Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

1л. 1Л. Линейные пространства 174 Если мы составим матрицу А из чисел а1, быть записаны в матричной форме 77= 46 то равенства (4) могут (5) или, подробнее 1 1 цп с„п1 1 "' и Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе Г) выражен как произведение матрицы А размеров гп х и на координатный столбец вектора х в базисе е. Определение.

Матрицей линейного отображения А: ~' — 1 .х в паре базисов е и Г называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке) координатные столбцы векторов 4(е1),..., .4(е„) в базисе Г. Формула (5) показывает, как употребляется матрица линейного отображения для нахождения образа вектора. Матрица линейного отображения в следующем смысле однозначно определена: если для любого вектора х = е4 координатный столбец образа в базисе Г есть 47 = В4, то матрица В совпадает с А.

Это утверждение нетрудно проверить. Умножим матрицу В на координатный столбец вектора е„ т. е. на 4-й столбец единичной матрицы. Произведение равно 1-му столбцу В, а это и есть координатный столбец А(е,). Пример 5 показывает, что при выбранных в пространствах .х' и х базисах каждая матрица размеров т х п служит матрицей некоторого линейного отображения х." -1Ж П редло жение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения. Доказательство. Пусть 71, ...,7'„номера базисных столбцов матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы А(е, ), ..., А(е „) линейно независимы и каждый из векторов А(с,) (1 = 1, ..., и) по ним раскладывается.

Следовательно., мы можем разложить образ А(х) любого вектора только по А(с:,), ..., А(е; ). Таких| образом, эти векторы образуют базис в 1шА, и их число равно рангу А. Предложение доказано. Из этого предложения видно, что ранг матрицы линейного отображенил один и тот же, какую бы пару базисов мы ни выбрали. Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства. Доказательство.

Согласно формуле (5) ядро отображения определяется однородной системой линейных уравнений 44 = о с п неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения г. Фундаментальная система решений этой системы состоит из а = и — г 43. Линейные отображение 77э решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре.

В частности, равенство г = и необходимо и достаточно, чтобы отобралеение имело нулевое ядро, т. е. было инъектнвным. Напомним, что отображение называется взаилено однозначным, если каждый вектор у Е .хе является образом одного и только одного вектора из,хе, т. е.

если оно является как инъективным, так и сюрьективным. Для инъективного отображения г = и, а для сюръективного г = т.. Итак, имеет место Предложение 6. Линейное отображение А: .х'" — ь .К взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространшпв совпадают и равны рангу отображения: и = т = ИВА. 3.

Изоморфизм линейных пространств. Дадим следующее О п р е д ел е н и е. Взаимно однозначное линейное отображение называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм .х' -+ хе, то линейные пространства .х' и х' называются изоморфными. П р и м е р 7. Выбор базиса в и-мерном линейном пространстве .х' определяет изоморфизм х' на и-мерное арифметическое пространство, сопоставляющий каждому вектору его координатный столбец. Это координатный изолорфизм. Из предложения 6 видно, что два линейных пространства могут быть изоморфны только тогда, когда их размерности совпадают. Оказывается, это условие является и достаточным: имеет место Теорема 1. Два вещественных пространства изолорфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

То же верно и для комплексных пространств. Нам остается проверить только достаточность условия. Она очевидна: пусть .К и х'" †. два п-мерцых линейных пространства. Если в каждом из них выбран базис, то любая невырожденпая квадратная матрица порядка п по формуле 15) определяет линейное отображение, которое будет изоморфизмом согласно предложению 6. Значение теоремы об изоморфизме линейных пространств .

в следующем. Линейные пространства могут состоять из чего угодно (столбцов, многочленов, чисел, направленных отрезков, функций) природа их элементов роли не играет, когда изучаются их свойства, связанные с линейными операциями. Все эти свойства у двух изоморфных пространств совершенно одинаковы. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то для каждой размерности найдется только одно линейное пространство. 4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Рассмотрим линейное отображение А: х' — ь К.

Если в пространствах выбраны базисы е и Г, то А определяется матрицей А. Пусть другая пара базисов е' и Г' связана с е и Г матрицами перехо- 1л. |Л. Линейные пространства да Я и Р, и в базисах е' и 1' отображение А имеет матрицу .4'. Наша задача - . найти связь между матрицами А и Х. Рассмотрим произвольный вектор х пространства .У и его образ у = А(х). Обозначим координатные столбцы х в базисах е и е' соответственно через с и д', а координатные столбцы у в базисах Г и Г' через |1 и 77г.

Согласно формуле (4) 51 д = Яг, 77 = Рц'. Подставив эти выражения в формулу (5), мы получаем Р77г = АЯг. Поскольку матрица перехода имеет обратную, 77г = Р 1АЯ'. Но по формуле (5) |1' = Агяг. Так как матрица линейного отображения длн данной пары базисов единственна, мы получаем А' = Р 'АЯ. (6) 5. Канонический вид матрицы линейного отображения. Естественно возникает вопрос, как выбрать в пространствах лге и 2' базисы таким образом, чтобы матрица заданного отображения имела возможно более простой вид. Теорема 2.

