Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Докажите, что на их пересечении стоит невырожленнал аолматрица порядка г. Покажите на примере, что утверждение не верно, если число отмеченных строк меньше г. б. Докажите, что для любых матриц А и В одинаковых размеров ранг суммы не болыпе суммы рангов. 3 4. Детерминанты 1. Определение детерминанта. ~у1ы будем говорить, что на множестве квадратных матриц порядка и задана числовая функция, если каждой матрице из этого множества сопоставлено некоторое число. Примерами могут служить две часто употребляемые функции; й~.
Детерминанты гзт след матрицы функция, сопоставляюшая каждой квадратной матрице сумму ее диагональных элементов аы + ... + а„„; евклидова норма матрицы функция, сопоставляющая каждой матрице кнадратный корень из суммы квадратов всех ее элементов. Во многих вопросах необходимо уметь определить, вырождена данная матрица или нет. При этом полезна такая функция от матрицы, которая ранна нулкэ для вырожденных матриц, отлична от нуля для невырожденных и при этом сравнительно просто вычисляется. Длн матриц второго и третьего порядка такими функциями являются их детерминанты, уже известныс нам. О и р е д ел е н и е. Числовая функция 1 на множестве всех квадратных матриц порядка и называется детерминантам (или определителем) порядка и, а ее значение на матрице .4 детерминантам А, если она обладает следующими тремя свойствами.
1. Какую бы строку матрицы мы ни взяли, функция является линейным однородным многочлсном от элементов этой строки. Для 1-й строки матрицы А это значит, что ~(А) = 1ээаэ + 7эгаггэ + ... + 6 а, (1) где йэ, ...,и„-. коэффициенты, не зависящие от элементоя 1-и строки аээ, ..., а„„но зависящие от остальных элементов матрицы.
2. Значение функции на любой вырожденной матрице равно нулю. 3. Значение функции на единичной матрице равно 1. Детерминант матрицы А обозначается Дес А или, если нужно выписать элементы матрицы, прямыми линиями по бокам матрицы. Рекомендуем читателю проверить, что известные нам детерминанты второго и третьего порядков удовлетворяют приведенному определению. Для матрицы порядка 1, состоящей из одного элемента, детерминантам является этот элемент. Когда определение состоит из условий, которым должен удовлетворять определяемый объект, заранее нс ясно, выполнимы ли эти условия, т. е. существует ли объект, им удовлетворяющий.
Кроме того, если такой объект существует, то не ясно, однозначно ли он определен этими условнямн. Ннэкс мы докажем сушсстээоээапнс н единственность детерминанта. Мы докажеы| также, что для любой цевырожденной матрицы детерминант отличен от нуля. Однако сначала необходимо изучить условияэ определяющие детерминант. Условие 1 выражает свойство линейности детерминанта по строке.
Его равносильную формулировку дает следующее Предложение 1. Функция 7" на лтожествв квадратных матриц порядка и обладает свойством линейности по строке тогда и только тогда, когда для каждой строки произвольной матрицы А выполнено следующее: если эта строка есть линейнал комбинация ар+ Гл.
г'. Матрицы и системы линейнъи уравнений 188 + 1зс1, строк р и с1, то (2) Г" (,4) = о1(А ) + 1з Г" (А,), где матрицы А и Ач получены из А заменой этой строки на р и с1. Доказательство. 1'. Пусть функция г" обладает свойством линейности по строке (1). Если 1-я строка А есть линейная комбинация ар+ Д11, то при любом Ь элемент ась этой строки равен ор1. + Щ, где рь и уь — соответствующие элементы строк р и Ч. Следовательно, 1(А) = Ь1(ор1 + Дцз) + ... + Ьч(ор„+,'3д„).
Группируя члены, мы получим П 4) = о(Ь1р1 + ... + Ь р ) + ЯЬ Ч + ... +1 ув). Здесь Ь1, ..., Ь„не зависят от элементов 1-й строки, и потому Ь,р1 -Ь ... -1- Ь р„= З(А„) и Ь141+ ... + Ь„д„= З(А ). Таким образом, получено равенство (2). 2'.
Докажем обратное. Возьмем 1-ю строку матрицы А и разложим ес в линейную комбинацию строк единичной матрицы апе1+ ... + а„,е„. Последовательно применяя раненство (2), получаем отсюда г"(А) = ап г'(А1) + ... + а,„,1(Ав), где матрицы А1, ..., А„получены из А заменой 1-й строки на соответствующую строку единичной матрицы. Они не зависят от элементов 1-й строки А, а потому значения г на данных матрицах также не зависят от этих элементов. Предложение доказано. Сформулированное в предложении 1 свойство также называ1от снойством линейности по строке и часто формулируют в виде двух отдельных утверждений. ° Множитель, общий для всех элелентов строки, может быть вынесен за знак детерминанта. ° Если какая-либо из строк лчатрицы А есть сумма двух строк, то 11е1.4 равен сумме детерлинантов матриц, получаемь1х из А заменой этой строки на каждое из слагаемых.
