Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Беклемишев 98 Гл. ЕУл. Преобразования плоокощпи Пусть дано преобразование Е плоскости Р. Каждой точке А из Р оно сопоставляет ее образ Е(А). Теперь попробуем, наоборот, точке Е(А) сопоставить точку А. Такое соответствие удовлетворяет определению преобразования в том и только том случае, когда каждая точка плоскости является образом некоторой точки, и притом только одной. Это равносильно взаимной однозначности Е. Определение.
Обратнылг преобразованием для взаимно однозначного п1зеобразования Е плоскости Р мы назовем такое преобразование Е, что Е ~(Е(А)) = А для каждой точки А плоскости Р. Очевидно, что определение обратного преобразования равносильно соотношению Е Е = е, где е тождественное преобразование. Совпадающие точки должны иметь совпадающие образы, поэтому Е(Е ~(Е(А))) = Е(А) или Е(Е ~(В)) = В для любой точки В па плоскости. Это может быть записано как Е ' = е.
Отсюда, в частности, следует, что преобразование Е имеет обратное Еи потому взаимно однозначно), и этим обратным является Е. Предложение Е Пусть преобразования Е и я плоскости Р взаимно однозначны. Тогда их произведение Ея взаимно однозначно, иЕЕя) '=я Ч '. Действительно, по условию существуют Е и я '. Поэтому определена произведение (Еб)(й Ч ). В силу ассоциативности умножения преобразований его можно записать как Е(бй ')Р 1. По определению обратного преобразования это равно ЕеЕ ' = ЕЕ ' = е. Этим доказано, что Ея имеет обратное преобразование нужного вида. Но существование обратного преобразования для преобразования Ел равносильно его взаимной однозначности.
Предложение доказано. 4. Координатная запись отображений. Пусть нам задано некоторое отображение Е: Р— > Л. По определению это означает, что задан закон, по которому казкдой точке А на плоскости Р сопоставлен ее образ А' = Е(А) на плоскости Л. Если мы выберем на плоскости Р систему координат О, еы ез, а на плоскости Л систему координат О, рг, рг, то точка А будет определена парой чисел (х,р), а точка .4* парой чисел (х*,р*). Следовательно, при выбранных системах координат на плоскостях Р и Л отобрая1ение сопоставляет паре чисел (х,р) пару чисел (х',р'). Таким образом, задать отображение при выбранных системах координат все равно, что задать две функции, каждая из которых зависит от двух независимых переменных: х' = Фх,р), й' = Их.,р). (1) Координатной записью мы пользовались в примере 4. Подчеркнем, что системы координат на плоскостях Р и Л никак не связаны между собой: точка О может не совпадать с образом точки О, а векторы рз, рг с образами векторов еы ег.
При координатной записи преобразования достаточно выбрать одну систему координат, так как и точка, и ее образ находятся на одной б 2. Линейные преобразования плоскости. Обратно, рассмотрим две функции, зависящие от двух независилеых переменных каждая. Если они определены для любых пар чисел, то па формулам (1) при выбранных системах координат на плоскостях Р и В они определяют отображение Р н Ры Упражнения 1. Нарисуйте три крестика и четыре попика. а) Как должны идти стрелки от крестиков к наливам, чтобы получилось отображение множества крсстикоа а множество ноликоа? б) Можно ли пронести стрелки так, чтобы каждый образ имел едипстаенный прообраз? а) Можно ли провести их так, чтобы каждый нолик имел прообраз' ? г) Ответьте на те же вопросы, если крестиков четыре, а ноликов три. д) При каком числе аолиьоа аозможао азаимно однозначное отображение множестаа из трех крестиков'? 2.
Пусть преобразааания Х, д и Ь имеют обратные. Найдите преобразоаание, обратное к их произведению Хбй. 3. Напишите формулы, задающие осевую симметрию относительно прямой, имеющей ураанение т+ у = 5 а декартовой прялшугольной системе координат. 5 2. Линейные преобразования О* О И 1. Ортогональные преобразования. Так называются преобразования плоскости, которые не меняют расстояния между любыми двумя точками, т. е. преобразования Х ортогональное, если для любых тачек А и В выполнено )АВ! = (Х(А)Х(В)!. Основными примерами ортогональных преобразований служат параллельный перенос, поворот и осевая симметрия.
ПолУчим кооРДинатнУю запись оР- Лйе Ы лг* г тогональнога преобразования в декартовой прямоугольной системе координат О,.ем ел. Обозначим через А и В В концы базисных векторов: е1 — — Г) А, А А* ез —— ОВ (рис. 55). При ортогональном 1 преобразовании равнобедренный прямо- Рнс. 55 угольный треугольник ОАВ перейдет н равный ему треугольник О*А'В*. Рассмотрим произнольную тачку ЛХ(х,у). Опа перейдет н точку ЛХ' с координатами (х',у'). Нам надо выразить (х",у') через (х,у). По определению координат ОЛХ = тОА+ уОВ. Отсюда следует, что 0'ЛХ* = хО* 1' + уО" В". Пействительно, векторы 0'А* и 0'В* азаиллно перпендикулярны и по длине равны 1, а потому коллпаненты О*ЛХ* по этим векторам равны его скаллрным проекциям на них.
