Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Это означает, что для любого х Е У выполнено (А — Л;Е)ж Сг,(х) = о, т, с. ьг,(х) Е Кег(А — Л;Е)~*, Ц;(ес) С Кег(А — Л;Е)Ы. С другой стороны, пусть х Е Кег (А — Л,Е)"*. В каждое преобразование Ц при з' ф1 входит множитель (4 — Л,Е)ь*, обращающий х в нуль. Поэтому формула (6) для такого х имеет вид х = Сг,(х). Значит, х Е Я;(.2'), и поэтому Кег(А — Л,Е)" С (>,(.2'). Предложение доказано.
Следствие. Собственное подпространство принадлежит соответствуюи1ему корневому подпространству; Кег(А — Л,Е) С .зо. Действительно, если (А — Л,Е)(х) = о, то и (А — Л,Е)ь*(х) = о. В силу предложения 2 формула (7) может быть написана так: .У = Кег (4 — Л| Е) ь' кд ... б~ Кег (А — Л, Е) ь*.
(8) 3. Строение корневого надпространства. Рассмотрим одно корневое подпространство,М'е и ограничение преобразования (А— — Л;Е) на нем. Обозначим это ограничение через В. Индекс 1 для краткости будем пропускать. Предложение 2 означает, что В '* = О.
еи Преобразования, некоторая степень которых равна нулевому преобразованию, называются нильпотентными. Итак, рассматривается комплексное линейное пространстно Л8 и его нильпотентное преобразование В. В (х) = о для любого х, но вполне может случиться, что для каь кого-то х при К ( й будет Вь)х) = о.
Число Ь такое, что В (х) = о, но Вь ~(х) ~ о называется высотой вектора х. Векторы высоты 1 составляют ядро В, т. е. собственное подпространство А. Пусть т д 7. Теорема Жордаиа 209 максимальная среди высот всех векторов. Она называется показагпелем иильпотентности преобразования. Ясно, что т ( й. Подействовав на обе части включения В(А') С М' преобразованием Вь ', мы видим, что В"(,Х~ С В" '(,Ж) для любого Ь и (о) = В'"(М ) С В" '(,Щ С ... С В(дР) С дР'. Обозначим через Уиь пересечение В" (Л') с собственным подпространством Кег В. Из предыдуших включений следует ( ) ко|С.~ш — 1С С.Р1 Выберем в КегВ базис следующим образоьк базис в 1'' ' дополним до базиса в ~', полученный базис дополним до базиса л' и т. д.
В результате получится базис с", ...,ел в Кег В, обладающий тем свойством, что векторы из любого У' раскладываются только по тем векторам базиса, которые лежат в '~' '. Пусть базисный вектор ео лежит в М'", но не в '~'" ь'. Тем самым он принадлежит к В (,.Ж'), и существует вектор еь такой, что ео = ь 6 = В (е".).
Этот вектор мы назовем Ь-м присоединенным к со. Вообще, вектор е =В (е ) (1=1,...,6) (9) называется 1-м присоединенным к ео. Из формулы (9) видно, что 3' В(е)=В (е )=е Таким образом, по ео определена цепочка векторов ео, ег, ..., е", удовлетворяющая равенствам В(е ) = е., В(е.) = е',, В(е") = е" . (10) Такие цепочки векторов называются леордановь4ми цепочками.
Самые длинные цепочки начинаются с векторов из М'"' и имеют длину т. Если ео ф и', то он .. единственный вектор в своей цепочке. Вь+'(е,") = В(ео) = о. Поэтому из (9) следует, что 1-й присоединенный вектор имеет высоту 1+ 1. Обозначим через е систему векторов, получающуюся объединением всех жордановых цепочек., начинающихся с векторов ео„...,е~л. Предложение 3. Система векторов е является базисоле в,Х; Доказательство. 1'.
Линейную независимость системы е нетрудно проверить индукцией по числу векторов в системе. Действительно, если в системе один вектор, то он собственный, и утверждение очевидно. Пусть любая система из з собственных и присоодиненных к ним векторов линейно независима при условии, что входящие в нее собственные векторы линейно независимы. Рассмотрим произвольную систему такого вида, содержащую в+ 1 векторов, и какую- Ы д.н.
Беклемишев 210 1л. а1. Линейные пространства нибудь линейную комбинацию векторов этой системы, равную нулю. Покажем, что она тривиальная. Для этого подействуем на нее преобразованием В. В силу формул (10) мы получим равную нулю линейную комбинацию этой же системы, но содержащую меньше векторов, так как все собственные векторы перейдут в нуль. По предположению индукции все коэффициенты последней линейной комоинации равны нулю. Но это коэффициенты исходной линейной комбинации, стоящие там при присоединенных векторах.