Для любого линейного отображения А: Ее — «.2' ранга г можно так выбрагпь базисы в .У и .лге, нто оно будет иметь матрицу (7) О О (Е„едининная подматрица порядка г, остазгьные элементы, если они есть, равны нулю). Доказательство. Поместим векторы ее«г,...,е„базиса пространства 2' в КегА (его размерность как раз равна и — г), а векторы е|, ..., ее можеы выбрать произвольно. В силу такого Въ|бора при любом базисе в .К последние п, — г столбцов матрицы А будут нулевыми.

Так как Н5А = г, первые г столбцов должны быть линейно независимыми. Поэтому линейно независимыми будут векторы А(е|),...,А(е„). Примем их за первые г базисных векторов в пространство ег', а остальные векторы („ч г, ..., Г"„, этого базиса выберем произвольно. При таком выборе первые г столбцов А будут первыми г столбцами единичной матрицы порядка т.

Это и есть вид (7). 6. Сумма и произведение отображений. Рассмотрим два линейных отображения А: .2' — «У и В: .2' — « .У. Ыы назовем суммой этих отображений и обозначим А + В отображение С: .2' — « .,К, определяелюе равенством С(х) = А(х) + В(х) для любого х Е,У. Не представляет труда проверить, что С линейное отображение. Действительно, если в,У' и .У выбраны базисы, координатные столбцы векторов А(х) и В(х) запишутся через матрицы отображений как Ад и Вд. Следовательно, С(х) будет иметь координатный столбец Ас -«Вя = (А -~- В)с. Итак, сумма А -«В линейных отображений линейное отображение, и его матрица равна сумме матриц А+ В.

ГЗ. Линейние отображения 777 Произведение линейного отображения А на число о определяется как отображение В, сопоставляющее вектору х вектор сеА(зе). Легко проверить, что это отображение линейное и имеет матрицу аА, если А матрица отображения А. Из сказанного следует, что по отношению к введенным здесь линейным операциям множество всех линейных отображений ге в ге представляет собой линейное пространство, которое изоморфно линейному пространству матриц размеров т х и. Теперь рассмотрим три линейных пространства г', ге и ге . Результат последовательного выполнения отображений А: .х' ->,У" и В: .ге' †> .хео называется их произведением и обозначается ВА (отображенис, которое делается первым, пишется справа). Разумеется, ВА отображает Р' в гео и является линейным отображением. Пусть в пространствах У', .хе и 8оо выбраны базисы соответственно е, Г и ц. Обозначим через А матрицу отображения А в базисах е и Г, а через  — матрицу отображения В в базисах Г и ц.

Предложение 7. Отображение ВА имеет матрицу ВА в базисах е ип. Доказательство. Рассмотрим координатный столбец Е произнольного вектора из х'. Координатные столбцы векторов А(х) и В(А(х)) обозначим соответственно через 77 и ~. Тогда 71 = АЕ и Е = = В77 = ВАЕ,как нам и требовалось. Ранг отображения равен рангу его матрицы, а потому из оценки ранга произведения матриц (предложение 7 ~ 5 гл. Ъ') следует Предложение 8. Ранг произведения отображений нв превосходит рангов этих отображений. Другие свойства умножения отображений тоже легко следуют из свойств умножения матриц, и мы не будем на них останавливаться.

Пусть дано линейное отображение А: У' — ь ге. Линейное отображение В: х' — ь ..ге назовем обратним для А и будем обозначать А если ВА = Е и АВ = Е, где Е и Š— тождественные преобразования пространств У и г.". Иначе говоря, для любых х Е г'" и у Е К долгино быть (8) В(А(х)) = х, А(В(д)) = Рд Предложение 9. Линейное отображение А имеет обратное тогда и только тогда, когда оно изоморфизм.

Рассмотрим линейное отображение А: .х' — ~ х' и ныберем базисы е и Г в К и .У. Пусть А —. матрица отображения А в этих базисах. 1'. Пусть А изоморфизм. Тогда А невырожденная квадратная матрица и имеет обратную матрицу А '. Рассмотрим отображение В: х — ~ лен, опредсляемое матрицсй А ' в базисах Г и е. Очевидно, что оно удовлетворяет условиям (8), и потому является обратным для А. Гй Д.В. Бенземн~нее 1л.

Рй Линейные нространстаи 178 2. Пусть А не изоморфизм. Тогда либо г < г»», либо г < я. В первом случае в 2." найдется вектор н, не принадлежащий А( 2'). Если существует обратное отображение, мы приходим к противоречию; и = А1А '(и)) Е А( У'). Во втором случае существует вектор з ~ о, - Б КегА. Если существует А, мы приходим| к противоречию: з = -| = А '(А(з)) = А '(о) = о. Одновременно мы доказали, что матрица обратного отображения в базисах Г и е есть А Упражнения 1. Все квадратные матрицы порядка 2 умножаются справа на матрицу 1 2 3 2 4 6 Этим определено отображение А пространства матриц порядка 2 в пространство матриц размеров 2 х 3.

Характеристики

Список файлов книги