Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Не приводя уэоэвнение к каноническому виду, найдите центр н асимптоты гиперболы Зх -~- 10ху -~- Зу — 2х -~- 2у — 9 = О. Если линия центральная, то векторы р и с1 не коллинеарны, и условие компланарности (24) равносильно существованию разложения (23), т. е. существованию решения системы (22). Рды получили Предложение 7. Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда зл = О. Итак, сочетание б < О, зл = О характеризует пары пересекающихся прямых, а б > О, Ь = О пары мнимых пересекающихся прямых.
Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда н только тогда, когда 73 = О. В этом (и только этом) случае векторы р и с1 коллинеарны. Действительно, так как б = О, по предложению 9 З 2 гл. П, если система уравнений (13) имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда Ь = О независимо от г. Обратно, пусть для нецентральной линии зл = О. Докажем, что р и с1 коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра.
Действительно, в противном случае г по ним раскладывается, и согласно (23) существует особая точка. Она центр, р и с1 коллинеарны, н мы получаем противоречие. Предложение 8. Для нецентральных линий условие сь = О равносильно существованию центра, Итак, сочетание б = сь = О характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).
Из предложений 7 и 8 следует, что равенство сх = О является инвариантным: оно не мозкет измениться при переходе к другой системе координат. Хль 1П. Линии и поверхности второго порядки 88 5. Нс приводя уравнение к каноническому виду, укажите класс ливии Зх Ч- 10ху -Ь Зу — 2х -Ь 2у — 1 = О. 6. Как разложить на множители левую часть уравнения из упр.
б? 7. Напишите уравнение касательной к линии х — 2хуп- Зу = 3 в точке Мв(0, 1). З 4. Поверхности второго порядка Подобно тому как в З 2 были описаны все наиболее интересные линии второго порядка, в настоящем параграфе мы опишем важнейшие понерхности второго порядка, а полную классификацию таких поверхностей отложим до гл. Ъ'|П. Составить себе общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
1. Поверхности вращения. Поверхность Я называется поверхностью вращения с осью гХ, если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой Н и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой. В основе этого определения лежит следующее представление. Рассмотрим линию А, которая лежит в плоскости Р, проходящей через ось вращения г( (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вел линия . — поверхность вращения. Выберем начало декартовой прямоугольной систеьчы координат О,еы ег,ез на оси г(.
вектор ез направим вдоль г(, а вектор ег поместим в плоскости Р. Таким образом, О,еыез декартова система координат в плоскости Р. Пусть линия Х, имеет в этой системе координат уравнение Д(х,х) = О. Рассмотрим точку ЛХ(х, у, х). '!ерез нее проходит окружность, которая имеет центр на оси г( и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности ранен расстоянию от ЛХ до оси, т.
е. ьгхз х+ Уг. Точка ЛХ лежит на повеРхности вРашенип тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Лум принадлежащая вращаемой линии Х. Точка ЛХг(хы уы г1) лежит в плоскости Р, и потому у1 — — О. Кроме того, х1 = х и ~х1~ = ьгхг + уз, так как ЛХг лежит на той же окружности, что и ЛХ. Координаты точки ЛХг удовлетворяют уравнению линии Х,: Д(хмхг) = О. Подставляя в это уравнение хг и гы мы получаем условие на координаты точки ЛХ, необходимое и достаточное 44.
Поверхности вжсрсгс пврпдпв 89 для того, чтобы ЛХ лежала на поверхности вращения Я: равенство )'(ж ГХ9+ рт,з) — О (» должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде 1 ( уг'хз + уз, х) 1 ( — ЪГР+ Ч2, х) = О., (2) и является уравнением поверхности вращения линии А вокруг оси И. 2. Эллипсоид. Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии.
Напранив век- ез е| е, Рис. 44. Сжатый (а) и вытянутый ГВ) эллипссипы враыения тор ез сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах: х я я х — „+ — „=1, — „-~- —, =1. ае се ' ае се (Здесь через с обозначена малая полуось эллипса.) В силу форму- лы 1» уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут е 2 Поверхности с такими уравнениями называются соответстненно сжатым и вытянутым зллипсвидами вращения (рис. 44). Каждую точку Мрх, у, х) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости р = О так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении Л < < 1.
