Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Поэтому условие во вто- рой части теоремы необходимо. Доказательство. Если в и-мерном пространстве у линей- ного преобразования А существует собственное значение Л, то найдется (и — 1)-мерное инвариантное надпространство .х'„ ь Дейст- вительно, дпп 1ш(А — ЛЕ) = и — гйш Кег(А — ЛЕ) < и — 1. Инвари- антцым будет любое (п — 1)-мерное надпространство .г"„ы содержа- щее 1гп (А — ЛЕ), так как если х Е .х'„и то А(х) можно представить в виде суммы (А(х) — Лх) + Лх, причем А(х) — Лх 6 1ш(А — ЛЕ) С С .,г."в 1 и Лх Е .,г."„1. Поместим в К„ь первые п — 1 базисных векторов.
'!"ак как К„ инвариантно, первые и — 1 элементов последней строки матрицы А преобразования будут равны нулю. Мы можем свободно распоряжать- сн первыми п — 1 базисными векторами, не выводя их из .2'„ь 1л. |Л. Линейные нрастранетаи 190 Применим те же соображения к ограничению преобразования А на 2'н ы Мы получиы х'и з с .2'и| ы и поместив туда первые п — 2 базисных векторов, сделаем равными нулю элементы (и — 1)-й строки, лев|вшие ниже диагонали. Продолжая далее те же рассуждения, мы получим цепочку иннариантных подпространств Жс...с 2'н зс 2и ы (11) пРичем е| 6 2е|, е|,ез Е ех'з, ..., е|, ...,е„| 6 2|и ы МатРиЦа пРеобразования в таком базисе будет треугольной.
В комплексном пространстве на каждом этапе существование собственного значения сомнений не вызывает. В вещественном пространстве мы предполагаем, что все корни характеристического многочлена вещественны. | Докажем, что в этом случае ограничение А преобразования А на каком-либо инвариантноы подпространстве .хн имеет только вещественные корни характеристического многочлена. Допустим, что у А существует пара комплексно сопряженных корней Л и Л, и обозначим р = — (Л+ Л) и о = ЛЛ. Согласно предложению 8 найдется ненулевой вектор х 6 2е', такой, что (А' + рА'+ оЕ')х = о. Так как А'(х) = А(х), мы имеем (А + рА+ лЕ)х = о.
Это означает, что матрица В преобразования Аз + рА + дЕ вырождсна. Но В = Аз + рА + + г?Е = (4 — ЛЕ) (4 — ЛЕ). Поэтому из |1е1 В = О следует беСА — ЛЕ) = = О, что противоречит условию теоремы. Таким образоы, и в вещественном пространстве при наших предположенинх на каждом этапе построения базиса существование собственного значения гарантировано. Упражнения 1. Докажите, что каждое надпространство, лежащее в КекА, и каждое надпространство, содержащее 1п|А, инвариантно относительно А.
2. Докажите, что сумма и пересечение инварнантцых надпространств инвариантны. 3. Докажите, что размерность падпространства зе, определенного в иредложенни 6, -- четное число. 4. Пусть А: .,2е — | К. Докажите, что К = Кег А |З 1щА тогда и только тогда, когда КегА" = КегА. 5. Пусть .2? = Кег А |й 1п|А.
Какой вид имеет матрица преобразования А в базисе е, если е|, ..., е,. 6 1|и А, а е,-|, ..., е„я КегА? 6. Пусть х и у - столбцы высоты и. Докажите, что Дее(Е-~-ху~) = =1-|-х у. 7. Найдите собственные значения и собственные надпространства преобразования, заданного матрицей 3 — 2 6 — 2 6 3 6 3 — 2 95.
Линейные функции 191 8. Каждой квадратной матрице порядка п сопоставляется ее транспонированная матрица, Этим определено преобразование Т пространства матриц. Найдите его собственные векторы и собственные подпространства. Докажите из зтих соображений, что каждан матрица однозначно представляется как сумма симметричной (А~ = А) и кососимметричной (А~ = — А). 9. Пусть А и В квадратные матрицы одного порядка и де1.4 ф О. Докажите, что характеристические многочлены матриц АВ и ВА совпадают. 10. Пусть А диагонализуемо.
