Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е, 1х = х. Если мы ограничиваемся вещественными числами, то 2' называетсн ее|цестеенным линейным пространством, если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство.К называется комплексным. Вектор — х называется противоположным вегстору х, вектор о называется нулевым вектором или нулем. Мы будем обозначать векторы строчными латинскими буквами, а числа, каь правило, греческими. П р и м е р 2.
Пусть .У множество всех многочлецов от одной переменной, степень которых не превосходит заданного числа и,. Сумма двух многочленов из,2е - - многочлен степени не выше и и, следовательно, принадлежит К. Произведение многочлена из х" на число также принадлежит .У. Аксиомы линейного пространства выполнены и в этом случае. Роль нуля играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. К будет вешественным или комплексным пространством, смотря по тому, рассматриваем мы многочлены с вещественными или с комплексными коэффициентами. П р и м е р 3. Множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на комплексное число будет комплексным линейным пространством.
Аналогично, множество вещественных чисел по отношению к обычнык| операциян| является вешественным линейным пространством. 4!. Основные понятия 159 П р и м е р 4. Множество комплексных чисел по отношению к обычной операции сложения и умножения на вещественное число представляет собой вещественное линейное пространство. Пример 5. Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента.
Его элемент является нулем и самому себе противоположным. Такое пространство называется нулевым и обозначается (о). Опорапии в пем задаются равенствами о+ о = о и ао = о. 2. Простейшие следствия. Из аксиом, входящих в определение, вытекает, что мо!кот быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Действительно, допустим, что существуют два нулевых вектора о! и оз. Тогда их сумма должна быть равна каждому из них: о! + оз = о! = оз. Аналогично, если какой-нибудь вектор х имеет два противоположных — х! и — хз, то сумма ( — х!) + х + ( — х ) должна быть равна и — хы и — хз. Равенство о+ о = о означает, что противоположным для нулевого вектора является он сам, а из равенства х + 1-х) = о следует, что противоположным для — х является вектор х.
Сумму векторов у и — х мы будем обозначать у — х и называть разностью векторов р и х. Легко видеть, что Ох = о для любого вектора х. В самом деле, Ох = Ох + х — х = (1 + О) т. — х = о. Отсюда вытекает, что ( — 1)т, = — х длн любого х. Действительно, ( — 1)х + х = ( — 1+ 1)х = Ох = о. Отметим также, что произведение любого числа на нулевой вектор равно нулевому вектору, поскольку ао = а(х — х) = ах — ах = о.
Если ах = о, то либо а = О, либо х = о. В самом деле, если а ~ О, то, умножая равенство ах = о на а ', получаем 1х = о. В сказанном здесь читатель заметит мало нового; таковы же свойства операций с векторами и с матрицами. Теперь мы видим, что все это верно и в произвольном линейном пространстве. Выражение вида а!х1+ ... + аьхы как и в предыдуших главах, мы будем называть линейной комбинацией векторов хы ..., хь с коэффициентами а!, ..., аь.
3. Линейная зависимость. По аналогии с соответствук>щими определениями для векторов и для матриц мы можем дать определения линейно зависимой и линейно независимой системы векторов в линейном пространстве. Напомним, что линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю. Определение. Система векторов в линейном пространстве.К называется линейно незовисилсой, если нулевой вектор раскладывается единственным образом по этой системе векторов. Иными словами, векторы линейно независимы, если из равенства нулю их линейной 1л.
УЕ Линейные пространства гбб комбинации следует, что она тривиальная. Наоборот, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, то система векторов называется линейно зависимой. В б 1 гл. 1 и б 1 гл. У мы получили свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов (направленных отрезков) и матриц. При их доказательстве использовались только те свойства линейных операций, которые совпадают с аксиомами линейного пространства. Поэтому для систем векторов в любом линейном пространстве имеют место те же свойства.
