Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Напомним, что перестановка называется четной, если число нарушений порядка в ней четное, и нечетной в противном случае. Транспонируя А по выбранным индексам, мы, как и выше, получим в! тензоров. Сложим все эти тензоры, предварительно умножив каждый из них на ( — 1)~~ч'"Л'~, где зы...,1, перестановка, ему соответствующая. Сумму разделим на число в!. Так построенный тензор называется результатом альтернирввания тензора А по выбранным индексам.
Его компоненты обозначаются заключением в квадратные скобки тех индексов, по которым производится альтернирование. Пример 14. Альтернирование тензора типа (3,0) по первому и третьему индексам: 0~де~ ( оь ьн) 2 270 1"л. 1Х. Основы твнзарниб алгебры Пример 15. Альтернирование тензора типа (1, 3) по всем нижним индексам: ~Зуьй = — бдаы+ А*,ь + Дьй — Дьу — Аьб — ддсь). (9) П ри азор 16. В ~ 4 гл.
Ч1 мы отмечали, что детерминант матри- цы линойного преобразования является инвариантом. Выразим этот инвариант при помощи тензорных операций. Пусть гл' элемонты матрицы А преобразования А в некотором базисе е. Тогда и-крат- ное произведение А на самого себя А й ... й А имеет компоненты о" о" ...о'р. Альтернируем это произведение по всем нижним ипдек- 12 "' сам, а затем свернем по всем индексам. Мы получим инвариант 2Л = а".
П"... О'.".. 111 12 Докажем, что это и есть интересующий нас детерминант. Здесь и индексов суммирования, каждый из которых принимает п значений. Следовательно, правая часть распадается на и' слагаемых. Каждое из этих слагаемых представляет собой сумму и. 'членов, воз- никающих при альтернировании. Если в наборе значений индексов суммирования, определяющих какое-то слагаемое, есть два одинако- вых, то такое слагаемое равно нулю. Действительно, для каждого чле- на в нем, взятого со знаком плюс, найдстсн не отличающийся член, взятый со знаком минус. Пусть все значения индексов суммировании, определнющие слагаемое, различны.
Тогда, переставляя сомножите- ли в каждом члене такого слагаемого, упорлдочим верхние индексы и этим приведем его к виду о~2,... о",,'р причем О О" = — ( — 1) 1 ""' "1С2 Он 1 оы "оь.. (а,,...,ь„> Всего слагаемых такого типа п.'. Следовательно, 22 = пЪ!, ... с2,"н).
Отсюда по формуле полного разложения детерминанта ах = бесА. Есди разбор этого примера вызвал затруднение, выпишите под- робно всю сумму при и = 2. 9. Замечание. Пусть имеется какое-то соотношение между тен- зорами, написанное при помощи введенных нами тензорных опе- раций. Если выбран базис, это соотношение порождает такие же соотношения между компонентами рассматриваемых тензоров. Тсц- зорные операции инвариантны в том смысле, что соотношения между компонентами выглядят одинаково, каков бы ни был базис.
Скажелп соотношение А = х й у + - й г, где х, у и г "- векторы, равносильно равенству оп = ('уб + С'Сб между компонентами, причем безразлич- но, в каком базисе, так как во всех базисах оно выглядит одинаково. В силу этого обстоятельства часто, говоря о тензорах, имеют в виду их компоненты или, наоборот, говоря о компонентах, имеют З1.
Тензври в линейном пространстве 271 в виду тензоры. Говорят, например, "тензор оэ ь" вместо "тензор, компоненты которого в таком-то базисе равны о„ь". Это не ьэояэет вызвать недоразумений и сильно упрощает речь. В дальнейшем мы будем пользоваться подобными сокращениями. 10. Симметричные н антнснмметрнчные тензоры. Определение. Тензор называется симметричным по паре индексов, если он не меняется при транспонировании по этой паре.
Результат его альтернирования по этой паре равен нулевому тензору. Тензор симметричен по группе индексов, если он симметричен по любой паре индексов из этой группы. В этом случае он не лэеняется при любом транспонировании по индексам этой группы. Не представляет труда убедиться, что резуээьтат симметрирования тензора по некоторой группе индексов является тензором, симметричным по этим индексам. Если, например, переставить любые два нижних индекса в формуле (8), то в ее правой части изменится только порядок слагаемых. Определение. Тензор называется актисимметричкым яв паре индексов, если он умножается на ( — Ц при транспонировании по этой паре индексов, или, иначе говоря, результат его симметрирования по ней равен нулевому тензору.
