Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 30
Текст из файла (страница 30)
+ о, ~а.„, = о. Если бы среди коэффициентов этой линейной комбинации были отличные от нуля, то столбцы с номерами и, ...,у„1 были бы линейно зависимы. Это противоречило бы тому, что исходнан подматрица порядка п — 1 невырождена. Таким образом, все коэффициенты в (Ц равны нулю, и столбцы с номерами и, ...,у„му линейно независимы. Отсюда следует, что составленнан ими подматрица порядка г невырождена. Невырождена соответствующая подматрица и в непреобразованной матрице, так как элементарными преобразованиями мы превратили ее в невырожденную матрицу.
Это заканчинает доказательство. О и р е д ел е н и е. В матрице А размеров т х и, подматрица порядка т называется базисной, если она невырождона, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены. Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисиими столбцами и строками А. В силу предложения 1 базисные столбцы и строки линейно независимы.
Определение. Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырождснные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем. Отметим два очевидных свойства ранга. ° Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при трапспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные - вырожденными. ° Если А' -- подматрица матрицы А, то ранг А' не превосходит ранга А, так как любая невырожденная подматрица, входящая в А', входит и в А.
2. Основные теоремы. Из предложения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы: Теорема 1. Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и вв столбцовому рангу. Действительно, если строчный ранг А равен г, то в А найдется линейно независимая система из г строк, а значит, и невыро)пленная 134 Гл. Г Матрицы и системы линейцьн уравнений подматрица порядка г.
Если при этом есть р > г различных строк А, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка р в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу Ат, значит, и рангу .41, а потому рангу А. Таким образом, мы видим, что все три определения на самом деле определяют одно и то же число, и впредь не будем их различать.
Будем говорить ранг матрицы и обозначать его ВКА. Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово "минор" означает "детерминант подматрицы". В частности, базисный минор это детерминант базисной подматрицы. О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы. Теорема 2.
Каждь1й столбец л1атрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов. Доказательство. Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять его самого с коэффициентом 1, а остальные с нулевыми коэффициентами. Пусть теперь аз не базисный столбец. Базисные столбцы обозначим через а„, ..., а,„. По теореме о ранге матрицы любые г + 1 столбцов линейно зависимы, и найдутся такие коэффициенты, что о1аи+...+о„а,;„+оа =о. При этом мы можем быть уверены, что о у': О, так как иначе это равенство означало бы линейную зависимость базисных столбцов.
Деля на о, мы получаем нужное нам разложение а, = — О Озап — ... — О О„аг„. Следствие. Каждая строка матрицы раскладь1вается пв ее базискь1м строкам. 3. Ранг произведения матриц. Согласно предложениям 6 и 7 ~ 2 элементарные преобразования не меннют столбцового ранга. Таким образом, справедливо П ред поженив 2. Ранг лсатрицы ке меняется при злемвнгпаркых преобразованиях. Отсюда и из предложения 9 ~ 2 прямо следует Предло'кение 3. Если матрица А кввырождека и определены произведения АВ и СА, тв В АВ = 11КВ и ВкСА = ИяС.
В общем случае имеет место Предлога ение 4. Ранг произведения двух л1атриц не превосходит рангов сомножителей. Д о к а за т ел ь от во. Пусть определено произведение.4В. Рассмотрим лзатрицу Вц составленную из всех столбцов матриц А и АВ. Так как АВ - — подматрица, ВКАВ < ПКВ.
уЗ. Ранг матрицы По предложению 1 ~ 2 столбцы АВ линейные комбинации столбцов А. Легко видеть, что приписывание к матрице линейной комбинации ее столбцов не меняет ранга матрицы. Действительно, не меняя ранга, элементарными преобразованиями столбцов мы можем обратить приписанный столбец в нулевой, а добавление нулевого столбца не создает попых неиырожденных подматриц. Отсюда следует, что Влй = ПКА. Итак, В8АВ ( В8А. Аналогично доказывается, что П8 АВ < В8В. Для этого надо составить матрицу В' из всех строк матриц В и АВ. 4. Нахождение ранга матрицы. Введем Определение. Матрица размероит, х и назынается упрощенной (или имеет упрощенный видЬ если некоторые г ее столбцов являются первыми г столбцами единичной матрицы порядка ги и, и случае т > > г, ее последние т — г строк нулеаые. Предложение 5.
Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк ложно превратить в упрощенную лая~риду. Д о к а з а т ел ь с т во. Если матрица нулевая, то она уже упрощенная (г = 0). В общем случае применим метод Гаусса. В предложении 8 З 2 мы превратили квадратную непырожденпую матрицу элементарными преобразованиями строк и единичную матрицу. Это частный случай доказываемого предложения. То обстоятельство, что матрица неяырождена, использовалось, когда мы в очередной строке преобразованной матрицы находили ненулевой элемент.
В общем случае ненулевой элемент может не найтись, т. е. очередная строка окажется нуленой. Все встречающиеся нулевые строки будем перестанлять на последние места и будем продолжать преобразования так,как при доказательстве предложения 8 з 2. Преобразонания закончатся, когда либо буду т исчерпаны все строки, либо останутся только нулевые строки.
При этом не существенно, квадратная матрица или нет. Конечно, может случиться, что некоторые столбцы не будут превращены и столбцы единичной матрицы, но это нам и не требуется. Пусть всего в столбцы единичной матрицы преобразовано г столбцов. Если остались строки ниже г-й, они нулевые, иначе преобразования можно продолжить. Предложение доказано. Пусть мы привели матрицу А к упрощенному виду, и в упрощенной матрице А', столбцы а„, ...,а, О1 « ... 1,) превращены е столбцы единичной матрипы езы ..., е,, Можно считать, что а, — ~ еь для всех Й = 1,...,г.
Это достигается перестановкой строк. Рассмотрим упрощенную матрицу А'. В ней есть неаырожденная подматрица порядка г, а невырожденных подматриц большего порядка, очевидно, нет. Следовательно, ранг матрицы равен г, а подматрица базисная. Из этого следует, что П8 А = г, так как ранг не изменился при элементарных преооразованиях.
За базисную подматрицу и А можно Гл. Г Матрицы и системы линейлъи уравнений принять подматрицу, расположенную в столбцах с нолчерами эы ..., 1„ и строках, которые после перестановок попали на места 1, ..., т в упрощенной матрице. Это видно из того, что, преобразуя матрицу, мы не прибавляли к пересекающим ое строкам никаких строк, которые ее не пересекают.
Таким образом, если мы не знали ранга матрицы и ее базисной подматрицы, то приведи ее к упрощенному виду, мы их определим. С другой стороны, имеет место Предложение 6. Какова бы ни была баэиснал подматрица матрицы А, элементарными преобразованиями строк люжно привести А к такому упрощенному виду, в котором базисные столбцы будут первыл~и столбцами единичной матрицы. Действительно., небазисные строки молкно обратить в нулевые, вычитан из них подходящие линейные комбинации базисных. После этого можно превратить базисную подматрицу в единичную так, как это было сделано в предложении 8 22. (Элементарные преобразовании производятся, конечно, над полными строками.) Упралгяеиия 1 2 3 1. Дана матрица А = 4 5 6 7 8 9 а) Найдите ее ранг и какую-либо базисную подматрицу.
б) Найдите коэффициенты разложения небазисной строки по базисным строкам и небазисного столбца по базисным столбцам. в) Прибавьте в матрице вторую строку к первой и убедитесь, что линейная зависимость между столбцами осталась прежней. г) Сколько всего базисных подматрвц в этой матрице'? 2. Квадратная матрица порялка п имеет нулевую подматрицу порндка я — 1. Оцените ранг матрицы. 3. Пусть А матрица с элементами ао, 1=1, ...,т; 1=1, ...,и и НКА= = 1. Докажите, что найдутся числа ап ..., о,„и дп ..., д„, не все равные нУлю, такие, что ао = о,??ч длн всех 1 и 71 4. В матрице ранга г отмечены г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
