Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 67
Текст из файла (страница 67)
1 — а а 0 1 — 2а 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 2 4 0 0 3 б 0 0 0 0 1 2 0 0 2 4 0 0 3 б 3 — а' За — За 1 Указания и ответы к упражнениям 294 1 1 0 3 2 0 11 Я= — 1 — 3 О, А'= 0 3 — 2 0 1 1 0 0 3 35 1. а) Нет; б) да, если г1х) = 0 для всех х. 2. $12 — оцб', где д = 5~1еа ее). 3. а) у, = О, г ( 1; у, = (г — 1)...11 — 1с)а' ь ', г > Л 11 = 1, ..., я): б) у, =0,1~1с-г1; Ыь ~ — — Ы. 1 1 3 0 — 2 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 3 1а) -2 4 0; б) 0 0 1 4 8 3 2. 2 5 1 . 3.
0 1 1 1 — 1 — 3 0 — 1 0 0 1 1 т/2 — 1 — 5 0 — 1 1 0 1 1 4. а) 1С' ) + 14') — 14' )"; б) 14' )' + 14' ) — 14' ); Л 5. а = и — К8Ь. Последние а строк и последние а столбцов пулевые. 6. Пусть 1т — матрица, составленная из матриц всех форм, написанных одна под другой. Необходимо и достаточно К8В ( 1ч 7. а) г; б) О. 9. )г не нвляется ни полахкительао, ни отрицательно определенной. 10. Миноры четного порядка > О, а нечетного порядка ( О.
11. Нет. 1.а)3; б)б: в)14. 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 О 0 2. а) А'= б) А'= 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 — 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 — 1 0 2 1 0 — 1 0 0 2 0 — 2 Указанил и ответы к уприжненилж 295 Глава УП 2 0 2/3 2 — 2 8/3 1. в) 0 2/3 0; б) — 2 8/3 — 4; в) атосов ~. 2/3 0 2/5 8/3 -4 32/5 ц~т' и1 1 1 ц~т 2 2 2 3. а) йО 1 1 19~, '91 1 1 09~; б) й1 — 1 0 19~. 4.
1/т/й. 1 т/3 т/2 2 0 — 5/2 1 — т/3 т/2 ~/6 2т/6 — т/6 0 т/2 т/2 о о 3 б)Я=— 1 ъ'6 6. 4т/2. 1. 2 4 т т 0 1 Собственные подпространства А: ~~1 — Ц(, /)2 — Щ Собственные подпространства А : 54 — Ц/, й1 05 3. Или тождественное преобразование, или отражение в подпрострапстве 4": если х = х'+ х", х' й К', хн е о"~, то А(х) = х' — х". Если бо = (о), то А = — Е. 4.
а) 2"и.': 5) бесконечно много; в) да, в случае б). — и/3 -1 чг2 чгЗ 1 чг2 0 2 т/2 1 0 0 А'= 0 1 0 0 0 4 5.о=— ъ'6 6. Поворот на 5л/4 в плосности векторов оп ае и поворот на к/4 в плоскости векторов быбх (Углы отсчитываютсн от а1 к а и от Ь| к Ь.) Координатные столбцы аи ии Ьы Ье соответственно 1 — т/2 1 0 1 5/2 1 0 1 2 ! 2 0 1 7. а) 1 О 0 0 0 1 б)Я=— 3 — 1 1 1 4 т/2 — ф/3 2 0 ф/3 5/2/3 т/2/3 0 1 1/2/3 ф/3 ,// /1/3 1 1 — 2 1 5 7 5. а) Я = —, В =— нг55 2 1 ' нг5 0 1 — 1 0 1 — т/2 — 1 О 1 5/2 Уназанил и ответи н упразсненилз3 3 Π— 1 1 1. (9 — 161 )/8. 2. Ь'1х,у) = Ь(у,х). 3.
т/3 1 т/2 5. Я = — Π— 2 т/2 , 4(ц') ж 4(31 )3 + (0~) . — т/3 1 ъ'2 6. Па; 7. а) (с')3 — (( ) и 24~с; б) (6') и ((') — (6 )1 8. Я = 1 21, Ь(х) = 26(31 ), Ь(х) = (ц') + (31 )". у'20 1 21 9. Без ограничения на размерность условие только достаточно. Пример: (С ) и (~') . ; А и самосопряженное, и уни- Глава 111 П 4 — 3 О О 2 — 3 О 1 1 — 2 1 О Х1 Х3 Х1 а) Пустое множество или плоскость; б) 111га Р ) 61 + Ь вЂ” и.