Если тензор антисимметричен по паре индексов, то равны нулю те его компоненты, у которых совпадают значения этих индексов. Это видно из того, что каждый слой, соответствующий этим индексам, " антисимметричная квадратная матрица. Тензор актисимметричек пв группе индексов, если он антисимметричен по любой паре индексов из этой группы. Результат альтернирования тензора по нескольким индексам антисиьлметричен по этим индексахл. Причину этого легко понять, если переставить какие-нибудь два нижних индекса в формуле (9); ее праээая часть изменит только знак.
П р е д л о ж е н и е 7. А ктисиммвтри чный пв группе из з индексов текзвр ке меняется при тракспвкирввакии по кей, если сввтвегпствующаээ перестановка индексов четная, и умножается ка ( — 1), если кечетная. До каза тел ь от во. Транспонирование, соответствующее перестановке индексов ээ, ...,1„сводится к последовательной перестановке пар индексов. Поскольку каждая из них меняет знак всех компонент тензора, достаточно доказать, что данное транспонирование осуществимо за Ж(1э, ...,1,) перестановок пар индексов. Последнее утверждение равносильно тому, что числа 1, ...,,з можно расположить в порядке 1э, ..., э„переставляя Х(1э, ..., э,) раз соседние числа.
Докажем сначала, что числа 1э, ...,э, можно указанным способом расположить в порядке возрастания. Для этого отыщем в перестановке 1э,...,1, число 1 и переставим его на первое место, меняя Гл.?Х. Основы тензорной алгебры 272 лзестагли последовательно со всеми числами, стоящими левее. Все они больше 1, и мы переставим единицу столько раз, сколько нарушений порядка она образует.
Затем отыщем число 2 и точно так же переставим его ца второе место. При этом его придется переставить со всеми числами, которые стоят левее него, кроме 1, а со всеми ними опо образует нарушение порядка. Проделаем далее то же самое со всеми числами 3, ..., з — 1.
Число з окажется на последнем месте, переставлять его не надо, но н нарушений порядка в перестановку оно не вносит. В результате будет сделано?з'(гы ...,1,) попарных перестановок чисел, и числа окажутся расположенными в порядке возрастания. Теперь исходя из 1, ..., з мы можем проделать те же перестановки чисел в обратном порядке и получить гы...,зз. На это потребуется также Х(П, ...,1,) перестановок соседних чисел. Предложение 8. Если тензор сил~метрнчен по группе из з индексов, то результат его альтернарованин по этой группе индексов -" нулевой тензор. Если тензор антисимметричен по группе индексов, то результат его симметрирования по ней —.
нулевой тензор. Обе части предложения доказываются одинаково. Докажем первую. Все з! тензоров, которые можно получить транспонированием, одинаковы. При альтсрпировании мы складываем их со знаками, определяемыми четностями соответствующих перестановок. При этом все слагаемые уничтожатся, так как из з! перестановок ровно половина четных, а половина нечетных. Действительно., мення местами два первых числа в перестановке, мы изменяем ее четность 1вводится или ликвидируется ровно одно нарушение порядка).
Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между четными и нечетными перестановками. 3 а м е ч а н и е. Если индексов больше двух, равенства нулю результата альтернирования (симметрирования) по этим индексам еще недостаточно для того, чтобы тензор был симметричным (антнсимметричным) по пим. Упражнения 1. Пусть Я .. линейное пространство билинейных функций, определенных на линейном пространстве 2?, а А -- линейное преобразование пространства Я. Докажите, что А тензор типа (2, 2) в пространстве ье. 2.
а) Сколько компонент имеет трехвалеатный тензор в четырехмерном пространстве? б) Сколько слагаемых содержит выражение какой-либо его компоненты в новом базисе через компоненты в старом базисе'? 3. Тензор типа (О, и) в и-мерном линейном пространстве в базисе е имеет компоненты г„,„= О, если среди значений зп ..., г„есть одинаковые, и ( 1)%~о, ) 42.
Тензори в евнлидовом пространстве 27З в противном случае. Найдите компоненты этого тепзора в базисе е' = еЯ. 4. Линейная функция 1 задана в базисе е строкой ~р, а вектор а столбцом сх. Найдите матрииу тензора а З К Какой геометрический смысл имеет этот тензор7 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
