Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Тогда Озс = О, и левая часть уравнения не содержит координаты ~з. В соответствии со сказанным в З 1 гл. П это означает, что уравнение определяет цилиндр, образующие которого параллельны базисному вектору ез, а направляющая определяется в плоскости векторов е1 и ег уравнением (14) при Озс = О: Л1(~~)2+ ЛЗ(цг)2+ Ооо = О. (16) Уравнение (1б) на плоскости молгет определять одну из пяти центральных линий второго порядка. Им соответствуют пять цилиндров, которые это уравнение может определять в пространстве: эллиптический ц ликдр, гиперболический цилиндр, пара пересекающихся плоскостей (направляющая -- пара пересекающихся прямых), пара лкииых пересекающихся плоскостей (поверхность состоит из прямой линии, направлнющая точка, т.
е. пара мник|ых пересекающихся прямых) и, наконец, лЗнил2ый эллиптический цилиндр (пустое множество, направляющая мнимый эллипс). Канонические уравнения этих поверхностей приведены в табл. 2. 3. Рассмотрим случай г = 1. В уравнении (11) имеем Лг = Лз = О, а Л1 ~ О. Переносом начала координат вдоль оси ~' уравнение приво- дится ь виду Л1(( ) + 2Озс4 + 2Озс~ -Ь Осо = О. (17) ЗА. ПопУстим, что О,'с + Ого ~ О.
Тогда мы можем сделать повоРот базиса вокруг вектора е1: 21 ~1 ~~2 ОЗЗС З ОЗОС 23 ОЗОС С ОЗЗС 2 3 3 . ° »=,Я;т ь 2..0. (22) 0 Л1(( )2+ 2о( +Оса = О. (18) Переносом начала координат вдоль оси ц™ преобразуем (18) в уравнение Л1(до )2+ 2с~о = О, которое приводится к каноническому ниду (ч" ) =2рс", р>О 22. Общая теория линий и поверхностей второго порядка 257 (Нри необходихлости ьложно изменить направление е'.) Это уравнение параболического цилиндра. ЗБ. Если сзго = сззо = О, то уравнение (17) сводится к Лз(~2)2 + „, = О и приводится к одному из трех последних канонических видов.
На этом классификация поверхностей второго порядка заканчивается. Ее результаты приведены в табл. 2. Таблица 2 Название Мнимый эллипсоид Каноническое уравнение Ы )- 2 1лз)2 — =1 сз 222)2 с- Ю' с- Юз =О сз 122)2 2б~ 4 3 Эллипсоид Однополостный гипербо- лоид О 3 Лвуполостный гипербо- лоид Мнимый конус Конус Эллиптический парабо- лоид 2 2 Гиперболический парабо- лоид О 2 Эллиптический цилиндр 1 2 Мнимый эалиптический цилиндр Гиперболический ци- линдр Пара пересекающихся плоскостей 1 2 О 2 Пара мнимых пересекаю- плоскостей 2 2 Параболический цилиндр Пара параллельных плос- костей 1 1 2С') = О 1 Пара мнимых параллель- ных плоскостей 142) = -а Пара совпавших плоскос- плоскостей (с') = О 17 Д.В.
Беклемкшее 12 )- „ п- аз аз Ыз)2 „ а- Ы')2 аз Ы')2 + аг Ы')' а- Ы')2 аз Ы')2 аз Ы')2 а- Ы')2 аз 2с')2 аз 22')2 аз Ы')2 „ а2 Ы')2 = Ы-)- Ьз Юз Ьз Ыз)2 Ьз 14. )2 Ьз 12')2 Ьз Ыз)2 Ьг Ф)2 Ыз)2 122)2 Ыз)2 Ь2 222)2 Юз Юз Ьз 2рб Гл. )?1П. Аффаннмв пространства 288 Из теоремы 1 и табл. 2 следует Теорема 3. Аффиннмй класс уравнении второго порядка с тремя переменнмл1и однозначно определяется числами г, Л, а и г,. Упражнения 1. Приведите к каноническому виду уравнение 2(» ) — 3(»з) — 2ъ'3»~» — 4»~»з Ч- 4у'3»»з + 50»з = 30. 2. ~е приводя уравнение к каноническому виду, определите класс поверхности второго порядка (» ) ж 4» » -~- б» »' — (» ) -~- 2» » ж 4(» ) -~- 2» = О.
3. При каких значенинх параметра а поверхность с уравнением (») +(»з) +(») ч-2а(»» ч-»з» -ь»»)-ь4а=О янляется эллипсоидом? ГЛАВА 1Х ОСНОВЫ ХЕНЗОРНОЙ АЛГКБРЫ й 1. Теизоры в линейном пространстве 1. Вводные замечания. В предыдуших главах мы рассматривали в линейных или евклидовых пространствах различного рода объекты: линейные преобразовании, билинейные функции и т. д. Изучение каждого объекта основывалось на определении, которое формулировалось без участия базиса. Например, линейное преобразование определялось как такое отображение пространства в то же пространство, которое удовлетворнет определенным условиям И1) ~ 3 гл.
т'1). Таким образом, изученные нами объекты существуют и в принципе могут быть изучены без введения базиса. Для обозначения таких объектов мы будем пользоваться термином геометрический объект. Хотя геометрический объект и существует независимо от базиса, бывает удобно, выбрав некоторый базис, задать объект относительно этого базиса при помощи упорядоченной системы чисел компонент объекта. Например, выбор базиса устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и квадратными матрицами.
