Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 52
Текст из файла (страница 52)
С введением скалнрного произведения преобразования приобретают новые свойства подобно тому, как векторы приобретают длину. Определение. Линейное преобразование А' евклидова пространства называется сопрязкенныл1 преобразованию 4, если для любых векторов т и у имеет место равенство (4( ), у) = (т, 4" (у)). Ж Допустим, что данное преобразование А имеет сопряженное А'. Выясним, как связаны матрицы преобразований А и А' в некотором базисе е. Обозначим эти матрицы через А и А', а координатные столбцы векторов т и у через с и и. Тогда равенство (1) можно переписать в координатной форме (А~)тГЧ = ~тГА'Ч, гле Г - матрица Грама базиса е.
Выполнив транспонирование, получаем РТАУГЧ = РтГА*Ч. (2) Это раненство показывает, что левая и праван части (1) являются билинейными функцинми, а АтГ и ГА* матрицы этих функций в базисе е. Если значения функций равны при любых л и у, то матрицы этих функций равны. Поэтому Ат Г = ГА'. (3) Итак, матрицы преобразований 4 и А* связаны соотношением 13). В частности, если базис ортонормированный, А' = Аг. (4) Предложение 1. Каждое линейное преобразование евклидова пространства имеет единственное сопряженное преобразование. Для доказательства выберем ортонормированный базис е и рассмотрим линейное преобразование В, матрица которого в базисе е 15 Д.В.
Векземтвеь 226 Гл. УП. Явкладовы и унитарные пространства равна Лт. Подставим В вместо А' в определение (1). Это приведет к очевидному равенству для матриц (Л~)тз1 = ~т(Лтз1). Таким образом, В является сопряженным для А. Если бы имелось два преобразования, сопряженных одному и тому же А, то в силу (4) их матрицы совпадали бы.
Предлогкение доказано. Поскольку (Л~ )т = .4, из формулы (4) вытекает, что (А')* = А. (5) Для любых двух преобразований А и В из (ЛВ)т = ВтЛт получаем (АВ)* = В*А*. (6) Из той же формулы (4) следует, что характеристические много- члены А и А* совпадают. Следовательно, собственные значения преобразований и их кратности одинаковы. В качестве приложения понятия сопряженного преобразования дадим геометрическое истолкование теоремы Фредгольма для системы .4х = Ь из п, уравнений с и неизвестными. Для этого рассмотрим п-мерное евклидова пространство и ортонормированный базис в нем.
Каждый столбец будет координатным столбцом некоторого вектора, а матрица Л матрицей линейного преобразования А. Система совместна, если существует такой вектор х, что 4(х) = Ь, т. е. Ь принадлежит множеству значений 1гп А преобразовании А. С другой стороны, сопряженная однородная система Лту = о равносильна условию А'(у) = о, т. е. ивляется системой уравнений для Кег А*. Таким образом, теорема Фредгольма эквивалентна следующему утверждению: Ь е 1т А тогда и только тогда, когда (Ь, у) = О для любого у Е КегА*.
Мы приходим к такой ее формулировке: Предложение 2. Мнозкество значений преобразования А совпадает с ортогональным дополнением ядра его сопряженного преобразования: 1гпА = (КсгА')~. В гл. Ъ' мы доказали теорему Фредгольма (для более общего случая), но и эта ее формулировка легко проверяется. Действительно, для любого х и любого у Е Кег А' (А(х),у) = (х.А'(у)) = (х,о) = О.
Следовательно, !га А С ( Кег А*)" . Сравнение размерностей показывает, что пространства совпадают. 2. Самосоприженные преобразовании. Линейное преобразование 4 евклидова пространства называется самосопряженньем, если А = А*. Это равносильно тому, что (4(х), у) = (х, А(у)) для любых х и у. Из формулы (4) следует Предложение 3. Преобразование является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормироеанном базисе симметрична. 42.
Линейные преобразования евклидовых прас ~ракете 227 Собственные значения и собственные подпространства самосопряженных преобразований обладают рядом важных свойств, к изучению которых мы переходим. Ниже нам дважды придется воспользоваться следующими замечаниями: ограничение А самосопряжонного преобразования А на любом инвариантном подпространстве является самосопряженным. Собственный вектор ограничения является собственным и для преобразования.
Оба утверждения очевидны. Опи сразу следуют из соответствующих определений и того, что А'(х) = А(х) для тех векторов, для которых определено А'. Теорема 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественньь Д о к а з а т е л ь с т во. Допустим, что самосопряженное преобразование А имеет не вещественный корень характеристического много- члена.
Тогда согласно предложению 8 2 4 гл. Л'1 существует двумерное инвариантное подпространство Р', це содержащее собственных векторов А. Обозначим через А' ограничение А на б". Поскольку А' -- самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу ;3 Т Характеристический многочлен этой матрицы Лг — (о+ у)Л+ + (оу — Дз) имеет дискриминант (о + Т)г — 4(сгу — 32). Последнее легко преобразуется в (сг — Т)2 + 4772. Следовательно, дискримицацт неотрицателсн, характеристический многочлсн имеет вещественный корень, а преобразование А' собственный вектор, что противоречит выбору надпространства 6"'. Теорема доказана. Доказанное утверждение допускает следующую матричную формулировку. Предложение 4.
