Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а„,„,, из т строк и и столбцов. Ей можно сопоставить матрицу В из п строк и т столбцов по следующему правилу. Элементы каждой стро- ки матрицы А записываются в том же порядке в столбцы матри- цы В, причем номер столбца равен номеру строки. Эту матрицу а!! аг! а!2 а22 ат! а,„г а1„аг„,..
а называют транспонированной по отношению к А и обозначают А!. Переход от А к Ат называют транспонированивл!. Если матрица квадратная, то множество тех ее элементов а'„ у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы. 2. Траиспоиироваиие матриц.
Рассмотрим матрицу Гл. Г Матрицы и системы линейных уравнений Видно, что 1-я строка В состоит из тех же элементов в том же порядке, что и 1-й столбец .4. Ясно также, что (Ат)т = .4. Определение транспонированпой матрицы можно записать в виде ьпп равенств, связывающих элементы матриц А и В: Ь,. = а, (ь' = 1,...,т, 1 = 1, ...,п).
3. Некоторые виды матриц. Введем определения некоторых часто употребляемых видов матриц. Все матрицы предполагаютсн квадратными. 1. Матрица .4 называется с мметри1ной или симметрической, если А1 =.4. Для такой матрицы а„. = а,.; при всех 1 и 1 элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. 2. Матрица А называется нососимл1втричной или антисимметричной, если Ат' = —.4. Для такой матрицы аб = — а,, при всех 1 и у элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком. Диагональные элементы равны нулю. 3. Матрица А называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: ао = О при 1 > > 1 Аналогично определяется нижняя треугольнав матрица: а„= О при 1( 1.
4. Матрица А называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: а, = О при 1 ф ь Другие частные виды матриц будем определять по мере необходимости. 4. Сложение и умножение на число. Пусть .4 и В матри- цы размеров т х п. Мы можем сопоставить им третью матрицу С размеров гп х и, элементы которой с„связаны с элементами аб и Ь,, матриц А и В равенствами с, =а, +Ьв (1=1,...,т, 1=1,...,п).
(1) Определение. Матрица С, определяемая по А и В форму- лой (1), называется их суммой и обозначается А+ В. Определение. Матрица С, элементы которой с,. равны произ- ведениям элементон аь матрицы А на число о, называется произве- дением А на о и обозначается оА. Мы имеем с,. =оав (1=1,...,т, 1=1,...,п). (2) Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает Предложение 1.,7ля любых матриц А,В, С и любых чисел о и,З выполнены равенства А -ь В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), а(А ч- В) = а4-ь аВ, (а+ Д)А = аА+ ДА, (гг~3)А = а(ДА).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если 0 —. нулевая матрица размеров т х и, то для любой З1. Матрицы 117 матрицы тех же размеров А+О=А. Матрицу ( — 1)А называют противоположной матрице А и обозначают — А. Она обладает тем свойством, что А+( — А) =О. Сул!ма матриц В и — А называется разностью матриц В и А и обозначается  — А. Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами линейных операций с векторами, перечисленными в предложении 1 з 1 гл. 1. Используя линейные операции, мы можем составлнть из матриц одинаковых размеров А1, ...,А! и чисел а1, ...,аь ныражения вида а! А! + ... + алАю Такие выражения называются линвйныли нвльбинвциялзи матриц.
Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена. Пример 1. Пусть р1, ...,р! — -столбцы одинаковой высоты и. Тогда столбец с1 той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах а1, ..., аь Ч= а!р +". +аэро или, в более подробной записи, Рь 1 В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно и числовым равенствам Д = а!17! + ... + аьрь, ! ! !7"' = а!р," + ...
+ аьр!'. 5. Линейная зависимость матриц. Какова бы ни была систен!а матриц фиксированных размеров тн, х и, нулевая матрица тех же размеров раскладывается по этим матрицам в линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами. Такую линейную комбинацию называют тривиальной. Как и для векторов, введем следу!ощес Определение. Система матриц А1, ..., Ал, линейно нвзависизна, если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно, т.
