Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Убедитесь, что классы матриц, определенные в п. 3, замкнуты относительно операций сложения и умножения на число. 3 2. Умножение матриц аРй = аху Г., и и и 1л'й + ййй) = ~Рй -Ь ~~',4Ъ: й=1 й=1 й=1 (2) Если имеется выражение, зависящее от двух индексов, принимающих значения 1, ..., и и 1, ..., т, мы можем просуммировать снача- 1. Символ 2 . Прежде чез1 двигаться дальше, остановимся на обозначениях. В математике часто приходится рассматривать суммы большого числа слагаемых, имеющих сходный вид и отличающихся только индексами. Для таких сумм принято следующее обозначение. Силзвол ~~, после которого стоит некоторое выражение, содержащее й=1 индекс Й, обозначает сумму таких выражений для всех значений индекса от 1 до и, наприлйер, и П Е пй = а1 + пз + ...
+ о„, ~~~ аййй = а1131 + ... + ае,Он. й=1 й=! Индекс й называется индексом сумлщроеония. Разумеется, в качестве индекса суммирования может быть употреблена любая другая буква. На указанный символ и следующее за ним выражение люжно смотреть как па скобку, содержащую п однотипных слагаемых. Следующие формулы являются другой записью вынесения множителя за скобку и группировки слагаемых: п и 42.
Умножение матриц |21 ла по одному из них, а затем полученные суммы по-другому: к(к',) (Скобки обычно не пишутся.) Эта двойнан сумма содержит слагаемые, соответствующие всевозможным парам значений индексов. Если мы запишем Р| для всех | = 1, ..., а и | = 1, ..., га в виде матрицы, то сумма в скобках равна сумме элементов |-й строки, а во внешней сумые складываются результаты для всех строк. То же сан|ос число мы, конечно, получим, если сначала сложим элементы по столбцам, а затем просуммируем полученные суммы для всех столбцов. Поэтому ЕЕР" = ЕЕР" Р) |=| е=| |=| |=| 2.
Определение и примеры. Рассмотрим сначала строку а с элементами а, (г = 1, ..., п) и столбец Ь с элементами Ь. О = 1, ..., и). Существенно, что в а и в Ь число элементов одинаково. Произведением а на Ь называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами, т. е. аЬ = а|Ь| + ... + а„Ьн. Пусть теперь дана матрица А размеров т, х а и матрица В размеров и х р. Матрицы таковы, что длина строки (число столбцов) первой матрицы равна высоте столбца (числу строк) второй.
Умножим каждую строку А на каждый столбец В. Полученные тр произведений запишем в виде матрицы С размеров т х р. Именно, каждый столбец С составим из произведений всех строк А на соответствуюший столбец матрицы В. Любая строка С состоит из произведений строки А, имеющей тот же номер, на все столбцы В. Таким образом, элементы матрицы С длн всех | = 1, ..., т и | = 1, ..., р равны п с| = р а|ьЬь . (4) ы= Определение. й!атрицу С, элементы которой выражаются через элементы матриц А и В по формулам (4), назовем произведением А на В и обозначим АВ.
Определение произведения матриц формулируется более сложно и выглядит менее естественно, чем определение суммы. Однако из дальнейшего читатель увидит, что именно такое определение оказывается полезным в целом риде вопросов. Как легко заметить, если матрицу В записать как строку из столбцов, то произведение АВ запишется как строка из столбцов так: АВ = А(! Ь| ... Ь„/! = (( АЬ| ... АЬ„'й. 1л. Г Матрицы и еиетелеы линейнъее уравнений 122 а1В ат а В Приведем несколько примеров. Пример 1. Матрица А размеров т х п умнсйкается на столбец х высоты и а' х' + ... + а' хи 1 "' и а22.1 + + а21,и 1 1 1 а1 ...
а, а1 " аи амт1 + .1 от ге и' от ... а"' и хи Это столбец высоты 1а. В обратном порядке эти матрицы при т ~ 1 перемножить нельзя: произведение хЛ не определено. Правую часть последнего равенства можно записать также и как линейную комбинацию столбцов матрицы А (пример 1 21). Это показывает, что столбец Лх есть линейная комбинации столбцов матрицы А с коэффициентами, равными элементам столбца х1 Лх = т1а1 + ... + хиа„. П ример 2. Произведение строки длины 1п на матрицу В размеров 1п х и будет строкой длины и: Ь, '... Ь1 б21 ...
бл |е ш Е х б Е Пример 3. Произведение столбца высоты га на строку длины и есть матрица размеров т х и; 1 2 Ха1 Хаз ... Хаи 1 1 1 Хза1 Хзаз ... Хзаи да1 ... а„(! = Х а1 Хтае ... Х"'а„ Пример 4. Пусть А матрица размеров т х и, е, 1,'-й столбец единичной матрицы порядка 1п, а е1 у-й столбец единичной матрицы порядка и. Тогда е~Аез " матрица размеров 1 х 1 с эле- Действительно, для получения у-го столбца произведении мы умножаем последовательно все строки А на столбец Ь . Аналогично, строки ЛВ произведении строк А на матрицу В; 42.
