Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Каледин квпдратная матрица.4 может быть разложена в произоедение А = ьг5 ортогональной матрицы ьз и симметричной матрицы 5 с неотрицательными характеристическими шслали. По предложению 5 для симметричной матрицы 5 найдется ортогональная матрица Р такал, что Р '5Р "- диагональная матрица Р с характеристическими числами матрицы 5 на диагонали. Подставим 5 = РРР ' в разложение.4 = Ц5. Тогда А = ьгРРР '.
Матрицы ЯР и Р ~ ортогональные. Обозначив их Яз и Яа, получаем Предложение 14. Для каждой квадратной матрицы А найдутся такие оргпогональные матрицы Яь и ьгю что А = Я,РЯз, где Р диигональная лзатрица с сингуллрнь ми числали матрицы А на диаго- Гл. 17й Евнлидовы и унитарные пространства 234 пали. Полученное разложение матрицы называется Я~Р или сингулярнылс разложением. Аналогичное разложение можно получить и длн матрицы А размеров гп х п.
В этом случае Яг и Я матрицы порядков т и и, а Р имеет такие же размеры, как и А, и состоит из нулей, за исключением квадратной диагональной подматрицы порядка НцА в левом верхнем углуп Сингулярное разложение имеет важные применения, на мы но можем на них останавливаться. Упрагннения 1. В базисе е с матрицей Грама Г преобразование А имеет матрицу А; — 1 — 2 1 1 3 4 ' 1 2 и напишите матрицу А' преобразования в найденном базисе.
6. Ортогональное преобразование, заданное матрицей ΠΠΠ— 1 1 О О О О 1 О О О О 1 О в ортонормированном базисе, разложите в произведение двух нрашений во взаимно перпендикулярных двумерных подпространствах. Т. Получите полярное разложение преобразования, заданного в ортонормнрованном базисе матрицей: у2 1 О у?2 О 1 а) ОО 8. Получите снвгулярпое разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей из упр. 7, б). а) Найдите матрицу сопряженного преобразования. Найдите собственные надпространства: б) преобразования А; в) преобразования А*.
2. Докажите, что собственные надпространства преобразований А и А", принадаежащие разным собственным значениям, ортоганальны. Пронерьте этот результат для упр. 1. 3. Найдите все линейные преобразования, которые являются как ортогональными, так и самосопряженными.
4. Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопрнжен ного преобразовании, если у его характеристического многочлена: а) нет кратных корней; б) есть кратные корни? в) Возлгожен ли неортогональпый базис из собственных векторов само- сопряженного преобразования? б. Найдите матрицу перехода Я к ортонармированному базису из собственных векторов преобразованин, заданного в ортонормированном базисе матрицсй 2 1 1 А= 1 2 1 1 1 2 ГЗ. Функции на ввклидовых пространствах 3 3. Функции на евклидовых пространствах 1. Линейные функции.
Выбор базиса в линейном пространстве У устанавливает изоморфизм между .У и его сопряженным .2' . В этом пункте мы покажем, что для п-мерного евклидова пространства ~" существует такой изоморфизм, не зависящий от базиса. О и р е д е л е н и е. Если для линейной функции 1 на евклидовом и ространстве найдется вектор а такой, что 1(х) = (а, х) для любого х, то функция называется регулярной, а вектор а ее присоединенным вектором.
Говорят также, что функция присоединена к вектору а. Как легко видеть, каждому вектору присоединена некоторая регулярная линейная функция (сьь пример 2 ~ 5 гл. Ъ'1). Выберем в евклидовом пространстве базис е и выразим в нем связь координатного сто.тбца сх вектора а, и строки коэффициентов ьо его присоединенной функции Е По определению Ф, =11е,) =(а,е,) =сх Ге,, (1=1,...,п), где в; --1-й столбец единичной матрицы -- координатный столбец е;. Последнее произведение равно 1-му элементу строки сх~Г, и потому 1 = о~ Г, или 1 = Гсх.
В ортонормированном базисе зта формула выглядит особенно просто: 1 = сх, .т. е. коэффициенты регулярной функции равны коордит натам ее присоединенного вектора. Вспомним, что коэффициенты линейной функции в базисе е это ее координаты в базисе р, биортогональном базису е. Отсюда следует, что равенство (1) можно рассматривать как координатную запись линейного отображения Г пространства Ь'в его сопряженное о"' в паре базисов е и р. Так как à — квадратная невырожденная матрица, это отображение взаимно однозначно. В пространстве Р* пока нс введено скалнрного умножения. Но мы можем ввести его по формуле 11, я) = (Г '11), Г '(й)). Тогда отображение Г будет изоморфизмом евклидовых пространств.
Этот изоморфизм не зависит от базиса, так как соответствие, сопоставляющее вектору его присоединенную функцию, записывается формулой 1(х) = (оп х) в не зависящем от базиса виде. Как следствие мы получаем Предложение 1. В конвчномврном евклидовом пространстве каждая линейная функция является регулярной. 3 а м е ч а н и е. В бесконеч номерном пространстве подобное предложение было оы неверно. В примере 3 у 1 введено скалярное произведение в пространстве функций, определенных и непрерывных ца отрезке [О,. Ц.
