Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 25
Текст из файла (страница 25)
как и 1, а аффипное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежаших на одной прямой. Поэтому гйр совпадает с 1. 43. Аффиккые преобразования ь11 Итак, перенедем А и А" параллельным переносом р на вектор АА* (если А = А', то р .- тождественное преобразование). Затем поворотом ц вокруг точки А* совместим р(В) с В* (возможно, и это преобразование окажется тождественным).
Точка ц(р(СИ либо совпадает с С', либо симметрична ей относительно прямой А'В'. В первом случае цель уже достигнута., а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана. Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно. Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрий, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и т. д. 11ы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следуюшее обшее свойство всех таких разлогкений.
Предложение 5. 11ри любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных перекосов, поворотов и осевых симметрий четкость числа осевых сил метрий, входящих в разложение, одна и та же. Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от е~ к ег) при осуществляемых преобразованиях.
Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий.
Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входяших в разложение, может быть только четным. Определение. Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные ортогопальными преобразованиями второго рода. Ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами (1) ~ 2. При верхних знаках коэффициентов у у в этих формулах детерминант, составленный из коэффициентов, равен ~ 1, а при нижних знаках оп равен 1.
Отсюда и из формулы (4) следует П р ед л о ж е н и е 6. Ортогональное преобразование первого рода записывается в декартовой прямоугольной системе координат формйлалги (Ц ~2 с верхними знаками у коэффициентов при у, а ортогональное преобразование второго рода с нижними знаками. 5. Разложение аффннного преобразования. Мы видели, насколько аффинпое преобразование может изменить плоскость; окружность может перейти в эллипс, правильный треугольник — в совершенно произвольный. Казалось бы, никакие углы при этом сохраниться не могут.
Однако имеет место следуюшее. 112 Гл. 1Г Преобразованип плоскости Предложение 7. Для каждого аффинного преобразования существуют две взаимно перпендикуллрные прямые, которые переходят во взаимно перпендикулярные прямые. Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность. Прн данном аффипном преобразовании она перейдет в эллипс.
Каждая ось эллипса множество середин хорд, параллельных другой оси. При аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, параллельность должна сохраниться, а середина отрезка переходит в середину его образа. Поэтому прообразы осей эллипса отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярнын1и диаметрами окружности. Это то, что пам требовалось; существуьот два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки оси эллипса. Стоит отметить один особый случай: окружность при аффинном преобразовании может перейти в окружность. В этом случае то же рассуждение проходит с любыми двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности-образа.
Очевидно, что при этом любые два взаимно перпендикулярных направления остаются перпендикулярными. О п р е д с л е н и е. Два взаимно перпендикулярных направления называются главными или синугулярными направлениями аффинного преобразования 1, если они переходят во взаимно перпендикулярные направления. Теорема 2. Каждое аффинное преобразование раскладывается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к двум взаимно перпендикулярным пряльым. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Рассмотрим аффинное преобразование 1 и выберем равнобедренный прямоугольный треугольник .4ВС так, чтобы его катеты .4В и АС были направлены вдоль главных направлений преобразования 1.
Обозначим через .4*, В* и С' образы его вершин. Сделаем такое ортогональное преобразование я, при котором 8(А) = А"., а точки 8(В) и 8(С) лежат соответственно па лучах А'В* и А'С'. (Этого легко добиться, ьак и в теореме 1, параллельным переносом, поворотом и осевой симметрией.) Пусть Л = )А*В*ДА*8(В) (, а р = (А'С*)/(А'8(С) (. Тогда сжатие р, к прямой А*С' в отношении Л переведет 8(В) в р1(8(В)) = В* и не сдвинет точек А* и 8~С). Аналогично, сжатие рз к прямой А*В' переведет 8(С) в рг(8(С)) = С* и не сдвинет точек прямой А'В'. Это означает, что произведение ргр1я переводит точки .4, В и С в точки А', В* и С* так же, как и заданное нам преобразование 1. Согласно предложению 8 22 имеем р. р,а = 1, как и требовалось.
ге. Аффинные преобразования Упражнения 1. Найдите площадь треугольника, если его стороны лежат на прнмых с уравнениями х — у "; 1 = О, х -г- у — 1 = О и 2х -г- р = 2 в декартовой прямоугольной системе координат. 2. Пусть при аффинном преобразовааии точки .4, В и С перешли в точки А*, В* и С*, Докажите, что точка пересечения медиан ЛАВС перейдет в точку пересечения медиан ЬА*В*С'.
3. Будем говорить, что аффинное преобразование растягивает вектор а в а раз, если ~а*( = о(а~. Для преобразовавия, заданного в декартовой прямоугольной системе координат формулами х* = 4х+ 711, р' = 8х+ у, найдите векторы, длл которых растяжение: а) максимально; б) минимально. 4. Пусть прямая касается линии второго порядка. Докажите, что при произвольном аффинаом преобразовании образ прямой касается образа линии. 5. Докажите, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях симметрии. 6.
Представьте как произнедение двух осевых симметрий: а) параллельный перенос на вектор а: бг поворот на угол гр вокруг тачки О. Т. Представьте сжатие к оси абсцисс декартовой прямоугольной системы координат как произведение сжатии к другой прямой и параллельного переноса на а(О,о1. 8 Д.В. Беклемишев ГДАВА 1 МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. Матрицы 1. Определение. Мы будем называть матрицвй размеров т х и совокупность тп чисел, расположенных в виде таблицы из т строк и и столбцов: 1 1 а1 аг ...
а а2 а2 аг 1 2 "' в ат ат ат 1 2 "' и Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элелгентами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк ее порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных. Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел 1 = (1, 2, ..., п111 и,1 = (1, 2, ..., ну, Через 1 х 1 обозначим множество всех пар вида (1,1), гпе 1 Е 1, а 1 Е .1. Матрицей называется числовая функция на 1 х,1, т. е.
закон, сопостанляющий каждой паре (1,Я некоторое число а'. Длн читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица — - это в точности то же, что и двумерный массив. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элемевты, столщие на одинаковых местах. Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из них обозначает номер строки, а второй - номер столбца; если один из индексов расположен сверху,как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки. Не следует путать верхние индексы с показателями степени.
Матрицу размеров 1 х 112 состоящую из одной строки, мы будем называть строкой длины и или просто строкой. Матрицу размеров т х 1 называют столбцом высоты ти или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами. Часто бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк 51. Матрицы 115 или как строку из столбцов.
Пусть а, 1 аз 1 1 з а1 1 аи г ап ав = а! —— аз ив' 1 а ° т в Тогда написанную в начале матрицу можно записать в виде )( а! а ... а„ Аналогично, если а! = ((а~ ... а1, )(, ..., а'" = ()а~ ... а,'," )), то та же матрица записывается в виде а' Рассмотрим матрицу А размеров >п х и и выберем ьакие-нибудь ! номеров строк !1,...,1„и в номеров столбцов 11, ..., !'„причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возраста- ниЯ: !! < !г « ... 1„и У! < 1г « ... У„..'11атРицУ А РазмеРов г х в, составленную из элементов А, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, мы назовем подл!отрицай матрицы А. Итак, и г! .! ~,7 !' 2 а' ... а" аы а!г ам азг а! и аз в а,т от а ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
