Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Итак, фс~-)~- = Г'. Очевидно, что св и е'"л не имеют общих ненулевых векторов, а сумма их размерностей равна и. Отсюда следует У1. Евклидввы лространства 221 Предложение 5. Евклидова пространство прямая сул1ма любого своего подпростраиства и вго ортогон льного дополнения. Дна ПОдПрвотраиотна Р' И 4в' НаЗЫВаЮтея ОртогаиаЛЬНЬ1Ми, ЕС- ли б'в С б"'-. Тогда и Р' С бо'~-, так как (х,у) = О, если х Е в' и у с е"'. Т.
ОРтогональные пРоекции. Так как л = б" Рд8'~., каждый вектор х Е б однозначно раскладывается в сумму векторов х1 Е б' и хг 6 б"". Вектор х1 называется ортогональной проекцией х на в". Легко видеть, что хг — ортогональная проекция х на в"~. Найдем ортогональную проекцию х на о в предположении, что в К задан некоторый ортогональный базис 61,...,6ы Дополним этот базис до ортогонального базиса в пространстве лв',. присоединив к нему произвольный ортогональный базис Ьь 1, ..., Ь„из б"т. Так как сумма ев и е'"~ прямая, искомое разложение вектора х единственно, и мы, группируя слагаемые в формуле (10), получаеь1 ь (18) 1=1 Если Ь = 1, проекция имеет вид х1 = цх, 6)Д6~2)6, и мы видим, что правая часть формулы ~18) -- сумма проекций на ортогональные одномерные подпространства, натянутые на 61, ..., Ью Так же истолковывается формула (10), а значит, равенство Парсеваля (11) является обобщением теоремы Пифагора. Из (х1, хз) = О следует (х)2 = (х1 + хг)2 = )х1)2 + ~ха~2 > )х1)2.
Длина ~хг~ ортогональной проекции х на в"л обладает следующим свойством минимальности, обобщающим теорему о длине перпендикуляра и наклонной из элементарной геометрии. Предложение 6. Пусть х1 ортогональная проекция х на Р'. Тогда для любого вектора у б б"', отличного от х1, выполнено )хг! = (х — х1! ( ~х — у!. Доказательство.
Обозначив х1 — у через г, имеем ~х — у~г = ~х + х — у(2 = (г+ х ~2 = (г+ х, г+ х ) = = )г!2 + 2(хг, г) + (хг(2. Но (г, хг) = О, так как г Е в", и, следовательно, )х — у(2 = )хз)2 + )г(~. Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение. 8. Метод ортогоналнзацнн. Формула (18) служит основой метода, позволяющего произвольный базис евклидова пространства преобразовать в ортогональный, а затем в ортонормированный. Этот метод называется методом ортвгонализации Трама" Шмидта.
Пусть в Рзадан некоторый базис 11, ...,1„. Положим 61 = 11. Затем из вектора 12 вычтем его ортогональную проекцию на линейную 222 Гл. 171. Евклидовы и унитарные пространства оболочку 1Ь и положим 62 равным полученной разности: Ьз =12 — ', Ьы 1зз:Ь ) !6| Р Отметим, что Ьз раскладывается по 11 — — 61 и 12, причем 62 у= о, так как в противном случае ~г и 72 были бы пропорциональны. Будем продолжать таким же образом. Допустим, что построены попарно ортогональные ненулевые векторы Ьы ..., Ьь, причем для любого 1 < 6 вектор 6; раскладывается по 1ы ..., Д. Положим ь (19) ь=1 Вектор Ьез, проекция ~ь+1 на ортогональное дополнение линейной оболочки 6ы ..., 6ь, и потому ортогонален всем 6, при 1 < 6+ 1. Кроме того, он раскладывается по 1ы ...,1ь ы так как для любого 1 < Й вектор 6, раскладывается по ~ы ..., ~,.
