Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 32
Текст из файла (страница 32)
сlг(Егч). Теперь из предложения 5 следует с111А) = дг1А), как и требовалось. Вместе с доказательстном теоремы, мы получили важную формулу: если ненырожденная матрица .4 разложена н произведение элементарных матриц, то с1еС А = с1ес Яс.. сСеС Як. 15) Отметим, что детерминант элементарной матрицы либо равен числу Л ф О, либо равен едиаице, т, е, н любом случае отличен от нуля. Из равенства 15) тогда следует Предложение 6. Если матрица невырождвнная, то ев детерминант отличен от нуля. Сл едет ние. Для того чтобы матрица бьта вырожденной, необходимо и достаточно, чтобьс ее детерминант был равен нулю.
3. Существование детерминанта. Разложение по столбцу. Микоролс матрицы назынается детерминант какой-либо ее квадратной подыатрицы. В частности, вводится О п р е д е л с н и с. Пусть а, . — элемент матрицы А порядка п, расположенный н г-й строке и г-м столбце. Назовем дополнительной подматрицей этого элемента матрицу Рсй порядка и — 1, получаемую из 44. детерминанты А вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца. Дополнительным минором элемента а„назовем число д„= с1есР1, Разумеется, говорить о дополнительном миноре имеет смысл только в том случае, если детерминант порядка п — 1 существует.
Теорема 2. Оа множестве квадратных матриц произвольного порядка определен детерминант. Докажеэ| это методом полной индукции по порядку матрицы. Начало индукции трудностей не вызывает, так как мы знаем, что известные нам детерминанты второго и третьего порндка обладают нужными свойствами. Предположим теперь, что на множестве матриц порядка п — 1 детерминант существует, и построим на множестве матриц порядка а функцию следующим образом. Фиксируем произвольно номер столбца 7 и произвольной матрице А порядка п сопоставим число о 7 (А) = ~ ~аь,(-1) чздьз, (6) Л вЂ” 1 где дь дополнительный минор элемента аь в ьлатрице А.
Дополнительные миноры существуют в силу предположения индукции. Докажем, что функция (6) удовлетворяет трем условиям, входящим в определение детерминанта. 1. Выберем произвольную строку (пусть ее номер 1) и покажем, что выражение в правой части формулы (6) есть линейный л1ногочлен относительно элементов этой строки. В самом деле, при 14 = 1' слагаемое а,;,( — 1)'+зд„содержит элемент а„из 1-й строки. Коэффициент при нем не зависит от элементов 1-й строки, так как эта строка в подматрицу Рц не входит.
В остальных слагаемых (при 1 у: к) множитель аь, не принадлежит 1-й строке, а Д1,. — линейный многочлен от элементов 1-й строки. Теперь свойство линейности по строке для функции 7 следует из того, что сумма линейных многочленов линейный многочлен. 2.
Докажем, что для вырожденных матриц 74 равна нулю. В силу предлозкенин 4 и уже доказанной линейности по строке для этого достаточно пРовеРить, что 71(А) = 0 длЯ пРоизвольной матРицы, имеющей две одинаковые строки. Пусть в матрице А строки с номерами 1 и 1 одинаковы (1 > 1). Тогда в сумме (6) могут быть не равны нулю только два слагаемых, так как при Й ф 1 и Й ф 1 дополнительная подматрица Р1 содержит одинаковые строки, и потому минор д1. равен нулю.
Итак, уз(А) = ( — 1)' 'а„.дв + ( — 1)) ьза1зд1з. Учтем, что ао = а1, ввиду совпадения строк. Тогда Зз(.4) = ( — 1)заб(( — 1)1д1з 4- ( — 1)'д11). (7) Дополнительные подматрицы Р,. и Р1 состоят из одинаковых элементов, но отличаются порядком строк: в каждой из них оста- 142 Гл. Г Матрицы и системы линейных уравнений лась одна из двух одинаковых строк, но в 01 она стоит на 4-м месте, а в Т)и .- на (1 — 1)-м. Переставим в матрице О,, строку с номером 1 — 1 на 1-е место, не нарушая взаимное расположение остальных строк. Для этого ьленяеьл ее последовательно местами с (1 — 2)-й, ()в — 3)-й, ..., 1-й строками. Потребуетсн ().
— 2) — (1 — 1) = 1 — 1 — 1 перестановок. Отсюда следует, что д, = ( — 1)' ' 'дс). Подставив это в равенство (7), мы увидим, что ))(А) = О. 3. Рассмотрим )1(Е), где Е единичная матрица порядка п. В этом случае в сумме (6) только одно ненулевое слагаемое ))(Е) = ( — 1)'х)с))х. Но 11)л единичная матрица порядка и — 1, и ее детерминант равен 1. Отсюда ) (Е) = 1, как и требовалось. Теорема доказана. В силу теоремы 1 функции )1 при всех 1 совпадают, и мы можем написать: с1е)А = ~ау ( — 1) +)аь . (8) Ь.=1 Правая часть этой формулы линейный мпогочлен от элементов хьго столбца, следовательно, имеет место Предложение 7.