Докажите, что ограничение А на любом инвариантном подпростраистве такнае лиагоаализуемо. 11. В исходном базисе преобразование А задано матрицей 1 — 2 — 2 ,4= 4 7 6 -1 — 1 1 Найдите какой-либо базис, в котором его матрица А' верхняя треугольная и напишите ету матрицу. 2 5. Линейные функции 1.
Определение функции. Мы будем рассматривать линейное пространство .У, вещественное или комплексное. Слово "число', употребленное без уточнения, означает комплексное число для комплексного пространства и вещественное число для вещестненного. Определение. Будем говорить, что на линейном пространстве 2' задана функция $ от одного вектора, если каждому вектору х Е .2' сопоставлено число 1(х), а также, что задана функция я от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов х, у из х сопоставлено число 8(х,у). Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называют функционалами. Пусть пространство 2' имеет размерность и.
При выбранном базисе каждому вектору х нз .х сопоставлены и, его компонент 41, ...,4". Напомним, что в математическом анализе функцией от и, переменных называют закон, который ставит в соответствие некоторое число каждому упорядоченному набору из п чисел 41,...,дн, входящему в определенную совокупность таких наборов.
Таким образом, при выбранном базисе функция $ на линейном пространстве 2' задается функцией от п переменных, определенной на множестве всевозможных наборов 41, ...,4". Если базис изменится, тому ке вектору х будут соответствовать новые компоненты, и, следовательно, прежняя функция 1 будет задана новой функцией от и переменных. 2.
Линейные функции. Введем Определение. Функция 1 на линейном пространстве .х' называется линейной, если для любых х и у из ~ и любого числа о выполнены равенства 1(х+ у) =1(х) +1(у), 1(ах) = о1(х). % 192 1л. У1. Линейные пространства Читатель может заметить, что линейная функции на пространстве 2' не является новым для него объектом. Это в точности то же самое, что линейное отображение 2' в одномерное арифметическое пространство. П р и м е р 1. Функция, сопоставляюьцая каждому вектору число О, линейная.
Функция, сопоставляющая всем векторам одно и то же число, отличное от пуля, пе линейная, так как для каждой линейной функции Е(о) = О. Пример 2. Рассмотрим геометрическое пространство векторов направленных отрезков. Выберем в нем некоторый фиксированный вектор а. Каждому вектору х можно сопоставить число ~ = (а, х). Ясно, что равенства (1) выполнены, и мы имеем линейную функцию. П р и мер 3.
Пусть в п-мерном пространстве У выбран базис е. Сопоставим каждому вектору х его Е-ю компоненту в базисе е. Очевидно, что это соответствие †. линейная функция на .У. Мы обозначим ее р'. Так может быть построено п функций р~,...,рп. Нонечно, они зависят от того, какой базис в 2' был выбран.
При мер 4. Рассмотрим пространство бфункций, определенных и непрерывных на отрезке [О, 1) (пример 1 21). Пусть о фиксированная функция из К Тогда каждой функции и из е'моьано сопоставить число 1 С = ~и(Е)и(1) Ж. о Нетрудно проверить, что это соответствие --. линейный функционал. Еще один линейный функционал на том жс пространстве ор мы получим, если сопоставим каждой функции и ее значение в нуле и(О).
Рассмотрим и-мерное линейное пространство х' и выберем в нем базис еы ..., е„. Значение линейной функции Е на векторе х может быть выражено через координаты этого вектора ц', ..., ~": Е(г) = Я'е~ + ... + с "еп) = с~Е(еч) + ... + с "Е(еп). Числа Е(сч), ...,Е(е„) не зависят от вектора х, а определяются только функцией Е и базисом. Мы доказали следующее Предложение 1.
