Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поливекторы. Внешние формы 277 ная форма). Инвариантность здесь подразумевается, конечно, только относительно замены одного ортонормированного базиса другим ортонормированным. Уп раьннення 1. В базисе е метрический тензор задан матрицей Г, а тензор ои матрнцей Л: 1 1 3 4 1 2 ' 5 7 Найдите матрицы В, С и В тенэоров оь', о;~ и оэ~.
2. Можно заметить, что в упр. 1 детерминанты матриц .4, В, С н 17 совпалают, и следы В и С одинаковы. Объясните это. 3. Упростите выражсаие (а~а,",д ь + 5',а,, д ь)ды + а~,юд'"д,„. 3 3. Поливекторы. Внешние формы 1. р-векторы. Этот параграф посвящен изучению двух специальных классов тензоров, важных для приложений. Определение. Антисимметричный по всем индексам тензор типа 1р, 0) называется р-вектором или поливектором, если р не уточняется. 2-векторы принято называть бивекторами. Антисимметричный по всем индексам тонзор типа (О,д) называется д-фврмвй или внешней формой, если д не уточняется.
Число д называется порядком или степенью внешней формы. Тензоры типов (1, 0) и (О, 1) по определению считают 1-вектором и 1-формой. Внешние формы пространства К можно рассматривать как поливекторы в сопряженном пространстве .2' . Поэтому свойства этих двух классов тензоров одинаковы. В начале мы будем говорить в основном о поливекторах. Заметим, прежде всего, что при р ) и существует только нулевой р-вектор. Действительно, из р индексов, принимающих значения 1, ..., и, в каждой компоненте хотя бы два должны иметь одинаковые значении.
Как отмечалось в 2 1, из антисимметрии следует, что каждая компонента такого тензора равна нулю. При р = и могут быть отличны от нуля только те компоненты, у которых значения индексов составляют перестановку чисел 1, ..., и (иначе снова окажутсн два равных индекса). Все такие компоненты по предложению 7 2 1 выражаются через одну из них по формуле е. л ( 1)кнь.,.и 1 ь.,а (1) р-вектор о""л называется простым или рвзложимым, если оп представим как произведение р! на альтернированное произведение векторов, т, е, найдутся такие векторы ты ...,ш„ с координата- Гл.
1Х. Основы тензорной алгебры 278 ми ~,",...,~„", что „и. лр „!~~п р (2) Пример 1. Пусть д' и 71' — два вектора в трехмерном пространстве. Они определя!от простой бивектор с компонентами озз = Рз з! — Щ, оз! = ~зу! — ~! 3, о!а ~!Па ~з!7!. (3) ~! ~! чг ~1 (4) ~о Ьгп Вычислим минор этой матрицы, располоясенный в строках с номерами з! < гз « ... гт по формуле полного разложения йц,,лр ~~ ( 1)!ч(ь!,,ь„)~ц! сыр !М ьг! Сравнивая это выражение с (2), мы находим те компоненты простого р-вектора, у которых значения всех индексов попарно различны и расположены в порядке возрастания (сутественныв компоненты); !~р! р~ ~ю!..л.
(5) Остальные компоненты вычисляются по уже найденным из свойства антисимметрии. озз, о78 и о~~ отличаются знаком от этих, а о'~ = озз = аз~ = О. Выражения (3) напоминают о векторном произведении. И действительно, если пространство евклидово, рассмотрим свертку с дискриминантным тснзором е„ь~11о7ь). Выпишем первую компоненту этого ковектора в правом ортонормированном базисе. Если ! = 1, то в сумме только два ненулевых слагаемых 7' = 2, 17 = 3 и 7' = 3, й = 2. в!!а~ 71 = 8!о!~ "71 + е!з'~ 71 = и (ьь! !з з~ (з 1 з Аналогично подсчитываются и остальные компоненты.
Поднятие индекса у этого ковектора дает вектор ~~а !! который и является векторным произведением. Это видно из выражения его компонент в ортонормированном базисе. Предложение 1. Каждый п-вектор является простым. Действительно, пусть дан произвольный и-вектор ои" '". Возьмем какой-нибудь ненулевой простой и-вектор Д""л" = и!~!'...~„ и обозначим отношение о!..",1р!.." через Л. Из формулы (Ц следует, что для всех компонент ои" '" = Лр'""л".
Положив о7! = ЛЦ, мы имеем о""'" = и.'й!" (зи...~,'!", как и тРебовалось. Рассмотрим р векторов кз, ..., кр и составим матрицу из их координатных столбцов: 43. Лоливекторьь Внешние формы 279 В частности, для о-вектора имеем оь " = с1еФ Ц' ~~ (пригиер 16 з 1). Вспомним формулу (21) з 1 гл. Ъ'11. Из нее видно, что если пространство евклидова, а базис поло кительный ортонормированный, то компонента о и " равна объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах, составляющих данный п-вектор.
Из формулы (5) следует, что простой р-вектор является нулевым тогда и только тогда, когда составляющие его векторы линейно зависигиы, т. е. ранг матрицы (4) меньше р. 2. Относительные инварианты. Любой о-вектор в каждом базисе вполне характеризуется одним числом .. его сушественной компонентой он .". Попробуем найти закон преобразования этого числа при замене базиса без участия других компонент п-вектора.
