Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 23
Текст из файла (страница 23)
,Ч о к а з а т е л ь с т в о. Пусть преобразование задано равенствами (3) в системе координат О, ег., ег. Перейдем к системе координат О', е~г, е!г. Как мы знаем, старые координаты точки М(х, у) выражаются через новые координаты (х', у') по формулам (7) 23 гл.
1: х = огх'+,'Згу'+ 71, у = огх'+ Дгу'+ 72. (б) Для образа М* точки ЛХ цам нужно будет, наоборот, выразить новые координаты (х",у'*) через его старые координаты (х*,у*). Они выражаются такими же формулами, разумеется, с другими коэффициентами: х * = Лгх* + Р1У* + ог, У * = Лгх* + РгУ* + иг. Нам требуетсн найти выражение новых координат (х'*,у'*) точки ЛХ* через новые координаты (х',у') точки ЛХ. С этой целью подставим в равенства (6) значения х* и у из формул (3): х'* = Л1(а, х + Ьг у + с1 ) + рг (азх + Ьг у + сг) + и1, У" = Лг(агх + Ь1У+ сг) + 1гг(агх+ ЬгУ+ сг) + ог.
Для нас важно, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно х н у; х =Агх+ВгУ+Сг, У*=Агх+ВгУ+Сг. (7) Подставив сюда выражения х и у по формулам (5), мы найдем исколгую зависимость: х" = Аг(сггх'+ Д1у'+",1) + Вг(сггх'+ Дгу'+ у. ) + Сг, У'* = Аг(огх' + Д1Р' + й) + Вг(огх'+ 13гУ' + 12) + Сг. Мы видим, что правые части этих равенств "- многочлены степени не выше 1 относительно т' и у'. Это нам и требовалось доказать.
Зак|стим, что аффинные преобразования выделяются из линейных требованием взаимной однозначности, которое не зависит от системы координат. Поэтому без дополнительных проверок мы можем быть уверены, что формулы, задающие аффинное преобразование в новой системс координат, удовлетворяют условию (4). 3. Произведение линейных преобразований. Доказательство предложения 3 было основано на том, что результат подстановки Хх.
Линейные преобразований 103 многочленов степени не выше 1 в многочлен степени не выше 1 оказываетсл таким же многочленом. Это же обстоятельство лоизит в основе следующего предложения. Предложение 4. Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием. Произведение аффинных преобразований аффинное преобразование. Доказательство Пусть заданы линейные преобразования Х и д и выбрана система координат. Тогда координаты точки Х(ЛХ) выражаются через координаты точки М формулами т.* = а~х+ Ь1 у+ си у* = азх+ 5 у+ се, (3) а координаты точки й(Х(ЛХ)) через координаты точки Х(ЛХ) формулами х*' = д~х*+ е1д'+ фм д'* = дзх*+ езд'+ Хз*.
(9) Подстановка равенств (9) в (8) выражает координаты а(Х(М)) через координаты М. В результате подстановки мы получаем многочлены степени не выше 1, что и доказывает первую часть предложения. Длн доказательства второй части достаточно вспомнить, что по предложению 1 31 произведение двух взаимно однозначных преобразований взаимно однозначно. П р ед ложе н и е 5. Преобразование, обратное аффинному преобразованию, также являетсл аффинным. Если преобразование Х записано уравнениями (3), то координатная запись его обратного преобразования получается решением уравнений (3) относительно х и у.
Для того чтобы решить эти уравнения, умножим первое из них на Ьз, второе —. на Ь| и вычтем одно уравнение из другого. Л1ы получим (а1Ьз — азЬ1)х = Ьз(х* — с1) — Ь1(У' сз). Из условия (4) следует, что х — линейный многочлен от х' и у*. Выражение длн у получается аналогично.
