначно определена, В' = Я~ВЯ. 14) Пример 1.
Паре векторов на плоскости сопоставим скалярное произведение. В силу известных свойств скалярного произведении это -- билинейная функция. Пусть е = д е» ... енй ". базис в К. Если С' и у» (1,1 = 1, ..., и) .. координаты векторов х и д, то значение билинейной функции Ь на этой паре векторов может быть вычислено согласно 11) так; 96. Квадратичные формы 197 Перемножая матрицы, мы получим выражение для элементов В' сс, = ~ аьас дьс (с,д = 1, ", п), % ь,с в котором вс — - элементы матрицы перехода я.
Билинейная функция Ь называется симметричной, если для любой пары векторов Ь1х, у) = Ьсу, х). Если билинейная функция симметрична, то Ь(сц, е ) = Ь(ес, е,) для любых с и,с, т. е. Ви = 17сс. Таким образом матрица В билинейной функции симметрична. Обратно, пусть билинейная функция имеет симметричную матрицу. Тогда, поскольку матрица размеров 1 х 1 не меняется при транспонировании, Ь(х, у) = 1г,т Вц)т = 777 Втг.
= 777 Вц = Ь(у, х). Мы доказали Предложение 1. Билинейная функция симметрична тогда и только тогда, когда симметрична ее матрица. 2. Квадратичные формы. Определение. Квадратичной формой или квадратичной функ- цией на линейном пространстве .Ее называется функция 1, значение которой на любом векторе х определяется равенством 1(х) = Ь1х, х), где Ь -"- симметричная билинейная функция. П р и м е р 2. Скалярное произведение векторов — силсметричная билинейная функция.
Соответствующая квадратичная функция сопо- ставляет вектору квадрат его длины. По заданной квадратичной форме К однозначно определяется соот- ветствующая симметричная билинейная функция Ь. Действительно, пусть х и у произвольные векторы. Тогда 1с(хс + у) = Ых+ у, х + у) = Ь(х, х) + Ь(х, у) + Ь(у, х) + Ь(у, у). Отсюда, используя Ьсу, х) = Ь(х, у), получаем Ь1,у) = —,Ж +у) — ~(*) — й1у)), 1 и значение Ь на любых векторах выражается через значения М. Матрссцей квадратичной формы называется матрица соответст- вусощсй билинейной функции. Согласно (3) мы имеем следующее выражение значения квадра- тичной формы через координатный столбеп вектора; цтВч сб) или, в развернутонс виде.
~(х) = ~ А ~'~с. Гл. е7. Пикейные пространства 198 Правая часть формулы (7) однородный многочлен второй степени относительно ~1,...,~". (Собственно, слово "форма", когда-то употреблявшееся значительно шире, означает "однородный многочлен".) Приведенная запись этого многочлсна содержит подобные члены: при 1 ~ 1 члены З1 С'Се и З,~1~' и,З„~о~' совпадают. Поэтому после приведения подобных членов (7) принимает вид Определение. Квадратичная форма к в базисе е имеет диагональный вид, если в этом базисе к(к) = ~в1((')1, т. е. ее матрица является диагональной.
Теорема 1. Для колодой квадрагпичной формы й суи1ествует базис, в котором она илсеет диагональный вид. Доказательство. Пусть В матрица квадратичной формы й в каком-либо базисе. Применим к матрице В последовательность элементарных преобразований, которую для удобства описания разобьем на ряд шагов. На первом шаге возможны два случая. 1) Основной случай: 1З11 ~ О. Если это так, вычитаем первую строку, умноженную на подходящие множители (З1и/В11 для 1-й строки), из всех лежащих ниже строк и вычитаем первый столбец, умно1кенный па те же множители, из всех столбцов правее него. В результате матрица В перейдет в матрицу В, вида О ..
0 0 (10) С1 0 где С1 симметричная матрица порядка и — 1. 2) Особый случай: З11 = О. Здесь имеются две возможности. а) 1З1, = 0 для всех 1 = 2, ..., п. При атом матрица уже имеет нужный вид (10). б) Найдется 1, для которого,З1, р': О. При этом делается вспомогательное преобразование: если 1З„ ф О, то 1-я строка переставляется с первой, и 1-й столбец переставляется с первым; если же З1, = О, то 1-я строка прибавляется к первой и 1-й столбец прибавляется к первому.
В преобразованной матрице оказывается Щ ф О. После вспомогательного преобразования матрица приводится к виду (10) так же, как и в основном случае. 46. Квадратичные формы 199 Пусть в результате й шагов мы получили матрицу ве ... О О О ." еь (11) ее В' = Разумеется, если исходная матрица нулевая или нулевой окажется какая-либо из матриц Сы то н дальнейших преобразованиях необходимости нет, так как матрица уже диагональная. Это равносильно тому, что на всех следующих шагах имеет место особый случай а).
Важно заметить, что после каждого элементарного преобразования строк осуществлялось такое же элементарное преобразование столбцов. Если элементарное преобразование столбцов равносильно умножению преобразуеллой матрицы справа на матрицу Яа, то то же преобразование строк равносильно умножению слева на матрицу Ят (п. 4 9 2 гл. Ъ'). В результате всей последовательности злегиентарных преобразований мы получаем матрицу В' = ЯтВЯ, где 5 = Я1...$н -- произведение всех матриц, осуществляющих элементарные преобразования столбцов. 'л1ы доказали, таким образом, что матрица В' является матрицей квадратичной формы к в базисе е', который связан с исходным базисом е матрицей перехода 5.
Теорема доказана. Доказательство дает способ выписать матрицу перехода 5 к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Для этого нужно попутно с преобразованинми матрицы В делать все элементарные преобразования со столбпами единичной матрицы. В конце единичная еиатрица превратится в произведение всех элементарных матриц, т. е. в нужную нам матрицу Я. Здесь Сь симметричная матрица порядка в — й, а через вы ...,ае обозначены левые верхние элементы матриц С,, полученных на предыдущих шагах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