Детерминант обладает свойством линейности по столбцам. 4. Свойства детерминаитов. Используя формулу (8) разложения детерминанта по столбцу, мы можем найти коэффициенты в формуле (1). П редл ож ение 8. Каков бы ни был нолсер строки 1', детерминант матрицы А порядка п вычисляется по формуле и с1еСА = 2 ао( — 1)ье)с)с„ (О) 1=-1 где с)с) -- дополнительный минор элемента а; . Доказательство. Для того чтобы найти коэффициент Ь) при а,, в формуле (1), сгруппируем все члены в этой формуле, кроме интересующего пас, и обозначим их сумму через у.
Тогда с1есА = )с а,. + у. Аналогично мы можем преобразонать разложение по 1-му столбцу: 11еСА = аи( — 1)схлс)с, + г. По определению Ьх не зависит от элементов 1-й строки, а у содержит все ее элементы кроме а, Точно так же, при всех )с в дополнительную подматрицу Т)ь пе входит 4-й столбец, и, следовательно, с)ь) не зависит от а, . В частности, йь не зависит от аы. Отсюда же видно, что и г не зависит от этого элемента.
Заметив это, обозначим через Ао матрицу, которая получена из матРицы А заменой элемента аб на О, и Увидим, что бес Ас = У и зл. Детерминанты с 43 с1е1.4о = г. Учтем это при вычислении детерминанта матрицы Аы отличаюгдейся от А заменой элемента а„. на 1: с1е1 Ас = Ь,. + г = ( — 1)'ь'с)о + г. Отсюда получается нужное значение для Ьз. Предложение 9. Для любой квадратной матрицы с1е1 А = с1ес А Для доказательства определим функцию от матрицы А равенством 7" (А) = с1ег Ат.
По предложению 7 эта функция линейна по столбцам А, т, е, по строкам А. Если матрица .4 выролсдеца, то вырождена н Ат (согласно следствию из предложения 9 з 2), и потому 7"(А) =с1ссАт =О. Наконец, Ет =Б, а значит, г"(Я) = сЫБз = с1еЬБ = = 1. Таким образом, з удовлетворяет всем условиям в определении детерминанта, что и заканчивает доказательство. Из предложения 9 следует ранноправность строк н столбцов.
Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно. Поэтому известные нам свойства детерминантов можно переформулировать для столбцов. Предложение 10. Столбцы матрицы линейно зависилсы, тогда и только тогда, когда матрица вырождвна и детерминант ее равен нулю. Если переставить два столбца матрицы, то ве двтерлсинант умножится на ( — 1). Если в матрице к одному из столбцов прибавить другой, умноженный на число, то детерминант ве не изменится. Предложение 11. Для любых двух квадратных матриц одного порядка с1ес АВ = с1ех .4 с1ес В.
Доказательство. Пусть матрица А невыроькдена. Разложим ее в произведение элементарных матриц. Тогда АВ = Ес...ЕнВ. Последовательно применяя формулу (4), получим с1еь АВ = дех Яс .,с1есЯн с1еь В. Теперь из формулы (5) следует нужное утверждение. Если же матрица А порядка и вырождена, то Вб А < и. Из предложения 4 ~ 3 тогда следует К9АВ < и. Значит, произведение АВ также вырождено и с1есАВ равен нулю так же, как и дех А Йес В. б. Формула полного разложения. Здесь мы получим формулу полного разложения детерминанта порядка и, представляющую его как многочлен от элементов матрицы. Введем предварительно некоторые определения.
Мы будем называть перестановкой чисел 1, ..., и эти числа, написанные в каком-либо йь Г Матрицы и вивтвны линвйнън уравнений 144 определенном порядке. Например, из чисел 1 и 2 образуются две перестановки: 1, 2 и 2, 1. Перестановку чисел 1, ..., и обозначим 11, ...,1и. Число 11 виновно в нарушении порядка в перестановке 11, ...,1„, если оно стоит левее меньшого числа: й ( в, но 11 ) 1,. Например, при п, = 4 в перестановке 2, 4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении порядка, а число 4 " в дву.х. Итак, общее число нарушений порядка в перестановке равно четырем. Число всех нарушений порядка в перестановке 11, ...,1„мы обозначим Х(11, ...,1„).
Перестановка называется четной, если 1ч'(гы ...,1и) - четное число, и нечетной в противном случае. Докажем формулу полного разложения: аы ... а1„ ( — 1) ' "'" '" а1наз,...аы„. (10) а„1 ... авв Сумма в правой части равенства берется по перестановкам. Это означает, что каждой перестановке чисел 1, ..., и соответствует слагаемое. Слагаемое длн перестановки 11, ...,1„, составляют так: берут из 1-й строки 11-й элемент, из 2-й строки -- 4з-й элемент и т.
д. и перемножают их. В результате в произведение входит по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми четностями соответствующих перестановок. Формулу (10) мы докажем по индукции. Пусть при п = 2 дана матрица а11 аж аз1 азз Двухи перестановкам 1, 2 и 2, 1 отвечают, соответственно, слагаемые ( — 1)~0 з1а11азз и ( — 1)н~з На1заи1. Их сУмма Равна аыазз— — агзасы т. е. как раз детерминанту данной матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
