Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Скалярное произведение (е1,ез) = (е1,1е,) = — 1, даже если по отношению к обычному скалярному произведению эти векторы и перпендикулярны. 2. Свойства унитарных пространств. Все доказанные выше свойства евклидовых пространств с небольшими изменениями переносятся на унитарные пространства. Скалярное произведение выражается через координаты сомножителей в базисе е по формуле (х,у) = д Гг4, где Г матрица Грама базиса е, или, иначе, матрица основной эрмитовой формы.
Ее элементы .. скалярные произведения всевозможных 16 Д.В. Векпеыкшее 242 Гл. 171. эвклидовы и унитарние пространства пар базисных векторов. Поскольку (е,, е.) = (ез, е,), матрица Грама в унитарном пространстве удовлетворяет условию Гт = Г. (3) Напоьлним, что при условии (3) матрица называется эрмтпвввй. В конечномерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, векторы которого попарно ортогональны, а по длине равны 1. Такой базис можно получить из произвольного базиса методом ортогонализации. В ортонормированном базисе скалярное произведение выражается формулой ( у) =с'с1'+ "+с"цв Ортогональное дополнение подпространства и ортогональные проекции вектора в унитарном пространстве определяются так же, как в евклидовом, и имеют те же свойства. Разумеется, нужно не забывать следить за порядком сомножителей в скалярном произведении.
Матрипа перехода от одного ортонормированного базиса в унитарном пространстве к другому такому же базису должна удовлетворять авенств (4) Р ВтЯ-Š— с Это означает, что я = от, а отсюда следует ВВт О п редел е н и е. Матрица, удовлетворяющая равенству (4), называется унитарной. Применяя равенства (1) ь форьсуле полного разложения детерминанта, мы получаем, что с1ес Я = де~ о. Теперь из (4) следует йе1(Я~Я) = с1ес В~ с1ес 5 = с1ес Яс1еС Л = ) с1еь Я) ' = 1. Таким образом, детерминант унитарной матрицы .-- комплексное число, по модулю ранное 1.
В теореме 5 24 гл. Ъ" мы видели, что для каждого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует базис, в котором его матрица верхняя треугольнан. Легко видеть, что ортогонализация такого базиса не выводит его векторы из подпространств (11) 24 гл. У. Поэтому справедлива Теорема 2.
Для каждого линейного преобразования унитарного пространства существует вртвнврмирвванный базис, в котором егв матрица верхняя треугольная. 3. Свмосопряжеиные и унитарные преобразовании. Преобразование унитарного пространства называется самосвпряженным, если для любых векторов х и у вьшолнено равенство (А(х), у) = (х, А(у)). Из этого определения вытекает, что преобразование является салсосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе зрмитона.
44. Понятие об унитарных пространствах 243 Собственные значения (а значит, и все характеристические числа) самосопряженного преобразонания ве~цественньь Действительно, если А(х) = Лх, то (А(х),х) = Л(х,х) и (х,А(х)) = Л(х,х). Следовательно, Л = Л. На самосопряженные преобразования унитарных пространств без изменений переносятся теоремы 2 4 22.
Заметим, однако, что обращение теоремы 4 22 - предложение 6 22 на унитарные преобразования не переносится: эрмитова матрица должна иметь вешественные числа на главной диагонали, а потому не всякая диагональная матрица эрмитова. Преобразование унитарного пространства такое, что (А(х),А(у)) = (х.,у) для любых векторов х и у, называется уяптарныж преобразованием. Преобразование унитарно тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе унитарная. Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице. Каждое унитарное преобразование имеет ортонормированный базис из собственных векторов.
Этим унитарные преобразования отличаются от ортогональных преобразований евклидова пространства. 4. Эрмитовы формы в унитарном пространстве. Рассмотрим в унитарном пространстве полуторалинейную форму Ь. Преобразование А этого пространства называется присоединенным к форме Ь, если Ь(х,д) = (х,А(у)) для любых векторов х и у. В ортонормированнолп базисе матрица присоединенного преобразования совпадает с матрицей, комплексно сопряженной матрице полуторалинейной формы Ь.
Отсюда следует, что преобразование, присоединенное к эрмитовой форме, является самосопряжсцным. Теперь аналогично теореме 1 2 3 мы лложем заключить, что для эрллитовой формы в унитарном пространстве найдется ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид с вещественными числами на диагонали. Для двух эрмитовых форм,из которых одна положительно определенная, найдется базис, в котором они обе имеют диагональный вид. Упражнения 1. В двумерном унитарном пространстве лан ортонормироваяный базис и векторы а и Ь, каордиааты которых в этом базисе соответственно 1 + г, 1 — 1 и — й2 — 21. а) Найдите их длины и косинусы углов между а и Ь и между Ь и а. б) Ортогонализуйте эту пару вектороа. 2.
