Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1 Остается доказать необходимость условия. Пусть х решение. Присоединив его к Е, получим матрицу Г' = ~~ Е ~ х й. Эта матрица удовлетворяет условию АЕ* = О, так как каждый се столбец ращение. Значит, П8 Е" = и — г. По теореме Кронекера Капелли мы заключаем отсюда, что существует столбец с, удовлетворяющий системе Гс = х. Подматрица в последних и — г строках единичная. Поэтому ранг лгатрицы (8) равен числу столбцов, и столбцы линейно независимы.
Таким образом, мы получили Предложение 5. Если ранг латрицы однородной систелы линейнь1х уравнений г меньше числа неизвестных и, то система имеет фундаментальную ма прицу из и — т столбцов. Итак, система столбцов (8) фундаментальная система решений. Она называется норм льной фунд ментальной системой решений. Каждому выбору базисных столбцов соответствует своя нормальная фундаментальная система решений. Вообще же, каждан система из и — г линейно независимых решений нвляется фундаментальной. Для нахождения матрицы (8) можно принести матрицу А системы к упрощенному виду, что даст коэффициенты разложения небазисных столбцов по базисныл1. (Сы. задачу 3 3 3 и задачу 4 настоящего параграфа.) Пусть Е фундаментальная матрица системы .4х = о.
Рассмотрим произвольный столбец с высоты и, — г. Произведение Ес столбец высоты и, и из равенства .4Ес = о следует, что при любом с столбец Гс решение системы. Оказываетсн, имеет место Предложение б. Столбец х " решение системьь Ах= о тогда и только тогда, когда суилесгпвует такой столбец с, чтв х = Ес. (О) В 6. Системы линейных уравнений (общая теория) !55 4.
Общее решение системы линейных уравнений. Теперь мы можем собрать воедино наши результаты — предложения 2 и 6. Теорема 3. Если хо некоторое решение системы (1), а Е фундаментальная льатрица ее приведенной системы, то столбец х = хо+Ее (10) при любом с является решением системы (1). Наоборот, для каждого се решения х найдется такой столбец с, что оно будет представлено формулой (10). Выражение, стоящее в правой части формулы (10), называется общим решекиел~ системы линейных уравнений. Если Гы ...,Гн фундаментальная система решений, а сы ...,с„, - произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так: х = хо + вью + ...
+ с, „Гн (11) Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем. Если хо ." тривиальное решение, то (10) совпадает с (9). Теорема 1 5 б гласит, что для существования единственного решения системы из и линейных уравнений с и неизвестными достаточно, чтобы матрица системы имела детерминант, отличный от нуля.
Сейчас легко получить и необходимость этого условия. Предложение 7. Пусть А — матрица системы из и линейных уравнений с и неизвестными. Если де1А = О, то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно лного решений. Доказательство. Равенство с!егА = 0 означает, что ИВА < и и, следовательно, .приведенная система имеет бесконечно много решений. Если данная система совместна, то из теоремы 3 следует, что и она имеет бесконечно много решений. б. Пример. Рассмотрим уравнение плоскости как систему Ах+ Ву+ Сг+ Р = 0 (12) из одного уравнения. Пусть А у'= 0 и потому является базисным минором матрицы системы.
Ранг расширенной матрицы 1, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: у = г = О. В!ы получим х = — Р7А. Так как и = 3, г = 1, фундаментальная матрица имеет два столбца. Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: у = 1, г = 0 и у = О, г = 1. Соответствующие значения базисной неизвестной х, найденные из приведенной системы, будут — В/А и — С/А. Итак, общее решение системы (12) х -Р/Л -В/А -С1А у = 0 +сь 1 +аз 0 .
(13) 0 0 1 Выясним геометрический смысл полученного решения. Очевидно, прежде всего, что решение й — Р/А 0 О цт состоит из координат Гл. Г Матрицы и сиетелеы линейных уравнений некоторой (начальной) точки плоскости, или, что то же, из компонент ее радиус-вектора. В формуле (10) решение хо можно выбирать произвольно.
Это соответствует произволу выбора начальной точки плоскости. Согласно предложению 2 8 2 гл. 11 компоненты лежащих в ПЛОСКОСТИ ВЕКтОрОВ удОВЛЕтВОрНЮт ураВНЕНИЮ АОГ + Вове + ССЕЗ = О, т, е, приведенной системе. Два линейно независимых решения этой системы (фундаментальная система решений) могут быть приняты за направлнющие некторы плоскости. Таким образом, формула (13) не что иное, как параметрические уравнении плоскости.
Рекомендуем читателю рассмотреть систему уравнений двух пересекающихсн плоскостей и показать, что ее общее репюние представляет собой параметрические уравнения прямой. Упражнения 1. Система линейных уравнений с матрицей А совместна при любом столбце свободных членов тогда и только тогда, когда строки матрицы А линейно независимы. Докажите это: а) пользуясь теоремой Кронекера-Капелли; б) пользуясь теоремой Фредгольма. 2. Ланы векторы а и Ь, а ~ О.