Приведем только формулировки, так как доказательства не отличаются от доказательств соответству1ощих предложений З 1 гл. У. Предложение 1. Система из й ) 1 векторов линейно зависилга тогда и гполько тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных. Предложение 2. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то система линейно зависима. Предложение 3. Если некоторые из векторов а1,...,аь составляют вальц по себе линейно зависил<ую систему, то вся система а1, ..., аь линейно зависима.
Предложение 4. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему векторов, сами по себе линейно квзавис мы. Предложение 5. Если вектор раскладывается по линейно независилюй системе векторов, то коэффициенты разлозкения определекь1 однозначно. 4. Базис. Введем Определение. Базисом в линейном пространстве .2' э1ы назовем упорядоченную конечную систему векторов, если; а) она линейно независима; б) каждый вектор из К раскладывается в линейную комбинацию векторов этой системы.
В определении сказано, что базис упорядоченная система векторов. Это означает, что из одного и того же множества векторов можно составить разные базисы, по-разному нумеруя векторы. 11оэффициепты линейной комбинации, о которой идет речь в определении базиса, называются компонентами или координатами вектора в данном базисе. Векторы базиса е1, ..., е„мы будем записывать в виде строки: е = = ~~ СЧ ... С„'б, а КОМПОНЕНТЫ ~1, ..., ~о ВЕКтОра Х В баЗИСЕ Е ". В СтОЛбЕц: который назовем координатным столбцом вектора. Теперь разложение вектора по базису мткно записать в любом й!.
Основные понятия из следующих видов: х=~~ ~'е,=йе|...е„й Из предложения 5 непосредственно следует, что компоненты вектора в данном базисе определены однозначно. Предложение 6. Координатный столбец сул|мы векторов равен сумме их координатных столбцов. Координатный столбец произведения вектора на число равен произведению координатного столбца данного вектора на это число. Для доказательства достаточно выписать следующие равенства: х+ у = ец + ез1 = е1( + |1)., ох = ое( = е(ац), где ~ и |1 †. координатные столбцы векторов х и и. Здесь использованы свойства умножения матриц — предложения 3 и 4 ч 2 гл.
М. Из предложения 6 видно, что координатный столбец линейной комбинации векторов есть линейная комбинация их координатных столбцов с теми же коэффициентами. Отсюда следует Предложение 7. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Предложение 8. Если в линейном пространстве существует базис из и векторов, то любая система из т > и векторов линейно зависима. Доказательстно. Предположик|, что в пространстве существует базис е|, ...,е„, и рассмотрим систему векторов 71, ...,7"„„причем |п > и.
Каждьпл из векторов 71, ...,7'„, ьлы разложим по базису и составим матрицу из их координатных столбцов. Это матрида размеров п х т, и ранг ее не превосходит и. Поэтому столбцы матрицы линейно зависимы, а значит, линейно зависимы и вектоРы 71, ..., 7ж. Отсюда прямо вытекает Теорема 1. Если в линейнол пространстве есть ба~ис из и векторое, то и любой другой базис состоит из и векторов. Действительно, число векторов в одном базисе не может быть больше, чем в друтом. Теперь мы э|ожем ввести следующее Определение. Линейное пространство, в котором существует базис из и векторов., называетсн п-мерным, а число п, -- разл|ерностью пространства.
Размерность пространства 2' обозначается дпп.х". В нулевом пространстве нет базиса, так как система из одного нулевого вектора линейно зависима. Размерность нулевого пространства по определению считаем равной нулю. Может случиться, что каково бы ни было натуральное число т, н пространстве найдется т линейно независил|ых векторов. Такое 11 Д.В. Бекземн|ига гб2 Гл. гЛ. Линейные пространства пространство называется бесконвчномерным. Базиса в нем не существует: если бы был базис из и векторов, то любая система из и+1 векторов была бы линейно зависимой по предложению 8. П р и м е р 6. Множество всех векторов плоскости является двумерным линейным пространством, а множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии, - трехмерное линейное пространство. Пример 7, !инейное пространство столбцов высоты и имеет размерность и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
