Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Раньше мы постоянно сталкивались с подобными суммами, но писали знак суммирования. Теперь мы этого делать не будем. Например, формулы в 2б2 Гл. 1Х. Основы тензорноа алгебры базисам, связаны формулой ( = Я' или г.' = Я =т~Е . Это закон преобразования компонент тензора типа (1,0). Пример 2. Линейная функция на пространстве.К является тензором типа (О, 1). Действительно, если задана линейная функция, то каждому базису соответствует одномерная матрица - строка козффиционтов этой функции. При изменении базиса коэффициенты линейной функции преобразуются по формуле ~р' = ~рВ, т. е.
ь ~рг аг ~рь. Тензоры типа (0,1) - нектары сопряженного пространства .2'* .- называют новеягяоралги. П р имер 3. Линейное преобразование пространства .2' является тензором типа (1,1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой А' = Я 'АЯ: и г ~ Ь об =т;',во,.
Пример 4. Билинейная функция на пространстве.К тензор типа (0,2). Если дана такая функция, то каждому базису сопоставляется ее матрица, и матрицы билинейной функции в разных базисах связаны формулой В' = $ ВВ: Следует заметить, что симметричнан билинейная функция и соответствующая квадратичная форма --- один и тот же тензор, поскольку их матрицы в любом базисе совпадают. Пример 5. Пусть  — матрица билинейной функции ранга тг в базисе е.
Сопоставим атому базису матрицу В '. Сделав зто для всех базисов, мы получим тензор типа (2, О). Действительно, из В' = ЯтВВ следует В' = Я 'В '(Ят) ' = В 'В '(о ')т, или д'" = ть'т,'~3"'. П р и м е р 6. Число, не зависящее от выбора базиса, — инвариант можно считать тензором типа (0,0). Пример 7. Важным тензором типа (1, 1) является так называемый символ Кронекера, компоненты которого в некотором базисе составляют единичную матрицу: 5 (2) Формула (2) — принятое обозначение, и мы будем им ниже пользоваться. Если интерпретировать символ Кронекера как линейное преобразование, то это будет тождественное преобразование Е, и потому З1.
Тензоры в линейном пространстве 263 в любом другом базисе этот тензор имеет те же компоненты, составляющие единичную матрицу.. Для примера проверим это, используя тензорную символику. Согласно закону преобразования (3) Если дь определяется формулой (2), то из пз слагаемых в правой части (3) равны нулю все, кроме тех, для которых й = Е Поэтому й' = т,'аь, а т'аь элементы произведения 5 '5. Значит, д' = й'. П р и м е р 8.
Рассмотрим обобщение билинейной фугиеции функцию Г(лы ..., ле) от д векторов, линейную по каждому из них, если остальные фиксированы. Такие функции называются д-линейными или полилинебнылш, если число аргументов не уточняется. Разлозким каждый из векторов по некоторому базису е. Тогда в силу полилинейности Г(хы...,л ) = Г©ен,...,С"ез ) = =43'" 4ч'р(е1 "е.) =~1'" бч"~~ "и где коэффициенты ссн л, = Г(ен,.,.,еч) играют ту же роль, что и элементы матрицы билинейной функции. Докажем, что при замене базиса они преобразуются как компоненты тензора типа (О, д).
Для этого рассмотрим базис е,' = алел и снова воспользуемся полилинейностью; или и; ; = о, .а, пь, е,как и требовалось. рн ь, 1" я 1 П р и мер 9. Таким же способом можно построить пример тензо- ра любого типа (р,д). При этом полилинейпая функция должна за- висеть от д векторов и р ковекторов. Значение такой функции на векторах ты ..., хе и ковекторах 1, ...,1Р можно вычислить, разложив векторы по базису е, а ковекторы .. по его биортогональному бази- су р в пространстве К*.
Напомним, что базис р~,...,р" называется биортовональным базису еы ..., е„, если р'(еь) = дь. Если Яз = ~,нек, а Р =:Рз, Р', то аналогично пРедыдУщемУ полУчаем А, р рн ь, 1 р нл, Г(згы р., ве, Е, ..., 1 ) = ~; ... ~е' ун ... со, он. " ь, где Вспомним, что базис р преобразуетсн матрицей (Я ~)г, когда базис е преобразуется матрицей Я. В тензорных обозначениях это записывается как р'з = тору и проверяется так: р~~(е~) тз р~(а~с ) тьзасбь бз 264 3"л. 1Х. Основы тензорноб алгебры Теперь подставим в сг',.'"," = Г(е,'1,,.1е',р' ', ...,р' ") выраже- ния новых базисных векторов через старые (для обоих базисов е и р) и, как и в примере 8, получим закон преобразования коэффициентов, который будет совпадать с законом преобразованил (1).
Этот пример показывает, что для любой р+ д-мерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (рч у), который в базисе е имеет такую матрицу компонент. 4. Линейные операции. Линейные операции определены для тен- зоров одного и того же типа. Именно, определим для пространствен- ных матриц одной размерности сложение и умножение на число по- злементно: суммой матриц сг,.' ",.' и 333' ',' назовем матрицу 31 3 31 ''31 (4) а произведением матрицы о,' ",.' на число Л вЂ . матрицу 31.