Разумеется, если строка матрицы представлена как линейнал комбинация очр1 + ... + овр, любого числа в строк, то йеь А = п1 с1еь А1 + ... + о, 11ег А„ (3) где А1, ...А, матрицы, получаемые из А заменой рассматриваемой строки соответственно на р1,...,р,. Предложение 2.
Если к некоторой строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то детерминант матрицы не изменится. 44. Детерминанты сзэ Доказательство. Пусть в матрице А мы заменили 1-ю строку а, на слроку а, + Ла„с, ф зй Тогда по свойству линейности детерминант полученной матрицы А' равен бес А' = с1ес А + Л бес Аз, где матрица .4 получается из А заменой ььй строки на ф-ю. В эту матрицу строка аз входит дважды: на 1-м и на з-зи местах.
Поэтому матрица вырожденная, и с1есА = О. Итак, с1есА = бес А'. Предложение 3. Если дее строки матрицы поменять местами, то ее детерминанпс умножится на ( — 1). Доказательство. Пусть матрица А' получается из А перестановкой 1-й и ф-й строк. Выполним следующую последовательность преобразований матрицы А, не меняющих детерминанта в силу предложения 2: а,+а а,+а.
а,+а, а — а — а Детерминант последней матрицы равен детерминанту А и отличается только знаком ог детерминанта матрицы А'. Свойство, выражен~ос предложением 3, носит название антисимметрии детерзиинанта по строкам. В дальнейшем нам потребуется Предложение 4. Пусть некогаорая функция ф на множестве квадратньсх матриц линейно по строкам, и для матриц, имеющих две одинаковые строки, ее значение равно нулю.
Тогда на всех вырожденных матрицах ее значение равно нулю. Д о к а з а т е л ь с т во. Пусть А произволь пан вырожденная матрица. Если строк больше одной, и они линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация остальных. Допустим для определенности, .что строка ас разложена по а, ..., а„с коэффициентами а, ..., о„. Тогда последовательно применяя формулу (2), полу чаем 1(А) = схг1(Аз) + ... + сь„((.4„), где матрицы .4з, ..., А„получены из .4 заменой первой строки на ее 2-ю, ...,и-ю строки. Каждая из них имеет две одинаковых строки, и потому ф(.4,) = О, с = 2, ...,и.
Отсюда 1(А) = О, как и требовалось. 2. Единственность детерминанта. Начнем с того, что с помощью известных нам свойств детерминанта вычислим детерминанты элементарных матриц. Если матрица Яс получена из единичной умножением какой-либо строки на число Л ~ О, то с1есЯс = Лде1Е = Л, согласно свойству линейности детерминанта по строке. Если матрица Я получена из 140 Гл. Г Матрицы и системы линейцьн уравнений единичной матрицы прибавлением одной строки к другой, то из предложения 2 видно, что с1ес Яг — — деС Е = 1.
Таким образом, имеет место Предложение 5. Если существуют две функции д1 и дг, удовлетворяющие определению двтерлсинанта, то для любой элементарной лсатрицы с1с® = ЙгЯ. Кроме того, легко проверить, что для любой матрицы А и любой элементарной матрицы Я выполнено раненстно с1еССЯА) = сСсС5 с1еСА. 14) Дейстнительно, достаточно вспомнить, что ЯА получается из А тем же элементарным преобразованием, что и Я из Е. Отсюда для матриц первого типа 11еССоСА) = Л с1еС А. Поскольку с1еС Я1 = Л, равенство С4) справедливо. Точно так ясе, для матриц нторого типа с1еС15гА) = деС.4 и с1еС Яг = 1. Теперь может быть доказана Теорема 1. На множестве квадратных матриц порядка 11 ке может быть более одной функции, удовлетворяющей определению детерминанта.
Доказательство. Пусть существуют дне такие функции с11 и дг. Докажем, что с11СА) = с1гСА) для любой квадратной матрицы А. Если А вырожденная матрица, то по определению дс(А) = = дг сА) = О. Рассмотрим ненырожденную матрицу А. По предложению 9 Х 2 она может быть разложена н произведение элементарных матриц. Последовательно применяя формулу 14), мы получаем д11 4) — д1сл1" Ек) — д1сл1) о1слг" Ем) — "° — с11сл1)" д1сльч). Аналогично, дг(А) = дг (Е1)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