4. Образ вектора при линейном преобразовании. Рассмотрим вектор ЛХ,Мге Если координаты точек ЛХ1 и ЛХз в системе координат О, еы ез обозначить соответственно х,, У1 и ха, уз, то компоненты вектора будут равны хз — х1 и уз — ды Пусть формулы (3) задают преобразование Х в выбранной системе координат. Тогда образы ЛХ* и ЛХ* точек ЛХз и ЛХ1 имеют абсциссы хз — — а,хз + Ь1да + сы х~ — — а~х, + Ь,д, + с,. Следовательно, первая компонента вектораЛХ,*ЛХ,* равна х,' — х1 — — аз(хз — х~) + Ь~(уз — У1). Аналогично находим вторую компоненту этого вектора дз — У1 = аз(гз — х!) -ь Ьз(уз У1) Обратим внимание на то, что компоненты Л|,"Мз выражаются только через компоненты ЛХ|М, а не через координаты точек М1 Гл. 11л.
Преоброзовонил плоскости 104 и ЛХ2 по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые компоненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы. Итак, мы получаем Предложение 6. При линейном преобразовании равные ввнкпоры переходят в ровные векторы. Коллпоненты ск,*, аз образа вектора выралсаютсл через его компоненты ак, аг формулалси а,* = акал+ Ькскг, Е10) аг = азад + Ьга . Если быть точным, говорить об образе вектора при преобразовании Е неправильно: преобразование отображает точки, а не некторы.
Точнее было бы сказать, что Е порождает преобразование Е множества векторов. Но ниже мы, тем не менее, будем придерлкиваться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терминологии . говорить, что преобразование Е переводит вектор а в нектар а* и обозначать последний через ЕЕа). Из формул (10) вытекает, что для линейного преобразования Е при любых векторах а и Ъ и любом числе Л Е(а + Ь) = Е(а) + Е(Ь), ЕЕЛа) = ЛЕЕа). Е11) Докажем, например, первое из этих равенств.
Пусть к1* и к.„* --. компоненты вектора Е(а+ Ь). Тогда 71 — — алкал + ок) + Ьгказ + л»2), 7г — — аг(ак + А) + Ьг лаз -ь А), где ак, аз и Дк„'»2 -- компоненты векторов а и Ь. Отсюда 71 ка1а1 + Ь1112) + ка1Д1 + Ькдз) 111 + Д1 Тг — (азак + Ьгаз) + 1112А + Ьзфг) = ск» + Пг. Это координатная запись доказываемого равенства. Второе из раненств Е11) доказывается аналогично. Из равенств Е11) следует, что при линейном преобразовании Е линейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые.
Действительно, как легко видеть, ЕЕО) = О. Тогда любое соотношение вида Ла+ рЬ = О влечет за собой ЛЕЕа) + слЕЕЬ) = О. Если преобразование аффинное, то линейно независимые векторы переходят в линейно независиллые. В самом деле., в протинном случае из равенства ЛЕЕа) + рЕЕЬ) = О, Лз + Елз У'= О, при обратном преобразовании мы получили бы Ла+ рЬ = О. Следующее предложение устананливает геометрический сллысл коэффициентов в формулах, задающих линейное преобразование. Предложение 7. Пусть преобразование Е записано в системе координат О,ек,ег формулами (3).
Тогда ск и сз — координаты точки ЕЕО), а а,,аг и Ь1,Ь2 компоненты векторов ЕЕек) и Е(ез) в системе координат О, ек, ег. ду. Линейные преобразования 10Э Для доказательства подставим и формулы (3) значения х = О и у = 0 координат точки 0 и увидим., что координаты Е(0) равны сл И сз. Подстаэим а формулы (10) координаты нектара ел ал = 1, аз = = 0 и найдем ал = ал, гхг = аа. Следовательно, Е(ел) имеет компоненты ал и аг, Так же доказывается, что компоненты Е(ез) равны Ьл и Ьг.
Предложение 8. Каковы бы ни быт три точки Хи М,дг, не лежащие на одной прямой, и три точки Х,*, ЛХ* и лУ', сущесплвувт единственное линейное преобразование Е такое, чгпо Х,' = Е(Х,), М' = = Е(ЛХ) и № = ЕЕЛг). Это преобразование аффиннов тогда и только тогда, когда точки Х,*, М' и № также нв лежат на одной пряллой.
