Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Действительно, предложение 2 2 1 гл. 1г по существу означает, что столбцы единичной матрицы порядка и образуют базис в этом пространстве, называемый стандартным базисом. Линейное пространство столбцов высоты и называют арифметическим и-мерным пространстволг. Пример 8. Линейное пространство функций от одной переменной 1, определенных и непрерывных на отрезке [О, 1]г является бесконечноы|ерным.
Чтобы это проверить, достаточно доказать, что при любом т в нем существует линейно независимая система из т векторов. Зададимся произвольным числом т. Векторы нашего пространства функции ! = 1,1,1, ...,1 ' г линейно независимы. Действительно, равенство нулю линейной комбинации этих векторов означает, что многочлен ос + ог1+ сгз! + ... + от — г! тождественно равен нулю. А это возможно только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.
В линейной алгебре изучаются конечномерные линейные пространства. Далее всюду, за исключением некоторых примеров, мы будем предполагать пространство конечномерным. В ненулевом конечномерном пространстве существует бесконечно много различных базисов. Это видно из следующих предложений. Предложение 9. В и-лгврном пространстве каждая уиорядоченнал линейно независимая система из и векторов есть базис.
Доказательство. Пусть хг, ...,х„-- такая система. Нам надо доказать, что произвольный вектор у раскладывается по ней. По предложению 8 система у, хг, ..., ха линейно зависима, и найдутся такие коэффициенты, что ыу + пгхг + ... + гто;сп = о, причем о ~ О, так как иначе система хг,, х„была бы линейно зависима.
Отсюда прямо следует доказываемое утверждение. Предложение 10. В гг;мерном пространстве каждую упорлдоченную линейно независимую систему из й < и векторов можно дополнить до базиса. Это вытекает из того, что к такой системе можно присоединить еще один вектор, который по ней не раскладывается. [Если бы это было не так, система сама была бы базисом.) После присоединения мы имеем такую же систему из й + 1 векторов и, если !с + 1 < по повторя- уй Осноенме понятия гез ем рассуждение. В конце концов мы получим п, линейно независимых векторов, в число которых входят заданные векторы. В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор. б.
Замена базиса. Если в и-мерном пространстве даны два базиса еы ..., е„и е'„..., е'„„то мы можем разложить каждый вектор второго базиса по первому базису: е',. = ~ ~азе (г =1,...,п). (1) з=| Компоненты о,' можно записать в виде квадратной матрицы 3 о, ... о„ „2 з 1 " н о" ... о." и Столбцы этой матрицы координатные столбцы векторов е1, ...,е'„, в базисе е. Поэтому столбцы линейно независимы, и с1еС 5 ф О. Определение. Матрицу, ~-й столбец которой есть координатный столбец вектора е,' в базисе е, мы назовем матрицей перехода от базиса е к базису е'.
Равенство (1) можно переписать в матричных обозначениях (( е ... е„)( = () е1 ... е„я 5, или е =е5. (2) Это легко проверить, перемножая матрицы. Из формулы (2) мы получаем е = е'5 ', откуда следует, что 5 ' --- матрица перехода от е' к е. Пусть в линейном пространстнс даны три базиса е, е' и е", причем е' = е5 и ен = е'Т. Подставляя е',мы получаем е = е5Т.
(3) Итак, при последовательной замене базисов матрицы перехода перемножаются, и последующие множители располагаются правее. Предложение 11. Пусть задан базис е. Каждая матрица 5 с дет 5 ~ О есть матрица перехода от е к некоторому базису е'. Действительно, при с1еь 5 ~ О столбцы 5 линейно независимы и являются координатными столбцами и линейно независимых векторов, которые и составляют базис е'. Выясним, как связаны компоненты одного и того же вектора х н двух разных базисах е и е'. Пусть х = е( и х = е'('. Подставим в последнее равенство выражение для е' по формуле (2) и получим х = еЯ'.
Итак, мы имеем разложение вектора х по базису е в двух видах,и в силу единственности координатного столбца получаем (4) ы* Гл. |Л. Линейные пространства |б4 Подробнее эту формулу можно переписать в виде Гд | ап а| | п и | "' и или, если выполнить умножение матриц, (б) в'.Г (| = 1, ...,и). з=| Для трехмерного пространства мы уже получили это в б 3 гл. 1. 6.