Отсюда следует, .что Ьь+1 у= о, поскольку иначе векторы Зы ..., Рьы оказались бы линейно зависимы. После того как будет преобразован последний вектор 1„, мы получим ортогональную систему из и ненулевых векторов. Итак, нами построен ортогональный базис Ь. От него можно перейти к ортонормированному базису е из векторов е; = 6;/~6,~ (1 = = 1, ..., п), Это называется нормировкой базиса Ь. Посмотрим на матрицу перехода Я от базиса Ь к базису Г.
Из равенства Р1 — — 6~ и формулы (19) видно, что )1 при любом з раскладывается по 6ы ...,6, причем его координата по 6 равна 1. Поэтому элементы матрицы перехода о' равны нулю, если они ниже главной диагонали (при 1 > з), и единице при 1 = зц Таким образом, эта матрица — — верхння треугольная (и. 3 2 1 гл. У) с единицами на главной диагонали. Пусть базис е получен нормировкой базиса Ь. Тогда Ь = еР, где Р диагональная матрица с положительными элементами на диагонали. Если Г = ЬЯ, то Т = еРЯ, причем, как легко видеть, матрица 77 = РЯ - треугольная, как и Я, и ее диагональные элементы положительны, хотя, возможно, и не равны единице. Теперь мы можем сформулировать Предложение 7.
Если ортогональный базис Ь полуеен ортогонализацией базиса Г, то леатрица перехода Я от Ь к Г верхняя треугольная с единицами на диагонали. Если базис е получен нормировкой базиса Ь, то матрица перехода Л от е к Г верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. 3 а м е ч а н и е.
По существу, метод ортогонализации —. метод приведения положительно определенной квадратичной формы к диагональному виду. Метод, примененный при доказательстве теоремы 1 2 б гл. 171, в случае положительно определенной формы отличается только порядком выполнения элементарных операций. 21. Евклидовы лрвстранства 223 9. ЯЯ-разложение. Так называется следующее разложение матрицы на множители, часто используемое в приложениях.
Предложение 8. Если матрица А невьсрвждена, то она может быть пРедставлена в виде, пРоиэведенил А = сьСЛ, где Ц - вРтогвнальная, а Л верхняя треугольяал матрица, причем диагональные элементы Л положительны. Доказательство. Будем рассматривать столбцы А как координатные столбцы векторов ас, ..., а„в ортонормированном базисе и еислидова пространства. Так как А невырождена., эти векторы составлшот базис а. При этом А матрица перехода от и к а, т, е. а = яА.
Пусть е ортонормированный базис, полученный ортогонализацией и нормировкой базиса а. Тогда а = еЛ, и по предложению 7 матрица Л верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. Време того, так как базис е ортан, е = ИЯ, где матрица Я ортогональная. Из двух последних равенств следует а = ф~Л. Сравнивая это с равенством а = яА, получаем ЦЛ = А. 10. Объем параллелепипеда. Рассмотрим 1с линейно независимых векторов 1с,...,7ь в п-мерном евклидовом пространстве. Под к-мерным параллелепипедом 17с, ...,7ь), построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами оп 0 < о, < 1 (с = 1, ..., к). Векторы 7с, ..., 7ь назовем ребрами параллелепипеда.
Если ребра упорядочены, параллелепипед называется вриентированныле Параллелепипед (7с,...,7ь с) естественно назвать основанием параллелепипеда (7с, ...,7ь), а вьшотой, соответствующей этому основанию, назовем ДлинУ ~йь~ оРтогональной пРоекЦии Ьь вектоРа 7ь на ортогональное дополнение линейной оболочки 7с,...,7ь Объем одномерного параллелепипеда 17") мы определим как длину его единственного ребра: 1'17) = ф, а объем 1-мерногв параллелепипеда г'(7с,...,7ь) определим по индукции как произведение объема основания на высоту.