При помощи теоремы Фредгольма докажите, что уравнение [а, х) = Ъ имеет решение тогда и только тогда, когда (а,Ь) = О. 3. Найдите фундаментальную матрицу длн системы с матрицей ~11 1 11~. 4. Пусть ц Е, ! В 'ц' — упрощенный вид матрицы однородной системы уравнений.
Найдите фундаментальную матрицу системы. 5. Пусть Г фундаментальная матрица системы линейных уравнений Ах = О и строки .4 линейно независимы. Какая будет фундаментальная матрица у системы: а) Гу = О; б) Г~з = О? 6. Напишите общее решение системы с расширенной матрицей 1 2 3 1 4 5 6 1 7 8 9 1 7. Пусть матрица Е размеров н х р фундаментальная матрица некоторой системы уравнений. Локажите, что Г' будет фундаментальной матрвцей той же системы тогда н тольке тогда, когда найдется невырежденвая матрица О порядка р, такая, что Е = Ес).
8. Рассматривается система из трех ураваений с двумя неизвестными. Убедитесь., что применение теоремы Фредгольма к этой системе равносильно такому (геометрически очевидному) утверя~дению: вектор Ь раскладывается оо векторам а| и а тогда и только тогда, когда он ортогоналеп каждому вектору у, ортогональному этим векторам. 9. Пусть строки матрицы Л линейно незанисимы, Š— соответствующая фундаментальная матрица, а матрица Р получена из Л приписыванием к ней снизу матрицы Ег. Докажите, что Р невырожлена. ГЛАВА Ъ'1 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА й 1. Основные понятия 1. Определение линейного пространства. В этой книге нага уже встречались множества, в которых были определены линейные операции: сложение и умножение на число.
В гл, 1 мы рассматривали множество векторов (направленных отрезков), которые гиы гиожем складывать и умножать на числа. В множестве матриц одинаковых размеров мы также ввели операцию сложения и операцию умножения на число. Свойства этих операций для матриц, выраженные предложением 1 З 1 гл. Ч, совпадают со свойствами тех же операций с векторами, сформулированными в предложении 1 з 1 гл. 1. В каждом множестве линейные операции определяются по-своему, но имеют одни и те же свойства: коммутативность и ассоциативность сложения, дистрибутивность умножения на число по отношению к сложению чисел и т.
д. Рассмотрим еще один пример. Пример 1. Пусть Ж'-- множество всех функций от одной переменной, определенных и непрерывных на отрезке [0,1). Любым двум функциям 1 и д из е' можно сопоставить их сумму, которая принадлежит аз Вещественному числу а и функции г сопоставляется функция о1 произведение функции на число, которое также принадлежит Ж Легко видеть, что основные свойства линейных операций те же, .что для векторов и для матриц, причем роль нуля играет функция, тождественно равная нулю.
Вспомним одну из важных задач математического анализа: по заданной функции 1(х) найти ее первообразную, т. е. такую функцию г (а), что Еи д) = 1(х). Общее решение этой задачи, как известно, таково; если существует хоть одна первообразная го, то любая из них может быть получена по формуле г (х) = Го1в) + С, где С произвольная постоянная. Заметим, что постоянная --- решение однородного уравнения Г'(х) = О.
Теперь очевидно, что эта формула сходна с общим решением системы линейных уравнений: общее решение есть сумма одного из решений и общего решения однородного уравнения. Сходство здесь, конечно, не случайное. Оно следует из совпадения алгебраических свойств операпий дифференцирования и матричного умножения по отношению к линейным операциям. Естественно возникает необходимость исследовать множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в котором определены шв Гл.
|1. Пинейные нростренстее операции сложения двух элементов и умножения элементе на число. Эти операции могут быть определены любым образом, лишь бы они обладали определенным набором свойств. О и р е д е л е н и е. Множество .х' называется линейныл| пространством, а его элементы — векторами, если; задан закон (оперения сложенил), по которому любым двум элел|ентам х и у из .х' сопоставляется элемент из .2', называемый их суммой и обозначаемый х+ у: задан закон (операция умножения не число), по которому элементу х из К и числу а сопоставляется элемент из У~', называемый произведением х на а и обозначаемый ах; для любых элементов х, у и з из,У и любых чисел а и |3 выполнены следующие требования (или аксиомы): 1)х+у=у+х: 2) (х + у) + с = х + (у + з): 3) существует элемент о такой, что для каждого х из .У выполнено х + о = х; 4) для любого х существует элемент — х такой, что х+ ( — х) = о; 5) а(х -Ь у) = ах+ ау: 6) (а+ В)х = ах+ Зх; 7) а(рх) = (аД)х; 8) произведение х на число 1 равно х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