~2 1 Ъ 3 1 1 3 1 3 с = — 0 — — 11 4- О;2, ъ'а ъ'20 1, 3 3 /З й = — 8+1/ — У вЂ” 3/ — Ц вЂ” 2ЪЗ 5 20 3 2 3 с = —.03+ — ц +3. Л чгб 2. Гиперболический параболоид. 3. -1/2 < а < О. Глава 1Х 2. а) 64; б) 64. 3. е'„, = ( — Ц' '*""""3деоЯ, если 31,...,3„различны, и О в противном случае. 1. а) )а! = 2, /Ь/ = 3, соа(11,6) = (3 б) Векторы а н Ь'( — 2 — 33/2, 3/2 = (3 — 3)/4. 1 О 1 3 4 А= Π— 1 '~ 1 1/г тарное.
5. — '03 1 0~, — '0 — 1 1 0~. ъ'2 ь'2 4 + 1)/6, соз(6, а) = (3 — 1)/6; — 3) ортогональны, Ь' = 6 — оа, о = Указания и отлеты к улрлзсненилм 297 4. линейное преобразование А(х) = 1(х)а имеет матрицу сльо. 5. Четыре тензора типа (1,1) и два ииварианта. 32 1 1 2 1 1 О 2 3 ' 3 2 ' 1 1 2. В матрица преобразования, сопряженного преобразованию с матрицей Ст. Ил детерминанты и следы должны быть одинаковы.
Остальные детерминанты равны, так как с1еьГ = 1. 3. 2абм. О сг — о з е 1. (еи см ез) — оз О о' а — ю О 3 1 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсцисса 17 Аппликата 17 Базис 16, 160 — биортогональный 37 — жордаиов 210 -- ортогональный 219 ортонормированный 19 положительный 27, 164 правый 28 сингулярный 233 стандартный 162, 165 Вивектор 277 Вектор 9, 10, 245 коллинеарный 10 — компланарный 10 направляющий 47 — плоскости 47 нуленой 9, 158 --- присоединенный 209 -"-, абсолютная величина 10 , высота 208 , длина 10 , конец 9 , модуль 10 , начало 9 Векторы приложенные 11 равные 10 свободные 11 Векторное произведение двойное 37 Векторов линейнан комбинация 159 Гипербола 67 .—, асимптоты 74 --, вершины 73 , ветви 73 Гипербола, вещественнан полуось 73 , директрисы 75 Гипербола, каноническое уравнение 67 , мнимая полуось 73 Гиперболоид двуполостиый 91 одпополостный 90 Гиперплоскость 248 Декартова система координат 17 Детерминант второго порядка 33 Диагональ главная 115 Диаметр 81 Директрисы 71 Изогиорфизм 175 координатный 175 Инвариант 44, 262 — абсолютный 279 относительный 279 — — евклидов 252 ортогональный 252 Индекс суммирования 120 --, опускание 273 , поднятие 274 Квадратичнан форма 197 --, закон инерции 202 ,индекс 202 .
-,канонический вид 200 , сигнатура 203 диагонального вида 198 отрицательно определенная 201 положительно определенная 201 Классы аффинные 109 Ковектор 262 Композиция 96 Конус 46 асимптотичсский 91 второго порядка 90 Координаты 17 Предметный указатель 299 Координаты вектора ковариантные 38 вектора контрвариантные 38 — сферические 21 -- -- цилиндрические 20 Критерий Сильвестра 203 Линейная комбинация 12, 159 тривиальная 13, 159 пространство сопряженное 194 Линии центральные 82 Линия алгебраическая на плоскости 42 гиперболического типа 80 - параболического типа 80 эллиптического типа 80 ., особая точка 85 Массив а-мерный 260 Матрица упрощенная 135 — автисимметричная 116 верхняя треугольная 116 -- вырожденная 127 Грэма 217 — диагональная 116 жорданова 211 --- квадратная П4 клеточно-треугольная 181 — линейного преобразования 179 нулеван 116 -- обратная 129 ортогональнан 219 перестановочная 123 †.
перехода 163 полуторалинейной функции 204 †, противоположная матриде 117 пряллоугольная 114 размеров т х и 114 симметричная 116 системы 146 расширенная 146 транспонированная 115 - унитарная 242 фундаментальная 153 -- эрмитова 204, 242 —, главные миноры 203 , порядок 114 , ранг 133 Матрица, след 185 †., степень 130 , характеристические числа 184 Матрица, харантеристический многочлен 184 характеристическое уравнение 184 Матрицы равные 114 Метод выделения квадратов 200 Гаусса 129 ортогонализации Грама Шмидта 221 Минор 140 базисный 134 диагональный 205 -.