После сдвига точка попадет в положение ЛХ'Гх', у', х'), где х' = з:, р' = Лр, Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением е1 Рис. 45 аз Ье с' (4) где 6 = Ла. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение 14), называется эллипсоидом 1рис. 45). Если Гл. 111. Линии и поверхности второго порядки 90 случайно окажется, что о = с, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность.
Из уравнения (4) видно, что начало канонической системы координат центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости -.. его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы хх + уз + хз = аз сжатиями к плоскостям у = О и х = О в отношениях Л = б/а и р = с/а. В этом параграфе нам часто придется прибегать к сжатию, и мы нс будем его каждый раз описывать столь подробно.
3. Конус второго порядка. Рассмотрим на плоскости Р пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат О, ез, ез уравнением азт, — сзхх = О. Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение аз(х + у ) — с г = О (6) и носит название прямого кругового конуса (рис. 46). Сжатие к плоскости у = О переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением азх +у~у — с гз =О (6) называемую конусом второго порядка. Обратите внимание на то, что левая часть уравнения (6) однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного в ~ 1 гл.
11. 4. Одиополостный гиперболоид. Однопалостный гиперболоид вращения это поверхность вращения гиперболы —,— —,, =1 аз сг вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле (1) мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 47) — —,=1. (7) В результате сжатия однополостного гиРис. 47 перболоида вращения к плоскости у = О мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением —, + —, — —, = 1.
х у х , г г (8) аз Ьз сг Интересное свойство однополостного гиперболоида наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, все- ХХ. Поверхности второго порлдка 91 ми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две пряхлолинейные образую- щие, уравнения которых можно получить следующим образом. Уравнение (8) можно переписать в виде (-: с)(-:--:) =("~)('-~) Рассмотрим прямую линию с уравнениями д(-'+ -') = Л(1+ —,"), Л(-х — -') = р(1 — -"„), где Л и р — некоторые числа 1Лг + слг ~ 0).
Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравне- нию 18), которое получается их почлепным перемножением. Поэтому каковы бы ни были Л и р, прямая с уравнениями (9) лежит на од- нополостном гиперболоиде. Таким образом, система (9) определнет семейство прямолинейных образующих. Второе семейство прямолинейных образующих определяетсн сис- (10) Л'(-* — -') = р'(1+ -",). Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность хз + у- — хл = = 1 и точку ЛХо(1,1,1) на ней. Подставлня координаты луХо в урав- нения 19), мы получаем условия на Л и ри 2Л = 2р и 0 Л = 0 .лл.
Первое из них определяет Л и лл с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны. Подставляя эти значе- ния в (9), получаем уравнения прямолинейной образующей х+г=1+у, х †с=1 в. Она проходит через ЛХо, так как Л и гл так и выбирались, чтобы ко- ординаты ЛХо удовлетворяли этой системе.
Аналоглично, подставляя координаты Мо в (10), находим условия на Л' и ллй 2лл' = 0 и 2р' = О. Коэффициент Л' можно взнть любым ненулевым, и мы приходим и уравнению второй образующей: х = г, у = 1. Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимлтотическим конусом гиперболоида вращения.
При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус об- щего однопсцюстного гиперболоида. 5. Двуполостный гиперболоид. л1вуполостный гиперболоид вра- щения — это поверхность, получаеман вращением гиперболы —,— —,=1 ег аг Рл. Пй Линии и поверхности второго порядки 92 вокруг той оси, которан ее пересекает. По формуле (1) мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения — — =1 (11) В результате сжатия этой поверхности к плоскости р = О получается поверхность с уравнением х н (12) с.
а~ Ьв Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоутольной системе координат имеет уравнение вида (12), называется двуполостным гиперболоидом (рис. 48). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуй„, 4в ют две не связанные мегкду собой части (" полости" ) поверхности, в то время как при построении одно- полостного гиперболоида вращения каждая ветнь гиперболы описывала всю поверхность. Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного. б. Эллиптический параболоид. Вращая параболу хг = 2рг но- крут ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравненном х +уз = 2рг. (13) Она называется лараболоидом вращения. Сжатио к плоскости у = О переводит параболоид нращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду — ',+ —,=2 аг Ьо Поверхность, которая имеет такое уравнение в Рнс.49 НЕКОтОрОй дЕКартОВОЙ ПряМОуГОЛЬНОй СИСТЕМЕ КООрдинат, называется эллиптическим параболоидом (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