Дока за тель стао Векторы ЕМ и Х "лг не коллинеарцы. Слсдоэательно, Хи ЛЛХ, Х,лу декартова система координат. Пусть сл, гг координаты Х,*, а ал, аг и Ьл, Ьг компоненты векторов Х,*л1Х* и Х,*№ и этой систеьле координат. лрорьлулы х' = ал х -~- Ьлу + сл, у* = азх + Ь у + сг определяют линейное преобразование Е, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты и формулах однозначно определены. Условие (4), равносильное аффинности преобразования, необходимо и достаточно для тога, чтобы векторы Х,*ЛХ* и Х "№ были не коллинеарны, т. е. Х', ЛХ* и № не лежали на одной прямой.
Предложение доказано. Заметим, что и том случае, когда преобразование Е аффинное, точка Е(0) и векторы Е(ел) и Е(ег) могут быть использованы как система координат. Для этой системы координат имеет место Предложение 9. При аффинном преобразовании Е образ М* точки ЛХ в системе координат Е10),Е(ел),Е(ег) имеет тв же координаты, что и точка М в системе координат О,ел,ез. Д о к а за тел ь от но. Равенство ОЛХ = хел + уег означает, что х,у — координаты ЛХ в системе координат О,ел,ег. Подейстнован преобразованием Е на обе части этого равенства, мы получаем Е(О)Е(ЛХ) = хЕЕел) -~- уЕ(е ), которое означает, что х и у координаты ЛХ* и системе координат Е(0),Е(ел),Е(е ). Упрагиненин 1. Являются ли аффинными преобразования, задаваемые формулами: а) х" =хну — 1,у*=х — уж1; б) х = х — у — 1, у* = — х + у -~- 1.
2. Найдитс образ прямой х — у = 2 при преобразовании а) из упр. 1. 3. Докажите, не прибегая к формулам (1), что ортогональное преобразоаание взаимно однозначно. 4. Точка А называется неподвижной точкой преобразоаапия Е, если ЕЕА) = А. Найдите неподвижные тачки преобразования а)из упр. 1. Гл. Хг'. Преоорозооонил плоскости 106 5. Докажите, что линейное преобразование, не нвлнющессн тождествен- ным, либо имеет единственную неподвижную точку, либо имеет прямую, состолшую из неподвижных точек, либо не имеет их совсем. 6.
Как изменятся формулы, задающие линейное преобразование, если начало координат перенести в неподвижную точку, не меняя базисных век- торов? 7. Линейное преобразование в системе О,еи е задано формулами (3). Какими формулами ано задается в системе координат: а) О,е,еи б) О,ев2ег? 8. Докажите, что линейное преобразование, задаваемое в декартовой прнмоугольной системе координат формулами х = хсоесг+уашсг, у = хл1пгг — усолго, осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии.
9. Может ли случитьсн, что произведение двух линейных преобразова- ний аффинное, если одно из них не аффинное? 10. Пусть аффивное преобразование в декартовой прямоугольной сис- теме координат задано формулами х = х+ Ьу -~- сг, у = ах ф с . Найдите векторы, ортаганальныс их образам. 11. Дан трсуголыгик с вершинами А(1,0), В( — 1/2, Ц и С( — 1/2, — 1). Найдите преобразование, переводящее каждую вершину в середину проти- вопологкной стороны.
12. Докажите, что преобразование из упр. 8 есть произведение осевой симметрии Х относительно оси абсцисс и поворота 8 на угол ~р вокруг начала координат. Какое преобразование получитсн, если Х и 8 перемножить в другом порндке? 9 3. Аффинные преобразования 1. Образ прямой линии. В зтам параграфе мы изучим геометрические свойства аффииных преобразований. Ниже Х обозначает аффиниое преобразование, записынаемое в декартовой системе координат О, еы ег формулами х' = а,х+ Ьгу+ сы у' = агх+ Ьгу+ сг (1) при условии Фо. (2) Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением г = го + +а? и найдем ее образ при преобразовании Н (Нод образом прямой понимаетсн множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа ЛХ' произвольной точки М можно вычислить так: О.ЪХ' = ОХ(О) +Х(О~М* = с+ Х(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