Если А — вещественная симл~етричная матрица, то все корни уравнения Деь(А — ЛЕ) = О вещеапвенны. Т е о р с м а 2. Собственные надпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны. Теорема равносильна следующему утверждению. Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным зничениям, то они ортогональны. Докажем его. Пусть А(х) = Лх и А(у) = ру, причем Л ф р.
Тогда (А(х), у) = Л(х, у). Но иначе можно получить (А(х), и) = (х, А(у)) = р(х, у). Из этих двух равенств следует (Л вЂ” р)(х, .у) = О, откуда (х, у) = О, как и требовалось. Теорема 3. Если подпространство 6" инвариантно относительно самосопряженного преобразования А, то ортогональное дополне- 228 Гл. УП. Кеклидовы и унитарные пространства ние К'~ э пого подпространства также инвариантно относительно А. Доказательство. Нам дано, что для каждого х из бе образ А(х) также лежит в еь'. Поэтому (А(х), у) = О для любого д й еу'"-. Но длн самосопряжеццого А это равносильно (х, 4(у)) = О, и, следовательно, А(у) е Х'-', как и требовалось.
Теперь мы можем доказать основную теорел~у о самосопряженных преобразованиях. Теорема 4. Пусть А — самосопряженное преобразование евклидова пространства 4'. Тогда в Р существует ортонормированный базис из собственных векторов А. Доказательство. Обозначим через х" сумму собственных надпространств преобразования А и докажем, что она совпадает с А'. Су мма собственных надпространств --.
инвариантное подпространство. Действительно, если вектор х раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащих каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же. Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение .,К также инвариантно. Допустим, что подпространство .К ненулевое и рассмотрим ограничение А преобразования А на.К . Это самосопряжепное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор.
Этот вектор собственный и для А и должен лежать в х". Так как он ненулевой, в х' он лежать не может. Полученное противоречие показывает, что К . нулевое надпространство, и К совпадает с ь. Поскольку сумма собственных надпространств . прямая сумма, требуемый базис в бл можно выбрать как объединение ортонормированных базисов собственных подпространств. Этот базис будет ортонормированным, так как векторы базиса, лежащие в разных собственных подпространствах, ортогональны по теореме 2. Доказанная теорема допускает такую матричную формулировку. Предложение 5. Если А симметричная матрица, то существует ортогональная матрица 5 такая, что Я 1АЯ диагональная машрици.
Действительно, матрица А задает самосопряженное преобразование в ортонормированном базисе. В качестве Я можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису, построенному в теореме 4. Для теоремы 4 справедлива обратная теорема. Предложение 6. Если существует ортонорлшрованный базис из собственных векторов линейного преобразования А евклидова пространства, то А самосопряженное. Действительно., в таком базисе матрица преобразования диагональная, а потому симметричная. А = А* по предложению 3.
Приведем геометрическую характеристику самосопряженного 42. Линейные превбравеванип евнлидввыа прае ~ранежлв 229 преобразования. В теореме 2 9 3 гл. 112 мы рассматривали, в частности, аффинное преобразование плоскости, состоящее в сжатии (растяжении) по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В и;мерном евклидовом пространстве обобщением такого преобразования будет сжатие по п попарно перпендикулярным направлениям. Выберем ортонормированиый базис так, чтобы его векторы имели данные направления. Тогда каждый базисный вектор е; перейдет в ему пропорциональный вектор Л;е,, где Л; коэффициент сжатия. По предложению 6 преобразование будет самосопряженным. Обратно, самосопряженное преобразование с положительными собственными значениями является сжатием по и попарно перпендикулярным направлениям.
Нулевому собственному значению соответствует уже не сжатие, а проектирование, а отрицательному собственному значению произведение сжатия и симметрии. Рассмотрим теперь нахождение базиса, существование которого доказано в теореме 4. Выбрав некоторый (удобнее, если ортонормированный) базис составляем матрицу А преобразования. Находим корни ее характеристического многочлена г1еь(А — ЛЕ) и для каждого корня базис в собственном подпространстве как фундаментальную систему решений системы (А — ЛЕ)д = о.
Для простых корней единственный вектор базиса следует пронормировать, а для кратных корней полученный базис нужно ортогонализовать и нормировать. Для практического решения вычислительных задач по ряду причин применяются совсем друтие методы. Изложение этих вопросов не входит в нашу задачу. Поясним, однако, одну из таких причин на простом примере.
Допустим, что мы производим вычисления с округлением, учитывая два десятичных знака после запятой, и нам нужно найти характеристические числа матрицы 1 0,03 0,03 1 При выбранной точности истинное характеристическое уравнение Лз — 2Л + 0,9991 будет воспринято как Лз — 2Л + 1, и мы найдем Л', = = Л!~ = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
