Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Следующий, (в+ 1)-й шаг состоит в такой последовательности элементарных преобразований последних и — й строк и последних п — й столбцов матрицы Вы которая равносильна применению преобразований первого шага к матрице Сь. В результате мы получаем матрицу Вью, имеющую тот же вид с большим на 1 значением 1ь После (и — 1)-го шага матрица Са 1 имеет порядок 1 и не нуждается в преобразовании. В результате матрица В будет превращена в диагональную матрицу 200 Гль У1.
Пикейкые кростракстаа При приведении квадратичной формы к диагональному виду можно воспользоваться методом аь1делекия квадратов. Покажем его на примере. Пусть задана квадратичная форма Ь(Х) 2(~~)' + 4~~~~ + 3(члз)2 + 4чсзчлз + 5(~3) Заметив, что коэффициент при (Л1)2 отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие С': 2Д')2+ 2с~с~]+ 3(сз) + 4с 5 + 5(ч ) . Дополним выражение в квадратных скобках до квадрата суммы, прибавив и вычтя 2ф)~: 2Д1)2 + 2~152 + (42)2) — 2©2 + 3©2 + 4~2(3 + 5(,3) Теперь к(х) = 2((С" + С2))2 -Ь 'ь'(х), где к' квадратичная форма, значения которой зависят только от гз и гз: 'к'(х) = (12)2 + 41213 + 5(13)2. К ней можно применить тот 1ке прием: ~ '(, ) (~2 + 2~3)2 + (~3)2 Итак, й(х) + 2((~)2 + (С2)2 -Ь (Сз)2, где ~1 ~1+~2 ~2 ~2+2~3 ~3 ~3 Последние формулы задают преобразование координат при переходе к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
В методе выделения квадратов также возможен особый случай, когда в квадратичную форму не входят квадраты координат, а входят только произведения. Допустим, что с ненулевым коэффициентом 2Д12 входит произведение ~'~2. Рекомендуется замена координат ~1 = ~1 + ~2 ~2 = ~1 — Сз Е = Е ( > 2) после этой замены в квадратичную форму войдут члены 21312(31)2— — 2Д12(гз)2, и выделение квадратов может быть продолжено. При доказательстве теоремы 1 была предложена определенная последовательность элементарных преобразований. В основном случае метод выделения квадратов только формой записи отличается от приведения с помощью этой последовательности прсобразонаний. Но полезно иметь в виду, что можно использовать любую последовательность элементарных преобразований при единственном условии: после калгдого элементарного преобразования строк должно выполняться то же элементарное преобразование столбцов.
Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве мы будем называть какокическ лч видал, если элементы еь на диагонали могут быть равны только 1, — 1 и О. В комплексном гб. Квадратичные фермы зог пространстве диагональный вид квадратичной формы канонический, если числа на диагонали могут равняться только 1 или О. Теорема 2. Для яаледай квадратичной формы существует базис, в котором ана имеет канвничегкий вид. Для доказательства будем исходить из диагонального вида квадратичной формы и сделаем следучошее преобразование.
Если какой- либо из диагональных элементов ег отличен от нуля, то разделим Й-ю строку и Уэй столбец матрицы на вь в случае комплексного пространства и на Хгг)яД в случае вещественного пространства. Это равносильно делению к-го базисного вектора на то жс число. Сделав это для всех к таких, что гу ф О, мы приведем квадратичную форму к каноническому виду. 3.
Ранг и индекс квадратичной формы. Существует много базисов, в которых данная квадратичная форма имеет канонический вид. Коэффициенты г могли бы быть, вообще говоря, своими для каждого из таких базисов. Однако оказывается, что они одни и те же (с точностью до порядка их расположения), как бы мы ни приводили квадратичную форму к каноническому виду. Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы нв зависит вт базиса. Действительно, .по формуле (5) матрицы В и В' квадратичной формы в двух базисах связаны равенством В' = Я~ВЯ, где дег 5 ф О.
Отсюда Вй В' = ВК ВЯ = Вд В в силу предложения 3 о 3 гл. У, Если квадратичная форма имеет диагональный вид, то ранг ее матрицы равен числу диагональных элементов, отличных от нуля. Таким образом, это число не зависит от базиса. О и р е д с л е н и е. Число не равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы й называется рангом 1е. Итак, ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы. В комплексном пространстве все квадратичные формы одного и того же ранга г приводятся к одному и тому же каноническому виду (с ) + ... + (с") . Теперь рассмотрим вещественное пространство 2'. Определение. Квадратичную форму к будем называть положительно определенной на подпространстве гге' пространства гг, если й(х) > О для любого ненулевого вектора х из У'.