Умножение матриц сзз ментом а,: асс ... аси асн ... ази ет Ае = (! О ... 1 ... О й =а;. от С " амн П редлоск ение 1, у-й столбец матрицы АВ есть линейнал комбинация столбцов матрицы А с коэффициентами равными элементам С-го столбца матрицы В. с-я строка матрицы АВ есть линейная комбинация строк матрицы В с коэффициентами, равными элементам с-й строки матрицы А. Оба утверждения доказываются одинаково. Докажом первое. Мы видели, что с-й столбец произведения есть произведение А на с-й столбец В (форьсула (6)). Но произведение матрицы .4 на столбец "- это линейная комбинацин столбцов А с элементами второго сомножителя в качестве коэффициентов (приьсер 1). 3.
Свойстве умножения матриц. Умножение матриц не коммутативно. Если А матрица размеров т х п, то оба произведения АВ и ВА определены только в том случае, когда В имеет размеры в х т, т. е. такие же, как .4с . При этом АВ квадратная матрица порядка ш, а ВА порядка я. Итак, о равенстве АВ = ВА может идти речь, только если А и В . квадратные матрицы одного порядка.
Но и в этом случае равенство выполнено далеко не всегда. Например, 1 1 О О 1 1 О О 1 1 О О О О 1 1 О О ' 1 1 О О 1 1 Если какие-нибудь две матрицы .4 и В удовлетворяют равенству АВ = ВА, то они называются перестановочньслси. Перестановочпые матрицы существуют. Например, единичная матрица порядка п перестановочна с любой квадратной матрицей того ясе порндка: ЛЕ=ЕА=А. (6) Вообще. осли определены произведения ВЕ и ЕС. то ВЕ=В и ЕС=С. Предоставим читателю самостоятельно проверить это в качестве упражненин на умножение матриц.
Равсссства (6) выражают важное свойство единичной матрицы, которому она обязана своим названием. Если бы какая-нибудь друтая матрица Е' обладала этим свойством, мы имели бы Е'Е = Е и Е'Е = = Е', откуда следовало бы Е = Е'. Очевидно, что произведение нулевой матрицы О (справа или слева) на любую другую матрицу равно пулевой матрице; АО=О', ОВ=О". 124 Гл.
Г Матрицы и системы линейнън уравнений (Размеры матриц О, О' и О", новь|ажно, различны.) Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, т. е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А1ВС), и вьтолнено равенство (АВ)С = А(ВС). Действительно, пусть размеры матриц А, В и С соответственно равны т| хил, тн хпи и тс х пс. Если АВ определено, то пл = тн, и матрица АВ из|ест размеры т.| х пн. Поэтому, осли определено (АВ)Сг то пн = тс-. Матрица АВ состоит из элементов ггА а,ьЬМ 11 = 1, ..., тл; 1 = 1, ..., пв) Ь=1 и, следовательно, элементы 1АВ)С имеют вид вв пг п|Ьы с|, (4 = 1,...,тл: в = 1, "гпс) (7) Ь=1 Поскольку пв = тс, определено произведение ВС. Его элементы вв ~ Ьыс|, (Й = 1, ...г гпв, :в = 1, ..., пс).
|.=1 Так как пл = тв, определено произведение А(ВС) с элементами пл ,Г вв ~а,ь ~ ~~ Ьысы (4 = 1,...,тл; в = 1г.,.,пс). (8) 1=1 |=1 В силу формул (1) и (3) выражения 17) и 18) совпадают, и наше утверждение доказано. Предложение 3. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению; если илгеет смысл выражение А1В+ С), то А1В+ С) = АВ+ АС, если имеет смысл выражение (В+ С)А, то (В + С)А = ВА+ СА. Обе части предложения доказываются одинакова. Докажем первую из них. Очевидно, что В и С должны иметь одинаковые разы|еры т х пв а А размеры р х т 1р может быть любым). Выпишем элементы матрицы А(В + С) через элементы А, В и С: вг а„|1Ь1 +с; ) 1в=1,...,р; 1=1,...,п). г=| Раскроем скобки в каждом слагаемом и сгруппируем члены; гв т Е ае|Ьо + ~а„с;з.
г=1 |=1 Эти суммы равны элементам матриц АВ и АС, стоящим в строке с номером в и столбце с номером 11 Утверждение доказано. Из формулы (1) следует такое свойство умножения матриц: 42. Умножение матриа Предложение 4. Если произведение АВ определено, то ири люболл числе о о(АВ) = (оА)В = А(нВ). Предложение 5. Если определено произведение АВ, то определено и произведение Вт Ат и выполнено равенство 1 1В)т Вт т Д о к а з а т е л ь с т во. Пусть матрицы А и В имеют, соответственно, размеры т х и и и х р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
