Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Найдите: а) матрицу этого отображения в стандартных базисах»упр. 1 8 1); б) базис в Кег А; в) базис в Нп А. 2. Какому условию должна удовлетворять матрица С разыеров 2 х 3 для того, чтобы отображение, определевное в упр. 1, было инъективным? Может ли оно быть сюръективным? 3. Пусть С - пространство функций, имеющих 1 непрерывных производных на отрезке |О, 1). Дифференцирование отображает С" в С»' '. Проверьте, что это — линейное отображение. Будет ли оно: а) инъектнвным; б) сюръективным? 4. Пусть А: .2» — » 2' и .М'= А( х'). Определим отобрал»ение А': .х' — » Ф' равенством А'»х) = А(х) Докажите, что: а) КегА' = КегА; б) ВЗА' = ВЗА: в) А' сюръектнвно.
б. Пусть 2' = х'»»Ь 2э и х = х| ж х|, х| е 2'», т. 6 .2' . Определим преобразования Р| и Р простра»»ства.х» формулами Р»(х) = х| и Р.(х) = = хэ»такие преобразования называются проектированиями). Докажите, что Р,жР»=Е, РР.=Р|Р»=0, Р,=Р, О=1,2), где 0 нулевое, а Е тождественное преобразования. 6. Докажите теорему 2, приводя матрицу линейного отобра|кения элементарными преобразонанинми строк и столбцов н виду »7). 7.
Пусть А линейное отображение Верно лн,что а) А».хн Г| 2»н) = А(2") П А».х»н); б) А(,2" Г|.2»н) С А».х»') Г1 А( У"')? 3 4. Задача о собственных векторах 1. Линейные преобразования. Линейное преобразование это отображение, которое отобрал|ает линейное пространство в то же самос пространство. В этом параграфе мы будем заниматьсн исключительно преобразованиями.
Все результаты об отображениях верны и для преобразований, но здесь должны быть сделаны существенные оговорки, касающиеся координатной записи преобразования. 94. Задача в войск~ванных векторах 779 Именно, для координатной записи отображения А: 2' -э.2' выбираются базисы в обоих пространствах К и хл. Если же пространст! ва К и .2' совпадают, естественно пользоваться одним и тем же базисом и для векторов, и для их образов. Поэтому вводится следующее Определение.
Матриией линейного преобразования А: К-э К в базисе е = у ез ... е„'й называется матрица, столбцы которой -- ко- ОрдниатпЫЕ СтОЛбцЫ ВЕКтОрОВ А(вз), ..., А(ва) В баЗИСЕ Е. В соответствии с этим определением формула (6) 93 для матрицы преобразования принимает вид А' = 5 'АЯ. Множество матриц А', получаемых из данной матрицы .4 по формуле (1), уяче, чем множество матриц, получаемых из той же матрицы .4 по формуле (6) 9 3 при несвязанных между собой матрицах Я и Р. В более узком множестве, вообще говоря, не найдется матрипы канонического вида (7) 9 3, и теорема 2 9 3 не верна для преобразований. Не следует думать, что это случайное обстоятельство, связанное с "неудачным" определением матрицы преобразования.
Матрица отображения задает это отобраячение, и потому все свойства отображения содержатся среди свойств его матрицы. Свойствами отображения являются те свойства его матрицы, которые инвариантны, т. е. не меняются при переходе к другой паре базисов, а остальные описывают как бы его расположение по отношению к базисам. Теорема 2 93 по существу означает, что единственным свойством отображения является его ранг. Линейные преобразования имеют больше свойств, чем линейные отображения. Это связано с тем, что образ вектора лежит в том же пространстве, и мы получаем возможность говорить о взаимном расположении вектора и его образа. Например, приобретают смысл вопросы о том, коллицеарен ли вектор своему образу, имеют ли ядро и множество значений ненулевое пересечение.
Для отображения .2к в другое пространство,2' эти вопросы лишены смысла. Естественно, что матрица преобразования должна иметь больше инвариантных свойств, чем матрица отображения, а это означает, что множество матриц, задающих преобразование в различных базисах, должно быль уже, чем соответствующее множество для отображения. 2. Умножение преобразований.
Линейные преобразования обладают той особенностью, что произведение определено для любых преобразований одного пространства. В частности, если А и В - . преобразовании пространства Ж то определены АВ и ВА. Эти произведения, вообще говоря, различны. Однако может случиться, что АВ = ВА. В этом случае говорят, что А и В перестановачны или намл~утируюгл. Произведение АА естественно обозначить А и определить целую 180 Гл. е1.