Каждая линейная функции на п мерном линейном пространстве в произвольном базисе е задается линейным однородным многочленом Е(х) =,рт~' + ... + (р„~н от координат вектора в этол базисе. Коэффициенты многочлена ~ры ..., ~рп равны значениям функции на базисньчх векторах. Значенин функции Е на векторах базиса е удобно называть компоненталт или коэффициентализ функции Е в базисе е. Матрица линейного отображения п-мерного пространства в одногиерное имеет разлчеры 1 х и, т. е.
это строка длины п,. Предоставим читателю проверить, что это строка ц рч ... р„'ц. Формула (2) в матричном виде 95. Линейные функции гуз записывается так: г(х) = 3 Чэ ... уэ„~! (3) Каждая строка уэ по формуле (3) определяет линейную функцию. В самом деле, уэ(ц + ц) = уц + уп и у(счц) = счу(ц). Формула (6) 93 выражает матрицу отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам.
Так как в одномерном арифметическом пространстве базис фиксирован раз и навсегда, для линейной функции эта формула принимает вид (4) Здесь Чз строка коэффициентов функции в базисе е, а уз' строка ее коэффициентов в базисе е' = еЯ. Разумеется, формулу (4) легко получить и непосредственно. Дейстнительно, уэ', = 1(е',) = уэсг, для любого з. Координатный столбец ~т, вектора е'; есть зьй столбец матрицы перехода Я. Отсюда прямо следует (4).
3. Сопряженное пространство. В 93 введены определения линейных операций для линейных отображений. В применении к линейным функциям эти определения формулируются так. Определение. Суммой линейных функций г и я называется функция 'и, значение которой для любого вектора х определяется равенством П(х) = Г(х) + б(х). Произведением линейной функции 1 на числоо называется функция а, значение которой на векторе х определяется как а(х) = н1(х). Предложение 2. Пусть 1 и а линейные функции, а у и зр их строки коэффициентов в некотором базисе е. Тогда, су ма 1+ + а -- линейнал функция, и ее строка коэффициенгпов равна ~р+ ч(з.
Для произвольного числа сь произведение его линейная функция, и ее строка коэффициентов есть оуэ. Докажем первую часть предложения. Вторан часть доказывается аналогично. Для произвольного вектора х значения функций записываются как б(х) = ~а~ и я(х) = Щ. Тогда значение суммы 1 + я на том же векторе равно ~рц+ зрс = (уз+ чр)с. Это показывает, что 1+ я линейная функция со строкой коэффициентов уз+ зр. Предложение 3. Множество 2э всех линейньгх функций на п-мерном линейном пространстве .хэ по отношению к введенным вьпие линейным операциям представляет собой п;мерное линейное пространство.
Действительно, существует взаимно однозначное отображение множества .2' на множество строк длины и, причем сумме функций соответствует сумма строк, а произведению функции на число произведение ее строки на это число. Поскольку аксиомы линейного 13 д.в. Беклемишев 1л. 'е1. Линейные пространстве пространства выполнены для операций со строками, они будут выполнены и для операций в х *. Следовательно, .х" -- линейное пространство,изоморфное пространству строк длины и.
Определение. Линейное пространство г' всех линейных функций на линейном пространстве .ье называется сопрязкенныль для у. Выберем базис е в пространстве х' и рассмотрим линейные функции р' (1 = 1, ..., и), определяемые равенствами р'(х) = ~', где ~з .— 1-я координата вектора х (пример 3). Это означает, что р'(с ) = ' ..' (1,1 = 1,...,п), (5) или, иначе, строка коэффициентов функции р' есть 1-я строка единичной матрицы.
Отсюда легко следует, что функции р, ..., р" линейно независимы. Так как пространство х' п-мерное, эти функции составляют в нем базис. Определение. Базис р', ...,р" в ье', определяемый формулой (5), называется бивртвганальным или взаимным базису еы ...,е„пространства .У. Строка ~~ рз ...ьзв ~~ раскладывается по строкам единичной матрицы с коэффициентами зы ..., р„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