Элементы матрицы линейного преобразования можно считать компонентами линейного преобразования в рассматриваемом базисе. Неизменность объекта при замене базиса приводит к изменению компонент. Во всех встречавшихся случаях мы могли вычислить компоненты объекта в одном базисе через его компоненты в другом базисе и через элегиенты матрицы перехода от первого базиса ко второму. Такая зависимость называется законом преобразования компонент геометрического объекта. В этой главе мы рассмотрим важный класс геомотрических объектов, называемых тензорами. Закон преобразования их компонент таков, что новые нолтоненты являются линейными однородныл~и многочленалш от старых компонент, а коэффициенты этих многочленов являются произведениями элементов матрицы перехода и элементов обратной к пей матрицы.
Для того чтобы точно описать этот закон и тем самым дать определение тензора, необходимо ввести некоторые обозначения. 2. Обозначения. Напомним, что матрицу размеров т, х п можно определить как функцию, сопоставляющую некоторое число каждой Гл. 1Х. Основьг тензорной алгебры аао паре (з, Я, где т е (1, ..., т), а у й (1, ..., и). Обобщим это определение. Поскольку нам будут нулсны только матрицы., аналогичные квадратным матрицам, все индексы будут принадлежать одному и тому же множеству (1, ..., п).
Определение. з-мврнвй лгатриией порядка а (или в-мерным массивом) называется функция, определенная на множестве всевозможных наборов чисел (1г, ..., за), где все числа принимают значения из мнозкества (1, ..., п). Для того чтобы разъяснить термин ав-мерная матрица", рассмотрим трехмерную матрицу с элементами аоь.
При любом фиксированном значении индекса к = ко элементы вида пюь, составляют квадратную матрицу порядка п. Таким образом, вся совокупность элементов трехмерной матрицы распадается в упорядоченный набор из п квадратных матриц; ~багха 1'й, ..., ~рог „'й. Можно представить себе эти матрицы расположенными одна под друтой в виде слоев, так что образуется куб, разделенный на пз ячеек, содержащих по одному числу.
Аналогично, четырехмерная матрица может рассматриваться как упорядоченный набор трехмерных матрип и т. д. Строку и столбец удобно считать одномерными матрицами: их элементы нумеруются одним индексом. В рассматриваемых нами матрицах не все индексы будут равноправны: будут выделены два сорта индексов. Принято индексы одного сорта писать вверху, а другого внизу. В принципе мы могли бы, ока кем.
обозначать один сорт индексов латинскими буквами, а другой греческими, но принятое обозначение жестко связано со всей системой обозначений. За расположением индексов приходится строго следить. Если порядок индексов не установлен иначе, мы оудем считать, что нижние индексы следуют за верхними так, как если бы они были написаны пранее верхних.
Многомерные матрицы полностью выписывать сложно. Действует следующее соглашение: буквенный индекс рассматривают как переменную величину, принимающую значения 1, ..., п, и если написано вьгразквкив, содержащее буквенный индекс', кв являющийся индексом сумлтроваяия, та предполагается, чта каписакьг п таких выражений, соответствующих каждому значению этого индекса.
Когда имеется несколько индексов, сказанное относится к каждому из них. Таким образом, например, а"" ' обозначает вскз совокупность элементов з-мерной матрицы, а запись гт,'ь =,3,'ь означает, что равны стоящие на одинаковых ьлестах элементы двух трехмерных матрип, т. е. матрицы равны. Вводится следу|ощее новое обозначение суммирования. Пусть написан пдкочлен, состоящий из букв с индексами, причем какой-тв ин- ") У нас в качестве буквенных индексов, как правило, будут применяться буквы и З, к, й возможно, снабженные своими индексами. Вуква и всегда обозначает финсированное число размерность пространства. З1.
Тензвры в линейном пространстве 26! )зы —— ~ 1л! а!а! 1'(х) =~у 1': ю=а будем писать в виде 1'( ) = дХ: Дь! = 11 за!а!'. 3. Определение и примеры. Мы рассматриваем п-мерное вещественное линейное пространство .К. Определение. В пространстве х' задан текзор типа (р,д), если каждому базису сопоставлена (р+ у)-ь!ерная матрица порядка и. При этом, каковы бы ни были базисы е и е', соответствующие им матрицы о,' ',' и о',' ",' должны быть связаны следующими соотношениями: (1) где а! элементы матрицы перехода от е к е'. а т' элементы ее обратной матрицы. Элементы матрицы, соответствующей некоторому базису,. называются компонентами тензора в этом базисе.
Число р+ у называется валектностью тензора, а д и р соответственно ковариактной и контр- вариантной валентностыо. Подчеркнем, что, несмотря на сложность суммы в правой части формулы (1), в каждое слагаемое входит единственная компонента тензора. Это означает, что новые компоненты являются ликейкылш однородными мкогочленами относительно старых компонент.
Сложность формулы (1) связана с выражением коэффициентов этих многочленов через элементы матрицы перехода. Два тензора ривны., если они одного типа и имеют одинаковые компоненты в некотором базисе. Тогда из закона преобразования вьпскает, что равны их компоненты в любом базисе. Для любой (р+ д)-ы!ерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (р, у), который в базисе е имеет эту матрицу компонент. Его компоненты в остальных базисах могут быть найдены с помощью формулы (1). Пример 1.
Вектор является тензором типа (1, 0). Действительно, если задан вектор, то каждому базису соответствует одномерная матрица .. столбец. При этом компоненты, соответствующие разным деке встречается дважды: один раз вверху, а другой раз внизу. Это ойозначает сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса так, как если йы перед ним стоял знак ~, а индекс йыл индексом суммирования, принимающим значения от 1 до и. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