Эти 100 Гл. Хг'. Преобразования плоскости проекции равны проекциям ОМ на е|, е|п что видно из равенства соответствуюших треугольников. Теперь мы можем написать ОЛгХ' = 00* + 0'ЛХ* = 00* + хСГ.А* + уО*В*. (1) Обозначим через 1с угол между О'~1* и е|. Поскольку ~0'.4'~ = 1, координаты этого вектора в базисе е|, ег равны (соа|д,э|п~р).
Тог- да перпендикулярный вектор единичной длины О*В* имеет коорди- наты (~ |йп1с, ~совр), причем верхцис знаки берутся в том случае, когда пара векторов О'.А* и О*В" ориентирована так же,как е|,ег. Координаты точки О обозначим| через (с|,сг). Теперь мы можем разлоя|ить все члены равенства (1) по базису: х' = хсоа||с Х у|йп|р -|- с|, (2) У* = хшпи| х Усов1з+ сг. Итак, доказано Предложение 1. Произвольное ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами (2), где |р угол, на который поворачивается первый базисный вектор, а с| и ||г координаты образа начала координат.
При этол| выбираются верхние знаки, если образы базисных векторов ориентированы так зкв, как и сами эти векторы, и ниэснив знаки в противополоэсном случае. П р имер 1. Параллельный перенос на вектор с сопоставляет точке М с координатами (х,у) в некоторой декартовой системс координат точку ЛХ* с координатами х = х + с|, у = у + сг, где с| и сг — координаты с. Пример 2. Напишем уравнения поворота плоскости на угол |з вокруг некоторой точки, приняв эту точку за начало декартовой прямоугольной системы координат. В этом случае 0 = 0* и, следовательно, с| — †— — О. Должны быть выбраны верхние знаки.
Итак, х' = хеся||с — у|йпсс, у' = ха|п~р+ усову|. При мер 3. Рассмотрим осевую симыетрию относительно некоторой прямой. Примем ось симметрии за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Тогда точка М(х, у) переходит в точку ЛХ' с координатами х =х, у = — у. Здесь с| = сг = О и |д = О при нижних знаках в формулах (2). 2. Определение линейных преобразований. Основным объектом для нас будет более широкий класс преобразований, включающий в себя ортогональные преобразования.
Определение. Преобразование Х плоскости Р называется линейным, если на Р существует такая декартова система координат, в Хл. Линейные преобразования 101 которой Х может быть записано формулами х* = а1х -Ь Ь1У + с1, (3) = агх + Ь2д + с2. Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным преобразованием. Подчеркнем, что н определении линейного преобразования, вовсе не требуется, чтобы коэффициенты в формулах (3) не обращались в нуль одновременно. Они могут быть любыми. Однако имеет место Предложение 2. Для того чтобы преобразование, задаваемое формулами (3), было взаимно однозначным, необходимо и достаточно., чтобы Ь' ~ О.
<4) Таким образом, аффицное преобразование определяется формулами (3) при условии (4). Д о к а з а т е л ь с т но. Наше утверждение вытекает по существу из предложения 9 02 гл. П. Нам ну'кно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Формулы (3) связывают координаты (х', у') точки ЛХ' и координаты (х, у) ес прообраза. Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения х и у, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах х* — с1 и у' — сг (а значит, при любых х' и у*) тогда и только тогда, когда выполнено условие (4).
Как видно из предложения 1, ортогональные преобразования являются линейными. Проверка условия (4) показывает, что они аффинные. Рассмотрим другие примеры. Пример 4. Рассмотрим сжатие к прямой (пример 3 0 1) и примем эту прямую за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Легко видеть, что в такой системе координат сжатие с коэффициентом Л записывается формулами х'=х, у*=Лу. Сжатие к прямой аффинное преобразование.
П р и мер 5. Проектирование на прямую (пример 6 0 1) в такой декартовой прямоугольной системе координат, для которой эта пряман ось абсцисс, записывается формулами х,*=х, у*=О. Это . линейное, но пе аффинное преобразование. Прил1ер 6. Для записи ураннений гомотетии не существенно, чтобы система координат была прямоугольной, но уравнения проще, .если начало координат поместить в центр гомотетии. По определению гомотетии с коэффициентом Л вектор ОДХ переходит в вектор ОЛХ* = ЛОЛХ. Если Π— начало координат, координаты точек М и М* будут связаны равенствами х =Лх, у* =Лу.
102 Гл. 11'. Преобразования плоскости Гомотетия аффинное преобразование. П р и мер 7. Преобразование, сопоставляющее каждой точке плоскости одну и ту же точку С, записывается формулами х' = см у' = сг, где сг и сг координаты точки С. Оно линейное, но не аффинное. Определение аффинного преобразования содержит упоминание о некоторой определенной системе координат, и заранее не известно, будет ли преобразование записываться формулами вида (3) в какой- либо другой системе координат. Устраним это сомнение. Предложение 3. В любой декартовой системе координат, линейное преобразование задается формулами вида (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
