Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Здесь с постоянный вектор ОХ(О), а г радиус-вектор точки ЛХ. Согласно (11) 2 2 мы получаем ОЛХ* = с + Х(го) + Х(а)й (З) я 8. Аффинные преобразовании 707 Так как 1 аффинное преобразование и а ~ О, то а перейдет в вектор 1(а) ф О, и уравнение (3) является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой г = го + а1 лежат на прямой (3). Более того, преобразование 1 определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка ЛХ" имеет на прямой (3) то же значение параметра 1, что и точка 31 на исходной прямой.
Отсюда мы получаем Предложение 1. При аффинном преобразовании; прялгая линия переходит в прямую линию; отрезок переходит в отрезок; параллельные прямые переходят в параллельные. Для доказательства второго утверждения достаточно заметитзн что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида 17 < 1 < 17. Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные. П р ед л о ж е н и е 2. При аффинном преобразовангли отношение длин параллельных отрезков нв изменяется.
Доказательство Пусть отрезки АВ и СР ггараллельны. Это значит, что существует такое число Л, что АВ = ЛСР. Образы векторов АВ и СР связаны той же зависимостью А'В* = ЛС" Р*. Отсюда вытекает, что (АВ! )А*В*! )СР~ ~С'Р*! = /Л!. Следствие. Если точка С делит отрезок АВ в некотором отношении Л, то ве образ С' делит образ А'В* отрезка АВ в том зкв отношении Л. 2. Изменение площадей при вффинном преобразовании. Для начала рассмотрим ориентированный параллелограмм.
Выберелю общую декартову систему координат О, еы ех и обозначим через (РыРз) и (Уы дз) компоненты всктоРон Р и с1, на котоРых он постРоен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить, пользунсь формулой (23) З4 гл. 1: 5~ = Вл(Р:Ч) = (ргчг — ргуг)ЕЙ(ег:е ). Пусть аффинное преобразование 1 записывается в выбранной системе координат формулами (Ц. Из предложения 9 ~ 2 следует, что векторы 1(р) и 1(с1) имеют в базисе 1(ег),1(ез) те же компоненты (рг,рз) и (уы фг), что и векторы р и г1 в базисе еы ез. Образ параллелограмма построен на векторах 1(р) и Щ, и площадь его равна К = Я~(1(р),1(ц)) = (радуг — рздг)Е~(1(ег),1(ез)).
Вычислим последний множитель. По предложению 7 3 2 координаты векторов 1(ег) и 1(ег) равны соответственно (аг,аг) и (Ьг,7зх). Гл. 1Г Преобраоооанил плоскости 108 Поэтому Я(1(е1),4(ез)) = (а1Ь» — а 51)Яь(ем ел) и Вл = (Р1дз — Рзд1)(о1Ьа — азЬ1)Бь(е1, ез). Отсюда мы видим, что Я.*.. а1 Ь1 Ь (4) Таким образом, отношение площади образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно а150 — а»Ь1. Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, занисящим от системы координат.
Эта неличина инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования. Из формулы (4) видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно о'1'Я = )а1Ьз — азЬ1(. (5) Если а1 Ьа — ааЬ1 > О, то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании. а если а1Ьз — озд1 ( О, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации. Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может быть дополнен до параллелограмма, площадь которого равна удвоенной площади треугольника. Поэтому отношение плошади образа треугольника к плошади этого треугольника удовлетворяет равенству 15).
Каждый многоугольник может быть разбит на треугольники. Следонательно, формула (5) справедлива и для произвольных многоугольников. Мы не будем здесь касаться определения плошади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта плошадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории пределов известно следующее предположение: осли последовательность 5о стремится к пределу о', то последовательность 55„, где б постоянное, стремится к пределу БЯ. На основании этого предложения мы заключаем, что формула (5) справедлива в самом общем случае.
В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. В 82 гл. П мы доказали, что эллипс с полуосями а и Ь может быть получен сжатием окружности радиуса а к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен Ь/а. В примере 4 8 2 мы получили координатную запись сжатия к прямой х' = ад у* = Лу. Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен Л, т.
е, в нашем 9 з. Аффинные преобразования соэ случае о,Са. Таким образом, отношение площади эллипса к площади окружности равно б,са, и эта площадь равна Я = (асса)яаг. Окончательно имеем 5 = яаб. 3. Образы линий второго порядка. Мы видели, что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего предложения.
Предложение 3. Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию е алгебраическую линию того лсе порядка. В самом деле, пусть линия Е в декартовой системе координат О,ес,ег имеет алгебраическое уравнение порядка р. Согласно предложению 9 9 2 образы всех точек линии Т, при аффинном преобразовании 1 имеют в системе координат 1(0),1(ес),1(ег) те же координаты, что и их прообразы в системе координат О,ес,ег. Следовательно, координаты образов в системе 1(0),1(ес).1(е ) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка р.
Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение. Из предложения 3, .в частности, .следует, что линии второго порядка при аффинпом преобразовании перейдет в линию второго порядка. Ыы докажем более сильное утверждение. Именно, в теореме 1 9 1 гл. П1 линии второго порядка были разделены на семь классов. Ыы увидим, .что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем Предложение 4. Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинньсх классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только е линию того же класса.
Каждую линию второго порядка подходяиСим аффинньслс преобразованием можно перевести е любую другую линию того же аффинного класса. Доказательства. Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная в неограниченную. 1) Эллипс ограниченная линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состонщие из одной точки, т. е. пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс. 2) Гипербола состоит из двух отдельных ветвей.
Это свойство можно сформулировать так, что оудег ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды. Из всех линий второго порндка только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством. У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу. 110 Гл. 11г. Превбразовакигг плоскости 3) Парабола неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска.
Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу. 4) Если линия второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую 1пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия пе может перейти в линию никакого другого класса. Докажем вторую часть предложения. В теореме 1 З 1 гл. П1 канонические уравнения линий второго порядка написаны в декартоной прямоугольной системе координат и содержат параметры а,Ь,.... Если мы откажемся от ортонормировапности базиса, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров.
Например, замена координат х' = хгга, У' = У,гЬ пеРеводит УРавнение эллипса хз(а' + Уг!Ьз = 1 в у равнение х'з -1- уа = 1, каковы бы ви были а и Ь. (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.) Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения: 1) хз + йз = 1; 2) хз + уг = О; 3) хз — дз = 1; 4) хз — рз = О; 5) йз = 2х; 6) уз — 1 = О:, 7) уз = О. Такую систеьиу координат мы назовем а41фиккой канонической системой координат. Из предложения 9 3 2 следует, что аффинное преобразонание, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинпого класса, совмещает и эти линии.
Это заканчивает доказательство. 4. Разложение ортогонального преобразования. Т е о р е м а 1. Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметршь Доказательство. Пусть 1.-- ортогональное преобразование и гуАВС - . равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом А. При преобразовании 1 он перейдет в равный ему треутольник луА*В*С' с прямым углом при вершине А*. Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос р, поворот Ч и (в случае необходимости) осевую симметрию г, мы сможем совместить троутольпики .4ВС и А" В'С'. Действительно, произведение гор аффинпое преобразование так же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