Форма к отрицательно определена на .х", если й(х) ( О для любого х ф о из Если говорят, что квадратичная форма положительно или отрицательно определена, без уточнения подпространства, то она обладает таким свойством на всем,2'. Квадратичные формы, для которых М(х) > О или 1(х) ( О при любом х., называются соответственно положительно или отрицательно пвлуаиределенными. Удобно считать, что на нулевом подпространстве каждая квадра- 202 Гл.
е1. Линейные пространства тичная форма и положительно определена, и отрицательно определена одновременно. В силу этого соглашения всегда сугцествует (хотя бы нулевое) надпространство, на котором квадратичная форма отрицательно определена. Определение. Пусть К~ ~ -- надпространство максимальной размерности среди всех надпространств, на которых квадратичная форма отрицательно определена. Число сйпг.К~ ~ называется отрицательным индексом или просто индексом квадратичной формы. Аналогично определяется положительный индекс как максимальная из размерностей надпространств, на которых квадратичная форма положительно определена.
Доказкем так называемый закон инерции квадратичных форм. Теорема 4. Число отрицательных и число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной форл~ы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду. Докажем сначала, что если в каком-либо базисе форма к приведена к каноническому виду, то число коэффициентов, равных — 1, равно отрицательному индексу формы к. Пусть в базисе ем ...,ен форма к ранга г с индексом з имеет канонический вид -(с')2 —" — (сз)2+ (01~')'+ "+ (с")'. Обозначим через х"1 линейную оболочку векторов ее, ..., е ч а через .х'2 линейную оболочку остальных базисных векторов.
Для любого Х Е Х" ИМЕЕМ ~ЗЧс = ... = ~н = О, И й(Х) = — (~')2 — ... — (~З)2 < О, ЕСЛИ только х ф о. Значит, к отрицательно определена на У~ и в > зц На Ьоз фОРМа К ПОЛОжИтЕЛЬНО ПОЛУОПРЕДЕЛСННан, ПОТОМУ Чта = ~з = О для любого х Е .У и к(х) = ((зл' ) ' + ... + (С с) 2. (Фореиа может равняться нулю на ненулевом векторе, если г < и.) йт х."2 = и — 1 Пусть существует надпространство К размерности в > з, на котором к отрицательно определена. Тогда, поскольку сумма размерностей .Кз и хе ~ больше и, эти надпространства имеют ненулевой вектор з в пересечении.
Имеем к(з) < О, так как з Е К~ ~ и к(з) > О, так как з С Кз. Полученное противоречие показывает, что з = в. Число коэффициентов, равных — 1, равно отрицательному индексу, и потому не зависит от базиса. Число коэффициентов, равных +1, также не зависит от базиса, так как оно равно г — з, а ранг г и индекс з от базиса не зависят. Теорема доказана. Следствие. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом диагон льном виде квадратичной формы не зависят от базиса.
Положительно определенные квадратичные формы имеют ранг и и индекс О и приводятся к каноническому виду Ы')2+ — + Ю' (12) Отрицательно определенные квадратичные формы имеют ранг и и Эб. Квадратичные формы гоз индекс п и приводятся к каноническому виду (~')а — ... — (~п)з. Положительно и отрицательно полуопределенные квадратичные формы ранга г приводятся соответственно к каноническим видам Ы')а+ - + Ы")'-', -Ы')з — - — Ю' В вещественном пространстве квадратичная форма характеризуется двумя числами в том смысле, что все квадратичные форьиы, .у которых эти пары чисел одинаковы, приводятся к одному и тому же каноническому виду. В качестве таких чисел можно взять положительный и отрицательный индексы или же ранг, который равен их сумме, и отрицательный индекс.
Часто вместе с рангом используют разность положительного и отрицательного индексов. Эта разность называется сигнатурой квадратичной формы. Условие положительной определенности квадратичной формы дает следующая теорема, называемая критерием С львестра. Теорема 5. Для положигпельной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтойье миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам Д11 " Дел <1З) > 0 (к = 1,...,п). Ды ".,Зьь Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы. Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы. примененные при доказательстве теоремы 1.
1'. Н е о б х о д и м о с т ь. Если квадратичная форма к положительно определена, то диагональные элементы ее матрицы в любом базисе удовлетворяют условию Д„= й(е,) > О, и, следовательно, при приведении матрицы к диагональногиу виду. особый случай не встретится. В основном случае к любой строке ьюжет быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу толы о расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменятся. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы. '2'. Достаточность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