По отношению к этому скалярному произведению из двух линейных функционалов, рассмотренных в примере 4 ~5 гл. У1, первый является регулярным, а второй, как можно доказать, нет. Гл. 1 Ьй Яввлидовы и унитармие пространства Не зависящий от выбора базиса изоморфизм между пространствами о' и 5" позволяет отождествить эти пространства. С подобным обстоятельством мы встречались, когда отождествляли пространство 2' и его второе сопряженное.2' . Отождествление евклидова пространства с его сопряженным (или линейной функции с ее присоединенным вектором) является общепринятым.
Рассмотрим векторы р', ....р", отождествляемые с элементами рз, ..., р" базиса, биортогонального базису е. Из формулы (5) 3 5 гл. У1 следует, что они удовлетворяют условию Отсюда нетрудно вывести, что при п = 3 биортогопальный базис, определенный нами в 34 гл. 1, совпадает с биортогональным базисам, определенным в 3 5 гл, е'1. Это же выясняет происхождение термина "биортогональный". 2. Преобразование, присоединенное к билинейной функции. Пусть Ь вЂ” — билинейная функция на евклидовом пространстве Х С помощью скалярного произведения ей может быть сопоставлено не зависящим от выбора базиса образом некоторое линейное преобразование.
Определение. Линейное преобразование А называется присоединенным к билинейной функции Ь, если для любых векторов х и у из 6'выполнено равенство Ь(х,у) = (х.,А(у)). (2) Предложение 2. Каждая билинейная функция имеет одно- единственное присоединенное преобразование. Доказательство. Пусть А матрица преобразования А в некотором базисе е. Тогда (х, А(у)) = от ГАВ, где Г матрица Грама базиса е, а г и т1 —. координатные столбцы х и у. Отсюда видно, что (х, А(у)) - — билинейная функция с матрицей ГА. Если значения двух билинейных функций равны для любых х и у, то их матрицы совпадают. Поэтому если у функции Ь существует присоединенное преобразование, ее матрица В равна Г.4. Отсюда А=Г 'В.
(3) Это означает, что билинейная функция не может иметь больше одного присоединенного преобразования: если оно существует, то его матрица равна Г 'В. Докажем существование присоединенного преобразования. Для этого достаточно проверить, что преобразование с матрипей (3) является присоединенным.
Подставим А = Г 'В в (х, А(у)) = ~тГАз1. Мы получим (х, А(у)) = ЬтВт1 = Ь(х, у). Предложение доказано. Одновременно мы получили связь (3) между матрицами билинейной функции ее присоединенного преобразования. Для ортонормиро- ЗЗ. Функции на ееклидоеых пространствах 237 ванного базиса связь особенно проста А=В. эти матрицы сонпадают (41 Отсюда и из предложения 3 ~ 2 мы получаем Предложение 3. Для симметричных билинейных функций и только для них присоединенное преобразование лв яется самосопряженным. Преобразование, присоединенное к симметричной билинейной функции, называют присоединенным также к соответствующей квадратичной форме. 3. Ортоиормироваииый базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
Установленная выше связь между квадратичными формами и самосопряженными преобразованиями позволяет доказать две важные теоремы. Теорема 1. В евклидовом пространстве для каждой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в наторел~ она имеет диагональный вид. Теорема почти очевидна: базисом, существование которого утверждается, является ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к квадратичной форме. В нем В = А и А -.- диагональная матрица.
Следующая теорема янляется по существу другой формулировкой теоремы 1. Теорема 2. Пусть в линейном пространстве.2' заданы две квадрапщчные формы к и и, причем и положительно определенная. Тогда в 2' существует базис, в котором обе формы имеют диагональный вид. Для доказательства введем в К скалярное произведение, .приняв о за основную квадратичную форму. По отношению к этому скалярному произведению ортонормировацпыми будут те базисы, в которых о имеет канонический вид. По теореме 1 для формы к существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид. Это и есть базис, существование которого мы доказываем.
Замечание. Если пространство Кевклидово, то теореьиа 2 остается, конечно, справедливой. Уже существующее скалярное произведение оставляется без внимания, а для доказательства вводится новое скалярное произведение при помощи формы и. Найденный базис, но- обще говоря, не будет ортонормированным по отношению к старому скалярному произведению. Чтобы привести две квадратичные формы к диагональному виду в одном и том же базисе, можно сначала привести к каноническому виду форму и и найти матрицу 1ь' формы к в полученном базисе.
Этим будет осуществлен переход к базису, ортонормированному по отношению к вспомогательному скалярному произведению. Линейное преобразование, имеющее ту же матрицу Л', является присоединенным к форме к. Следует найти его ортонормированный базис из соб- Гл. ЪН. Явклидавн и унитарные пространства 288 ственных векторов, вычисляя скалярное произведение по формуле (9) 81. В этом базисе матрица формы и будет по-прежнему единичной, а матрица К" формы к будет диагональной. Тот же результат можно получить и иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
