Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Линии второго порядка, имеюшие единственный центр, называются центральными. 8,3. Линия второго порядка, заданная ов|цил уравнением 83 Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов. Условие б = О характеризует нецентральные линии. Это линии параболического типа. При условии б = О система (13) либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (предложение 9 82 гл. П). Это значит, что нецентральная линии либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых.
вещественных и ынимых, и пары совпавших прямых). Предложение 2. Если линия второго порядка не является пустым множествол| и имеет центр 0(хо,уо), то он ве центр симметрии. В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии ЛХ(х,д) и докажем, что симметричная ей относительно 0 точка ЛХ|(х|, у|) также лежит на линии. Точка ЛХ| определяетсн равенством ОЛХ| = — ОЛХ. Если (сх,|3) координаты вектора ОЛХ, то х = хо+ о, д = до+ г3, а х| = хо — еч у| — — уо — Д. Теперь ясно, что в силу (11) из Ф(х,у) = О следует Ф(х|, у|) = О. Предложение доказано. Предложение 3.
Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр силмегприи 0(хо, уо), то 0 является центром. Доказательство. Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через О, приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности: 1) Точка 0 лежит на линии. Пусть прямая имеет неаснмптотическое направление.
Тогда 0 "- единственная точка пересечения, так как иначо с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение (4) имеет кратный корень 1 = О, откуда вытекает |1 = О. Итак, координаты точки 0 удовлетворяют равенству (12) при любых о и (3, соответствующих неасин|птотическим направлениям. Выберем два различных неасимптотических направления (о, (3) и (сл', |3') и рассмотрим равенства (Ахо + Вдо + Р) с| + (В*о + Сдо + Е) |3 = О: (Лхо + Вуо + Р) сг' + (Вхо + Сдо + Е)(3' = О как систему уравнений с коэффициентами сг, (3, о', Д', причем (сгг3'— — о'г3 ~ О).
Л1ы получаем равенства (13), как и требовалось. 2) Точка О не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке зуХ, которой соответствует значение параметра 1| ф О, то существует симметричная точка пересечения со значением параыетра — 1|. Тогда Р1| + 2Х31| + Л = О и РХ| — 2ХУ1| + В = О, откуда следует ьб = О. Такик| образом, если линия имеет точки поресечения с двумя различными прямыми, проходящими через О, то, как и выше, ьлы можсьл получить равенства (13) для координат О. Докажем, что такие прямые обнзательно найдутся. Действительно, в противном случае все Га. 1П. Линии и поверхности второго порядка точки линии лежат на одной прямой.
Согласно теореме 1 3 1 линии только двух классов обладают этим свойством; пары совпавших прямых и пары мнимых пересекаюшихся прямых. Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что противоречит сделанному предположению. Предложение доказано. 5. Сопряженные направления. Направление (о',,д'), определяемое диаметром, сопряженным направлению (о, В), называется сопряженным направлению (о, 13). Компоненты (о'„3'), направляюшего вектора диаметра (10) согласно предложению 6 3 2 гл. 11 удовлетворяют условию (Ао + ВВ)о' + (Во + СД(3' = 0 (15) или Аоо' + В(осВ + сей + С(3(3' = 0 (16) В последнее выражение пары чисел (о,(3) и (о',13') входят симметричным образом.
Поэтому имеет место П р е д л о ж е н и е 4. Если направление. (о', Д'), сопряженное с (о, 13), Рис. 41 Рис. 42. Сопряженные направления у параболы не является асимптотическилц то сопряженпыль для (о',,3') будет направление (о,13) (рис. 41). Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное ьакому-нибудь направленииэ (о,Д) может оказаться асимптотнческим.
Это легко выяснить. Из равенства (15) следует, что в качестве о' и (3' можно выбрать соответственно — (Во+ С13) н (Ао+ +Вд). Подставим это в уравнение (9) для асимптотичсских направлений: А(Во ж СЗ)з — 2В(Во+ СВ)(.4о '- ВВ) '- + С(Ао + В13) г = О. После преобразований получаем (АС вЂ” Вз) х х(Аог + 2Во13+ Сс3а) = О. Поскольку исходное направление це асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя.
Мы получаем Предложение 5. Если линия нв центр лысая (б = 0), то для любого направления (о, д) сопряженное направление асимптпотичвсков (рис. 42). Если линия цеятральяия (б ф 0), то ГХ Линия второго порлдка, заданная общим уравнением направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое. 6. Главные направления. Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии. Введем следующее Определение. Направление (сг, 3) и направление (сг',З') сопрязкецного ему диаметра называютсл главными напранлениями, если они перпендикулярны. Если систегиа координат декартова прнмоугольная, то для главного направления компоненты (сг,)З) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнепил (10), т.