При таком определении объем параллелепипеда может оказатьсл зависящим от порядка, в котором записаны ребра, но из полученной ниже формулы (20) для объема мы увидим, что в действительности такой зависимости нот. Если ребро 7ь ортогонально остальным ребрам, то йь = 7ь и 1'1эс " Уь) = 1'17с ",эь-с)сэь!. Отсюда легко заметить, что объем прямоугольного параллелепипеда (у которого ребра попарно ортогональпы) равняется произведению длин ребер. Рассмотрим и-мерный параллелепипед (7с,...,7"„).
Применяя к 7с,...,7э пРопесс оРтогопализаЦии, мы заменлем очеРеДной вектоР его проекцией на ортогональное дополнение линейной оболочки предыдущих векторов и в результате строим и-мерный прямоугольный параллелепипед 16ы ..., Ь„), имеющий тот же объем. Матрица Грама Гь системы векторов Ьс...., 6„. диагональная с Гл. ЪП. Евнлидовы и унспаарные пространства 224 элементами ~Ьс~з, ..., ~6 )~ на диагонали.
Поэтому 1'(1ы ..., 1я) = И(6ы ...,6„) = )6с!...(6„,! = 17ЯесГн. Пусть Я матрица перехода от 6ы ..., 6„к Гы ..., 1ю Согласно предложению 7 с1е1 Я = 1, и гютому с1е1Гс = с)е1(ЯтГьЯ) = с)осГь. Итак, 14(Уы..., 1„) =,Л ТГ,. (20) Пусть е произвольный базис, а Г матрица из координатных столбцов векторов 7с, ...,)'„в этом базисе.
Эта матрица --- матрица перехода от е к Г. Поэтому Гс = ГгГ,Г. Отсюда в силу (20) 1'(ус, ...,1о) = ) с1е1 Г)УЯе1Гг = ) с1етГ)1'(еы ...,е„). В частности, для ортонормированного базиса е ИЯ, ..., г„) = )с)етГ!. Если евклидова пространство ориентировано (и. 6 2 1 гл.У1),мы определим обаелс гмлсерного ориентированного параллелепипеда как его объем со знаком плюс, если его ребра составляют положительно ориентированный базис, и со знаком минус в противном случае. Тогда длн положительно ориентированного ортопормированного базиса мы имееэ| 1'4(уы ..., 1я) = с)е1Г, а в общем случае 1'~(~ы ...,1„) = с)е1Г1'с(еы ...,е„).
(2Ц Формулы этого пункта были получены нами для н = 2,3 в 2 4 гл. 1. Упражнения 1. Проверьте, что в пространстве многочленов степени ( 2 скалярное произведение можно определить формулой 1 (р,ч) = /рП)чП)41 — 1 а) Составьте матрицу Грама базиса 1, й Г. б) С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса 1, П вЂ” 1), (4 — 1). а) Найдите угол между многочленами 4 + 1 и 1+ 1. 2. Подпространство евклидова пространства задано в ортонормировапаом базисе уравнением 4' 4-Г 4-6з + 6с = О.
Найдите ортонормированный базис в этом подпространстве. 3. Пусть ЙисЮ= 4 и о" С сз задано в ортонормированном базисе системой 41 ж гл -'- 43 = О, 4з 4. 43 4- бз = О Найдите: а) базис в сУ'~; б) ортогональную проекцию на о" вектора () 1 2 3 4 !)~ . 4. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка и равны между собой по абсолютной величине. 52. Линейные преобразования евклидовыз пространств а) Чему равна абсолютная величина элемента такой матрицы? б) Докажите, что такие матрицы существуют, если и = 2ь, где й натуральное число. б. Найдите ОН-разложение матрицы: 1 3 1 а); б) 2 4 -3 1 1 — 1 6.
В четырехмерном евклиловом пространстве трехмерный параллелепипел построен па векторах, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы 5 1 1 — 1 0'5 г, '51 1 1 — 1 5~ и 5 1 1 1 1 5~. Найдите объем параллелепипеда. 3 2. Линейные преобразования евклидовых пространств 1. Преобразование, сопряженное данному. Все сказанное в предыдущей главе о линейных преобразованиях линейных пространств остается, конечно, в силе и для евклидовых пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