дополнительный 141 Ыногочлсн характеристический 184 Направление асимптотическое 79 -- сопряженное 84 Направлении главные 85 синугулярные 112 Направлпющая 4з Начало координат 17 Неизвестные базисные 152 параметрические 162 Образующая 45 Объем ориентированного параллелепипеда 29 -- и-мерного 224 Ограничение 182 Опрелелитель порядка и 137 Ордината 17 Ортогональное дополнение 220 Отображение 95, 171 - взаимно однозначное 97, 175 --, множество значений 172 нулевое 172 обратное 177 ранг 172 сюръективное 172 ядром 172 Пара параллельных прямых 68 мнимых 68 пересекающихся прямых 67 -- совпавших прямых 68 Парабола 68 , вершина 76 , директриса 76 ,каноническое уравневие 68 , фокус 76 300 Преджетныя указатель Параллелепипед ориентированный 29 Параметр 47 Перенос параллельный 246 Пересечение надпространств 167 †.
5-мерная 247 Площадь ориентированного параллелограмма 29 Поверхность алгебраическая 42 вращения 88 Подматрица 115 "- дополнительная 140 Подпространство 13 ". инвариантное 180 корневое 208 линейное 165 - направлпющее 247 собственное 182 Поливектор 277 Полупространство 57 Полюс 19 Полярная ось 19 Полярный угол 19 Преобразование 95, 171 Преобразование аффинное 101, 246 -- диагонализуемое 188 линейное 100, 171 обратное 98 †. ортогональное 99 присоединенное 243 сопряженное 225 - тождественное 96 унитарное 243 — нильпотентное 208 ортогональное 230 -- первого рода 111 второго рода 111 †, разложение на плоские вращения 232 показатель пильпотеятпости 209 самосопрязкенное 226, 242 Преобразования перестановочные 179 Проектирование ортогональное 9з Проекция векторная 26 — ортогональная 221 скалнрная 27 Произведение векторное 31 ..
внешнее 282 линейного отображения иа число 177 Произведение линейных отображений 177 -- матриц 116 скалярное 24, 240 смешанное 30 тензора на тензор 265 Пространства аффинные изоморфные 246 Пространство линейное вещественное 158 комплексное 158 арифметическое я-мерное 162 аффипноеи-мерное 245 бесконсчномерное 162 — векторное 13 — векторов 245 вещественное линейное ориентированное 164 евклидова 215 комплексное 240 точечное 247 ориентированное 28 , размерность 161 унитарное 240 — зрмитово 240 Прнмая ориентированая 27 Пучок плоскостей 63 - прнмых 62 Радиус 19 Радиус-вектор 17 Разложение полнрпое 232 сингулярное 234 Разность нектаров 12 Ранг кнадратичной формы 201 Расстояние 247 Решение тривиальное 152 Свертка 267 Связка плоскостей 63 Сжатие к прямой 96 Символ Кронекера 262 .
обобщенный 281 Сингулнрные числа 233 Система векторов линейно зависиман 13, 160 — — — независимая 13, 159 — каноническая 67 координат декартова 247 — — прямоугольная 19 полярная 19 линейных уравнений 146 Предиетныб указатель 301 Система линейных уравнений однородная 146 — --- приведеннан 152 решений нормальная фундаментальная 154 Сложение 158 Собственное значение 182 Собственный вектор 183 Спираль Архимедова 64 Столбец высоты т 114 Строка длины и 114 Сумма векторов 11 -матриц 116 подпространств 167 прямая 168 Тензор 261 -.. антисимметричный по паре индексов 271 дисьриминантный 276 --- евклидов 275 ьзетрический контрнариа~т~ый 273 симметричный по паре индексов 271 , альтернирование 269 , компоненты 261 .--, симметрирование 269 , транспопировапие 269 Тензоры равные 261 Точка начальная 47, 247 --, образ 95 , прообраз 95 — плоскости 47 Точки и-мерного аффинного пространстна 245 Умножение на число 158 скалярное 215 †.
векторное 31 Уравнение мнимого эллипса 67 Ураннсние ъшожества 40 †-параметрическое 48 -- плоскости 48 пары мнимых пересекающихся прямых 67 - прямой векторное параметрическое 47 пучка прямых 62 характеристическое 184 обобщенное 238 Уравнения степень 42 Фокус 70 Форма квадратичная 197 эрмитова 204 Функция билипейнан 195 , коэффициенты в базисе 196 симметричнан 197 — однородная 45 полилинейная 263 --. эрмитова билинейная 204 Хорда 80 Центр пучка 62 — линии 81 Цепочки зкордановы 209 Цилиндр 45 прямой круговой 45 Эллипс, большая полуось 69 — —, вершины 69 --, малан полуось 69 , эксцентриситет 70 Эллипсоид 89 р-вектор 277 †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