Ориентация пространства. Понятие ориентации прямой, плоскости и пространства в б4 гл. 1 основывалось на разделении всех базисов на два класса. Произведем это разделение для вещественных линейных пространств любой размерности. Фиксируем некоторый базис ео и обозначим через б' (ео) множество всех таких базисов е, что е = ео5, |1еб5 > О. Остальные базисы отнесем к классу б" (ео). Ясно, что для е' Е б' (ео) выполнено е' = еоТ, |1ет Т ( О. П РеДложение 12. Классы базисов 84(ев) и Л (ео) не зависат от выбора исходного базиса ео. Доказательство.
Рассмотрим базис Го, и пусть Го Е бь(ео), т. е. |ро = еоР, |1еьР > О. Для каждого базиса е е еп(Го) имеем е = ГоН, г1е| К > О и е = еоРБ, где |1|я Ро = |1е|Рдеб Б > О. Значит, е Е еГь(ео). Отсюда следует бл(Го) С б< (ео). Но ео с бн(Го), так как с(е1 Р | > О.
Поэтому, к|еняя местами Го и ео, мы получаем Ль(ео) С Кь(Го), и в результате в ь(Го) = |Гь(ео) Классы б' (Го) и 4' (ео) состоят из базисов, не вошедших соответственно в бь(Го) и |Гп(ео), и потому также совпадают. Итак, Рь(Го) = |з;-(ео), б'-(1о) = |Г (ео) Случай, когда Го е ей (ео), рассматривается аналогично. При этом оказывается, что б"ь(Го) = еГ (ео) и о' — (Го) = б'н(ео) Чтобы подчеркнуть независимость классон базисов от выбора исходного базиса, мы обозначим их просто б| и бг. О п р е д ел е н и е.
Вещественное линейное пространство называется ориентированныж, если из двух классон базисов |м и бз указан один. Базисы выбранного класса называются положительно ориентированныли. Задать ориентацию линейного пространства можно, выбрав некоторый базис и считая его (и все базисы одного с низ| класса) положительно ориентированным. уй Линейные падпроетранетеа Упражнения 1. Обозначим через Ео матрицу размеров т х и, у которой элемент на пересечении Вй строки плато столбца равен 1, а остальные элементы равны нулю. Убедитесь, что после упорялочивания эти тп, матриц образуют базис а линейном пространстве матриц размеров т х и. (Такой базис называется стандартным базисом ланвого пространства.) Каковы координаты матрицы .4 с элементами а„в стандартном базисе? 2.
Докажите, что верхние треугольвые матрицы поряяка и образуют линейное пространство по отношению а обычным операциям с матрицами. Найдите размерность этого пространства и какой-нибудь базис в нем. 3. В линейном пространстве многочленов степени < 3 от переменной С запалы лаа базиса: 1, и 1, Н и 1,1 — 1, Π— а), Π— а) . Найдите матрицу перехола от первого базиса по второму и с ее помощью разложение многочлена рО) по второму базису.
4. Как расположены друг относительно друга Лаа базиса еи ..., е„и гв ..., ~„, если матрица перехода от е к Г верхняя треугольная? Докажите из этих соображений, что обратнап к верхней треугольной матрице также верхняя треугольная. б. Кав ориентированы друг относительно друга лаа базиса, если: й = = е1 -Ь е ; 1 = е. ж еи Гз = ез ж еп 11 = еэ — ед! й 2.
Линейные надпространства 1. Определения и примеры. В обычном геометрическом пространстве сумма векторов, лежащих в некоторой плоскости, также лежит в этой плоскости, и умножение вектора на число не выводит его из плоскости, в которой он лежит. Теми я.е свойствами обладают векторы, лежащие на прямой линии. Для линейных пространств обобщением плоскости и прямой служат линейные надпространства. О и р е дел е н и е. Непустое подмножество .2'~ векторов линейного пространства .х' называется линейным подпространстаом, если; а) сумма любых векторов из 2' принадлежит 2'; б) произведение каждого вектора из хЫ на любое число также принадлежит 2'.
В силу этого определения любая линейная комбинации векторов из ее' принадлежит .2'. В частности, нулевой вектор как произведение Ох должен принадлежать х"', и Ллн каждого х из У' противоположный вектор — х = ( — 1)х лежит в,.х". Сложение и умножение на число, определенные в 2', будут такие ' ми же операциями в его подпространстве .х' . Справедливость аксиом линейного пространства для еХ' прямо вытекает из их справедливости лля 2'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