е. должно существовать такое Ао+ ВЗ = Ло, Вгг+ СЗ = ЛЗ. (17) Исклкзчая Л., мы получаем уравнение для о и,З: (А — С)оЗ+ В(Зг — ог) = О. (18) Если положить о = саад, З = э1п х, то уравнение (18) превратитсн в уравнение (2) Э 1, которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно ~р. Поэтому имеет место Предложение 6. Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений. Более подробное исследование уравнения (18) показывает, что либо эта пара единственнан, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной.
Последний случай имеет место, когда А = С, В = О. При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: хг + уг = аг, хг -Ь уг = — а или хз -Ь уг = О. В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла. 7. Касательная к линии второго порядка. Как известно, касательной к какой-либо линии называетсн предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением (1). Дадим предварительно следующее Определение. Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии. Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекаюшихсл прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждал точка пары совпавших прямых.
В особой точке касательная нс определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболаьь Рассмотрим точку ЛХо(хе, уе), лежащую на линии Е, и прязиую с начальной точкой ЛХо, заданную уравнением (2). С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что урав- Гя. ХП. Линии и поверхности второго порядка 88 пение (4), определяющее точки пересеченин Е и примой, имеет два совпадающих корня. Так как начальная точка принадлежит Х, н ураннении (4) В = О, и один из его корней равен нулю.
Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, длн чего необходимо, чтобы Я = О. Если при этом окажется, что и Р = О, то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень 1 = 0 в том и только том случае, когда 0 = О. Мы рассматриваем равенство Я = 0 как условие, определяющее направляющий вектор касательной: (Ато + Вдо + Р) сг + (Вхо + Сдо + Е)ХХ = 0 (10) Так как ЛХо не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие (19) определяет сх и В с точностью до общего множителя.
Точка Л1(х, д) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор ЛХо11Х коллинеарен а(сх,,о), т. е. его координаты х — хо и д — до удовлетворяют тому же условию, что и (об Д): (Ахо + Вдо + Р) (х — хо) + (Вхо + Сдо + Е)(д — до) = 0 (20) Это и есть уравнение касательной к линии Ь в точке ЛХо, лежащей на линии.
Уравнение (20) можно записать и иначе, если заметить, что координаты ЛХо удовлетворяют уравнению (1) и, следовательно, (Ахо+ Вдо+ Р)хо + (Вхо+ Сдо+ Е)до+ Рхо+ Еда + Е = О. Прибавляя это равенство к (20) и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение -4тхо+В(хдо+ ход) +Сддо+ Р(х+ то) + Е(д+до) + Г = 0 (21) 8. Особые точки. Напомним, что особая точка линии второго порядка это ее центр, лежащий на линии.
Исследуем, при каких условиях линии второго порядка имеет особую точку. Для координат (хо, до) особой точки должны быть справедливы равенства Ахо+ Вдо+ Р = О, Вто+ Сдо+ Е = 0 Ахо + 2Входо + Сдоо + 2Рхо + 2Еуо + Х = О. Умногким первое из них на хо, второе на до и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему ураннений Ахо + Вдо+ Р = О, Вхо + Сдо + Е = 0 (22) Рхо+ Еде + Е = О. Выбором какой-нибудь базис в пространстве и рассмотриги вспомогательные векторы р(А, В,Р), с1(В, С, Е) и г(Р, Е, Е). Равенства (22) представляют собой координатную запись векторного равенства хор + доЧ = (23) 8Х Линия второго порядка, заданная общим уравнением 87 Отсюда следует, что при наличии компланарны, и потому А В сэ= В С Р Е особой точки векторы р, з1 и г Р Е =О.
Е (24) Унрангненин 1. Линия второго порядка описана около параллелограмма, если его вершины лезкат ва линии, а остальные точки на ней ае лежат. Докажите, что такая линия обязательно центральная,и центр ее совпадает с центром параллелограмма. 2. На плоскости нарисованы эллипс, гипербола и парабола. Как с помощью циркуля н линейки построить их осн симметрии н аснмптоты гиперболы? 3. Докажите„что сумма квадратов длна хорд, лежащих на сопряженных диаметрах эллипса, постоянна. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