Значит, исходная комбинация могла содержать ненулевые коэффициенты только при собственных векторах. Собственные векторы линейно независимы, и потому ни одного ненулевого коэффициента нет. 2'. Докажем, что каждый вектор х из е," можно разложить по системе е. Сделаем это с помощью индукции по высоте яектора х. Высоту 1 имеют собственные векторы.
Они раскладыва1отся по базису во„..., ео, составляющему часть системы е. Пусть утверждение доказано для векторов высоты < Д. Рассмотрим произвольный вектор х высоты 6+ 1. Для него вектор В" (х) собственный и принадлежит В~(М'). Следовательно, В (х) Е .й'~. Пусть сйгп е' ' = р. По построению базиса в КегВ векторы в",,...,ео базис в е'~, и Вь(х) раскладывается по этим векторам. Все они имеют 6-е присоединенные, и потому Вь(х) = ацВл(еь) + ...
+ олВ (еп). Это означает, что вектор у = х — иге, — ... — оре„ удовлетворяет л л равенству В (у) = о, т. е. имеет высоту < й. По предположению ин- 6 дукции р раскладывается по системе е. Отсюда сразу получается разложение х по этой системе. Базис е, построенный в предложении 3, называется жврданввым базисом корневого надпространства,Ж; а объединение жордацовых базисов всех корневых надпространств жврдановым базисом в К. Векторы зкордановой цепочки, начинающейся с е", часть жорданова базиса и, значит, линейно независимы. Поэтому они . базис в их линейной оболочке В;. Такое надпространство М' называется циклическим. Если х Е 'в', то в силу формул (10) В(х) = В(оее + о1е'+ ... +оье",) = оге, + ...
+ оье. Е ою. Следовательно, оз инвариантно относительно В. Так как  — ограничение преобразования (А — Л,Е) на Я' = М'и то циклическое надпространство инвариантно также и относительно А. Действительно, А(х) = В(х) + Л,х е еЕз. Жорданов базис корневого надпространства объединение базисов циклических подпространств. Поэтому мы получаем Предложение 4. Если В . — нильпвтентнве преобразование 47. Теорема Жердина 211 пространства М', то л' рас ~адается в прямую сумму ,М'= 'б1 сз ... 1ВЖл циклических относительно В надпространств. Их число равно размерности д собственного надпространства Кег В.
4. Теорема Жордана. Из прсдложений 1 и 4 прямо следует Предложение 5. Если в комплексном пространстве 2' задано линейное преобразование А, то К -- прямая сумма инвариакткых относительно А циклических надпространств. Их число равно общему числу всех цепочек в жордановол1 базисе пространства .2', т. е. и1 + ... + йе, где с1, = ьйгп Кег (А — Л, Е'1. ЛКорданов базис пространства 2' объединение базисов инвариантных подпространств, и по предложению 2 з4 матрица преобразования А в этом базисе клеточно-диагональная. При этом диагональные клетки этой матрицы являются матрицами ограничений А на соответствующих подпространствах.
Поэтому, если мы хотим получить вид матрицы преобразования в жордановом базисе, мы должны сначала написать матрицу ограничения А на циклическом подпространстве. Пусть циклическое подпространство принадлежит корневому подпрострапству с собственным значением Л; и натннуто на векторы цепочки ео, ..., еь. Мы имеем А(е~) = В(е11+ Л,е1 (1 = 0,...,6), и по формулам (10) о~ Л о А( 1) о+Л 1 А( ь) ь — 1+ .ь Столбцы матрицы преобразования это координатные столбцы образов базисных векторов. Поэтому матрица ограничения А в рассматриваемом базисе имеет вид Л; 1 0 ...
0 0 Л, 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... Л, Матрица такого вида называется зеординовой клеткой порядка Ь+ 1 с собственным значением Ло Клеточно-диагональная матрица, у которой клетки жордановы, называется жордаковой матрицей или матрицей, имеющей жорданову форму. Из всего сказанного вытекает теорема Жордана. Теорема 2.
Для любого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует базис (жорданов базис), в котором егв матрица ил<еет жорданову форму. 1Корданов базис для данного преобразования, конечно, не единствен: базис ео,...,еоз в каждом корневом пространстве выбирается с 1л. Уй Линейные пространство 212 некоторым произволом, и присоединенные векторы по формулам (10) определены не однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