Напишите какую-нибудь эрмитоау матрицу порядка 3 и какую- нибудь унитарную матрицу порядка 2. 16* Гл. ИХ. Евнлиоовы и унитарные ирострвнства 244 Является ли преобразонание самосопряженным., унитарным? 5. Найдите ортанормиронанный базис из собственных векторов унитарного преобразовании, заданвого в ортонормированном базисе матрицей — вга 1о сов 1о соз ~р в!н ус 3. Докажите, что корни характеристического уравнения вещественной ортогональной матрицы (в том числе и комплексные) по модулю равны 1. 4.
Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе для преобразования А, заданного в ортонормированном базисе матрицей Г11АВЛ Ъ'1П АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА й 1. Плоскости 1. Аффинное пространство. В гл. 1 мы считали известным из школьного курса понятие обычного геометрического пространства и ввели определение вектора как упорядоченной пары точек. В гл. М1 и гл. МП были изучены многомерные векторные пространства. Теперь мы можем дать аксиоматическое определение точечного пространства любой размерности. Рассмотрим и-мерное вещественное линейное пространство К и дадим следучощес Определение. Множество,5" называется и-мврным аффинным пространством, а его элементы точками, если задан закон, сопоставляющий каждой упорядоченной паре его элементов А и В единственный вектор из .К (который мы обозначим АВ) так, что: 1) длн любой точки А из .У и любого вектора х Е К существует единственная точка В такая, что .4В = ш; эта точка будет обозначатьси Р(А,к); 2) для любых трех точек А, В и С выполнено .4В+ ВС = АС.
К называется пространством векторов пространства,х', а его элементы векторами из,у". Чтобы установить соответствие с привычными определениями, заметим, что первое требонание соответствует возможности отложить произвольный вектор от любой точки, а второе — . определению сложении векторов. Приведем простейшие следствия из определения аффинного пространства. а) Для любых двух точек А и В .4.4+ АВ = АВ.
Поэтому вектор, соответствующий паре совпавших точек, является нулевым вектором. Отсюда для любой точки .4 имеем Р(А, о) = Р(А, АА) = А. б) Второе требование для точек А, В, А дает АВ -~-ВА = А.4, откуда АВ = — ВА. в) Для любых четырех точек А, В, А', В' справедливо равенство А'А+ АВ = А'В'+ В'В. Поэтому равенство АВ = А'В' выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство ~АА = ~ВВ. Это свойство соответствует определению равенства векторов из ~) 1 гл. 1. Гл. уШ. Аффияные пространства Пример.
Исходя из линейного пространства х' мол|но построить аффинное пространство. Для этого возьмем в качестве множества точек 5" множество векторов пространства К и сопоставим каждой паре векторов х и у вектор ху = у — х. Легко проверить, что оба условия из определения выполнены. Интуитивно это означает следующее: представим себе векторы из х' как направленные отрезки, исходящие из одной точки. Тогда точками 5" мы будем считать концы наших векторов. Определение. Аффинные пространства Я' и,У' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение г;,У' -з 5'" и такой изоморфизм Г; ~~' -з х, что для любых двух точек выполнено 1(.4)1(В) = Г(4В). Могут быть изоморфны только аффинные пространства одной размерности. Для двух пространств разных размерностей не найдется изоморфизма Г.
Если для изоморфизма 1 известен образ 1(А) какой-то одной точки А и задан изоморфизм Г, то отображение 1 однозначно определено. Действительно, образ любой точки В может быть найден по формуле |р(В) = Р(г(А), Г(АВ)). С другой стороны, как бы мы ни задали образ А* точки А и изоморфизм векторных пространств Г, этим путем ьлы получим изоморфизм Е: .К вЂ” |,9".
Действительно, если В и С произвольные точки, то.4'1(В) = Г(АВ) И.4*1(С) = Г(АС). Поэтому 1(В)1(С) =.4 1(С) -А*1(~) = Р(АС) — Р(4В) = Р(ВС). Отсюда вытекает Предложение 1. Любые два аффинных пространства одной размерности изоморфны. Изоморфизм однозначно определяется заданием образа одной точки и изоморфизма соответствующих пространств векторов. Исследуем аффииные преобразования — изоморфизмы пространства,5" на то же пространство. Для этого предположим сначала, что изоморфизм Г тождественное преобразование.
Зададимся образом А* некоторой точки А и рассмотрил| преобразование Г, определяемое равенством 1(В) = Р(А',АВ) для любой точки В. Если обозначить 1(В) = В*, то предыдущее равенство означает., что А" В' = АВ, а это эквивалентно равенству ВВ' = А.4'. Итак, образ каждой точки получается из нее сдвигом на один и тот же вектор А,4'. Такое преобразование естественно назвать параллельным переносом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