Мы получим Оо...и ) или. согласно формуле полного разложения, о = (с1е15 )о "'" = (г1еФЯ) о "'". (6) Мы видим, что соответствие, относящее каждому базису существенную компоненту п-вектора, определяет геометрический объект с одной кол1понентой и законом преобразования (6). Этот объект не тензор, так как тензор с одной компонентой должен иметь тип (О, О) и, следовательно, быть инвариантом.
Другой пример объекта такого рода дает детерминант матрицы из компонент тензора типа (0,2). Эта матрица В при замене базиса преобразуется, как известно, в матрицу В' = ЯтВЯ, и ось В' = (г1ет Я)г йег В. Определение. В линейном пространстве задан относительный инвариант веса г, если каждому базису сопоставлено число так, что числа, соответствующие базисам е и е' = еЯ, связаны равенством о = (Пеб о)"о.
(7) Инвариант, или, как говорят, чтобы подчеркнуть отличие от относительного инварианта, абсолютный инвариант, является относительным инвариантом веса О. Аналогично формуле (6) можно показать., что существенная компонента и-формы является относительным инвариантом веса 1.
Отметим следующие свойства алгебраических операций с относительными инвариантами. Предлозкение 2. Если а и Ь --. отяасительныв инварианты одного и того жв веса г, то их сумма втнвгитвльный инвариант веса г. Если а и Ь относительные инварианты весов г, и гм та ил произведение относительный инвариант веса г + гм 280 Гл. 1Х. Осноеь» тензорноб алгебры Если а относительный инвариант веса г, то егор-я степень относительный инвариант веса рг. Все три утверждения легко доказываютсн непосредственной проверкой закона преобразования, и мы предоставим читателю написать доказательство. Подчеркнем, что сумма относительных инвариантов разных весов не является относительным инвариантом. Относительный инвариант называют также плотностью.
Объект, получаемый умножением тензора на относительный инвариант, называется тензорной плотностью. Напишите закон преобразования компонент такого объекта. 3. Внешние формы. д-формы чаще всего представляют интерес как полилипейные функции от д векторов (прил»ер 8 81). Для такой функции антисимметрия означает, что ее значение меняет знак, если поменять местами какие-нибудь два ее аргумента. Например, функция» сопоставляющая трем векторам трехмерного евклидова пространства их смешанное произведение, является З-формой. Значение д-форл»ы а» с компонентами а»», » на векторах х», ...,хц с компонентами ~,",...,~чы равно ьФы",хч) =ьз»»..» 1»"" 1д' Учтем, что равны нулю те слагаемые, в которых хотя бы два индекса суммирования имеют одинаковые значения, а остальные слагаемые сгруппируем.
Пусть числа 1ы ...,» расположены в порядке возрастания, а ль,,...,»ь — их перестановка. Тогда группу из д! слагаемых, в которых индексы суммирования (в каком бы то ни было порядке) равны 1», ...,.1„можно записать как сумму по перестановкам 1)м»г»»,,»»ч)~ы» ~'м Н»о " »»,» Поэтому а»(х»,...,х,) = д. '~ а»»» »,~»" ... (,"' = ~ ~ш„ , с""'", (8) »»«...»» »»«...г где с" " = д!(»н...(*". В сумму (8) входят только существенные компоненты внешней формы --. те, у которых индексы расположены в порядке возрастания.
Итак, мы имеем Предложение 3. Значение д<формы на векторах т», ...,хц является линейным однородным многочленом от компонент простого д-вектора, ими определяемого. Для фиксированного д линейная комбинация д-форм также является д-формой. Поэтому при каждом д множество д-форм линейное пространство. Аналогично, линейным пространством является множество всех д-векторов. Из формулы (8) следует, что эти два пространства сопряжены одно другому. 43. Лоливеиторы. Внешние формы 281 Построим базис пространства д-форм.
Для этого рассмотрия1 базис е пространства х." и его биортогональный базис р', ..., ри в пространстве К*. 1-форма р' имеет компоненты д',. Компоненты произнедения в различных 1-форм р" З ... З р' (18 « ... 1ч1 равны 411 ...б1," . Одна из них, та, для которой 11 = 11 при всех 1 = 1,...,д, равна 1, а остальные равны нулю. Альтернируем это произведение. Полученный при этом тензор имеет компоненты Б" ...б" р т.
е. 1/д!, если индексы я1, ..., йч четная перестановка чисел 11,...,1т (-1/д!) если перестановка нечетная, и О, если набор нижних индексов не совпадает с набором верхних. Введем обобщенный символ Кронеяера т, е. ( +1, Й1, ..., Йч четная перестановка 11, ..., зч, бь' "", — — 1, й1, ..., Й нечетная перестановка 11..... йн (9) 1. О в остальных случанх. Обобщенный символ Кронекера антисимметричен также и по верхним индексам.
Действительно, как легко видеть, б""" ,= д! б~~и ... бч . Обозначим через сц . " уыформу с компонентами б„""'; . Предложение 4. Система д-форм сн ..Ц для всввозмолсных наборов 11 « ... 1з является базисом в пространстве у-форм. До к а за тел ь от во. Пусть шч л, компоненты д-формы ы.
Рассмотрим линейную комбинацию В= ч«...ч Найдем компоненту Об Для произвольного набора 11 « ... 1з: бо ч 1~<" <Ц так как в сумме только одно ненулевое слагаемое. Итак, В = из и произвольная форма из раскладываетсн по системе сч ". Линейная незанисимость втой системы форм следует из того, что одна и только одна из существенных компонент такой формы равна 1, а остальные равны пулю. Следствие. Размерность просгараяства у-форм п-мврного линейного пространства равна числу сочетаний Сч. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