е, из а!А! + ... +а!Аз = О (3) следует а1 = ... = аь = О. В противном случае, т, е, если существуют 1 чисел а1, ..., ал„одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство (3), система матриц назынаетсл линейно зависимой. Гл. Г Матрицы и системы линейньи уравнений 118 Пример 2. Столбцы (4) ез = е~ = (в столбце е, на 1-м месте стоит 1, а остальныо элементы равны нулю) являются линейно независимыми. Действитольно, равенство сг1е1+ ... + оьев = о можно записать поДРобнее так: Отсюда видно, что гг1 — — оз = ... = ов = О. Это равенство показывает также, что произвольный столбец высоты и к|ожет быть разложен по столбцам е1, ..., е„. Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца. Определение.
Квадратная матрица порядка и, состояп1ая из столбцов (4): 0 1 ... 0 0 0 называется единичной матрицей порядка и или просто единичной матрицей, если порядок известен. Строки единичной матрицы отличаются от ее столбцов только формой записи. Итак, мы можем сформулировать Предложение 2. Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов рас ладывается по ним. Укажем несколько свойств линейно зависимых и линейно независимых сист~м матриц.
Эти свойства были доказаны в 8 1 гл. 1 для векторов, и доказательства совпадали с приводимыми ниже. Предложение 2. Система из й > 1 матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из матриц есть линейная комбинация остальных. В самом деле, пусть система линейно зависима. По определению выполнено равенство вида (3), где хотя бы один коэффициент отличен от нуля.
Допустим для определенности, что это сг1. Тогда мы можем представить первую матрицу как линейную комбинацию ог оь А1 = — — Аз — ... — — 11.. ГЛ1 О1 91. Матрицы 119 В = о1А1 + ... + сгьАь и В = АА1 + ... + ДьАю Вычитая одно разложение из другого, мы получаем О = (о1 — Д1 ) А1 + ...
+ (оь — ))ь) Аь, Матрицы А1, ...,Аь линейно независимы, значит, си — 1з, = 0 для всех 1 = 1, ..., 1ч Итак, коэффициенты обоих разложений совпадают. Упражнения 1 2 3 1. Дана матрииа 4 5 6 7 8 9 а) Выпишите подматрииу, располозкенную в строках 1 и 3 и столбцах1и3. б) Сколько квадратных подматрип второго порядка имеет ленная матрица? в) Сколько всего подматриц она имеет? 2 3 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 2. Даны матрипы А = Можно ли сложить матрицы: а)АиВ; б)АгиВ; в)АиВ'; 1 1 3. Даны матрицы А = г) Аг и Втз 2 1 4 3 Обратно, если одна из матриц разложена по остальным, то это разложение преобразуется к виду (3), где один из коэффициентов равен 1.
Предложение 4. Если некоторые из матриц А1, ...,А1. составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система А1, ..., Аь линейно зависима. Действительно, пусть существует нетривиальная линейная комбинация некоторых из матриц системы, равная нулевой матрице. Если мы добавим к ней остальные матрицы с нулевыми коэффициентами, то получится равная нуленой матрипе нетривиальная линейная комбинация всех матриц. В частности, если в систему матриц входит нулевая матрица, то систелга линейно зависима.
Предложение 5. Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы. В самом деле, в противном случае мы пришли бы к противоречию на основании предыдущего предложения. Предложение 6. Если матрица В разложена по линейно независимой системе матриц А1, ...,.4ь, то коэффициенты разложения определены однозначно. Действительно, пусть мы иь1еем два разложения йл. 11. Матрицы и еиетелйы линейных уравнений 120 Вычислите матрицу 2А+ З — С. 4. С какими козффициеитами раскладывается матрица 1 2 4 ех по матрицам А и В и С из предыдущей задачи? 1 3 5. 54цжно ли разложить матрицу ? е по матрицам: а) А и В из задачи 3, б) АиВиСиззадачиЗ? б. Являются ли линейно независимыми строки а = а 1 2 3 4 у, Ь = () 2 3 4 5 (), с = )) 3 4 5 6 ))? Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