Линейные пространства положительную степень А по индукции соотношением Аь = АА~ Нулевой степенью преобразования по определению считают тождественное преобразование Е. Линейное преобразование В, представленное как линейная комбинация целых неотрицательных степеней преобразования А аоЕ+ а1А+ ... + аьА, называется многочленом от преобразования А или, точнее, значением многочлена р(1) = ао + а11+ ... + аь1ь па преобразовании А, и обозначается р(А). Нетрудно проверить, что любой многочлсн от А перестаповочен с А и что любые два многочлсна от А перестановочны. Отметим, что при нашем определении матрицы преобразования сохраняется все сказанное о связи алгебраических операций над отображениями с соответствующими операциями над их матрицами.
В частности, матрицей произведения ВА преобразований в базисе е будет произведение ВА их матриц, и для произвольного многочлепа р(А) матрицей в каком-либо базисе будет матрица р(А). 3. Инввриантные подпрострвнства. Рассмотрим линейное пространство К и его линейное преобразование А. Определение. Подпространство .У' С .2' называется инвариантным относительно А, если для каждого вектора х из .К' образ А(х) лежит в со', или, что то же, А( У') С К'.
П р и мер 1. Рассмотрим обычное геометрическое пространство и поворот А этого пространства на угол а вокруг заданной оси р. При повороте вектор переходит в вектор, и, следовательно, поворот порозкдает преобразование трехмерного векторного пространства. Очевидно, что это преобразование линейное. Векторы, лежащие па оси р, образуют одномерное инвариантное надпространство, так как для них А(л) = х. Векторы, перпендикулярные оси р, образуют двумерное инвариантное надпространство, так как вектор, перпендикулярный оси, после поворота останется ей перпендикулярным. П ример 2.
Нулевое надпространство инвариантно отоюсительно любого преобразования. Пример 3. Пространство,.У', рассматриваелюе как подпространство, является инвариантным относительно любого преобразованин. П р и м е р 4. Каждое надпространство является инвариантцым относительно тождественного и нулевого преобразований. П р и мер 5. Ядро преобразования и множество его значений являются его инвариантными подпространствами.
Пусть в и-мерном линейном пространстве Ьо задано линейное преобразование А, и пусть й-мерное подпрострацство К инвариантно от/ носительно А. Выберем в В' базис еы ..., е„так, чтобы векторы еы ..., еь лежали в К'. Матрица А преобразования А может быть 8Л. Задача о собственных век ~орах 181 разделена на четыре подматрицы, или, как говорят, клетки: А1 Аз Аз~ аз Клетки А1, Аьэ Аз и Ач имеют РазмеРы 1с х й, й х (Зь — к), (и — к) х й и 1п — 1с) х (н — 1) соответственно. Докажем, что Аз — — О, т, е, элементы сх' матрицы А равны нулю при 1 = 1, ..., к и 1 = к+ 1, ..., п.
Действительно, первые Й столбцов матрицы А координатные столбцы векторов А(е1),...,А(еь). Так как .х' инвариантное надпространство, эти векторы лежат в х", и их компоненты по базисным векторам еь,.1, ..., е„равны нулю. Легко видеть, что и, обратно, если в каком-либо базисе матрица линейного преобразования А имеет вид А= (2) то линейная оболочка векторов е1, ..., ех инвариантна относитольно А. В самом деле, в этом случае для всех 1 = 1, ..., 1; имеем 4(е ) = = сх~е1+ ...
+ о":еь, и потому образ линейной комбинации векторов е1, ..., еь есть линейная комбинация этих же векторов. Матрицы вида (2) называют клеточно-треугольными. Получено Предложение 1. Матрица линейного преобразования клеточно- треугольная тогда и только тогда, когда линейная оболочка базисных векторов е,, ..., еь инвариантное надпространство. Если мы поместим в инвариантное надпространство не первые й базисных векторов, а базисные векторы с номерами р+ 1, ...,р+ й при каком-то р, то повторением тех же рассуждений мы получим для элементов матрицы А равенства о' = О при 1' = р+ 1, ...,р+ к и 1 ( р+ 1 или 1 ) р+ Й. Это значит, что в столбцах с номерами р+1,...,р+й ыожет быть отлична от нуля только квадратная клетка порядка Й в строках с теми же номерами, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