31 В'" "= Ли""'. 31 " 31' Предложение 1. Пусть А и  —. тензоры типа (рЧу). Сопо- ставим каждому базису сумму их матриц в этол базисе.. Этим будет определен тензор типа чрч д). Сопоставим каждому базису произведе- ние матрицы тензора А на число Л. Этим будетп определен тензор того же типа (р,у). Обе части предложения доказываются одинаково и по существу вытекают из того, что правая часть формулы (1) линейный одно- родный многочлен относительно старых компонент тензора.
Приве- делч цоказательство для первой части. При замене базиса 111..1р 1, ф 31 31 ЬЧ...Ьр )3".'"'ы = т" ,... т" о'...о 'д '"' ". 31 М 31' 31 Складывая почленно эти равенства, мы получаем О"'"лр + )4'""'" = т" ... т 'О'... 13" (Ср '"' ' + В '"' р), 31 .31 31" 31 Я1' ЬР 31 зч Ь, гр ЬЧ .гр т. е. тензорный закон преобразования для чх, ' ', ' +,Э, Тензоры1 определенные в предложении 1, мы назовем, соответ- ственно суммой тензоров А и В и произведениел3 А на число Л.
Свойст- ва линейных операций описываются следующим предложением. Предложение 2. По отношению к операциям сложения и умно- жения на число множество всех тензоров одного и того же типа (рч у) является линейным пространством размерности пуч ч. Предоставим читателю проверить все аксиомы в определении ли- нейного пространства и займемся размерностью. Выберем в Рг' какой- нибудь базис и рассмотрим тензоры, у которых одна из компонент в данном базисе равна 1, а остальные компоненты равны нулю.
Су щест- вует ровно пгь' таких тензоровч так как тензор типа (р, д) имеет плач З1. Твнзоры в линейном пространстве компонент. Каждый тензор данного типа раскладывается, и притом однозначно, по выбранным нами тензорам (коэффициенты разложения равны компонентам данного тензора). Таким образом, размерность пространства тензоров типа (р, у) ранна пр л, и предложение доказано.
Более того, мы построили базис в пространстве тензоров типа (р,у), естественным образом связанный с базисом в пространстве .зл. Напомним, что как раз таким способом мы построили базис в сопрюкенном пространстве х' пространстве тензоров типа (0,1) .. и назвали его биортогональным исходному базису в У'. Теперь для пространства К мы имеем бесконечную последовательность линейных пространств, связанных с ним так же, как х': как только выбран базис в .зл, во всех этих пространствах также появляются базисы. 5. Умножение тензоров. Пусть А тепзор типа 1р,у), а В тензор типа (г,в). Произвольному базису е мы можем сопоставить (р+ у + г + в)-мерную матрицу, составленную из произведений каждой компоненты А на каягдую компоненту В.
Эти произведения упорядочим, записав сначала индексы, относящиеся к А, а затем индексы, отпоснщиеся к В, так, как показывает формула н .л„гн мь = о (г) зей .3 з~" зв 0. З з Предложение 3. Если налсдому базису мы сопоставим числа Т" "~, определяемые формулой (5), то этилз будет определен тензор типа (р+ г, у+ в).
Доказательство мы проведем для случая тензоров типов (1,1) и (0,1). В общем случае доказательство отличается только более громоздкой записью. Выразим компоненты тснзоров А и В в базисе е' через их компоненты в базисе е: х 1,ь ~ ь , =зьт,п,, Во, =~ Вге Отсюда ь ьп ~1 ь„ь У",„, = сг",,л,'н = т„о'.а,„ог'Вь = т,'.ада' "ги„ т, е, величины тд, преобразуются при замене базиса как компоненты ь тензора типа (1,2). Определение 1. Тензор, построенный в предложении 3, называется произведением тензора А на тензор В и обозначается А ен В. Пример 10. Рассгнотрим две линейные функции 1 и и на х" и сопоставим каждой паре векторов х и у число 1(х)6(у). Пусть в некотором базисе значения функций записываются как 1(х) = д,~' и Ь(у) = рьг1", где (' и уь -- компоненты векторов х и у. Тогда Ь(х, У) = 1(х)Ь(У) = (,а,ЯГРьуь) = (,РьиЯ'г1ь, поскольку при перемножении многочленов каждый член одного сомножителя умножается на каждый член другого.
Итак, построенная дав Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры нами функция Ь произведение двух линейных функций билинейная функция, т. е. тензор типа (0,2). Он является тензорным произведением тензоров, соответствующих 1 и Ь. Мы можем напи- СатЬ Ь = 1 З Ь, ИЛИ, В КОМПОНЕНтаХ, 13щ = авил. Тензорное произведение не коммутативно. Это хорошо видно на предыдущем примере. Пусть Ь* = Ь З К Тогда Ь (х,д) = п(х)1(д) = = Ь(р,х), т. е. это будет другая билинейная функция, если только функция Ь не симметричная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
