Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сгруппируем слагаемые в этой линейной комбинации так, чтобы объединить все слагаемые, относящиеся к одному надпространству, у1ы получим равенство вида хл + ... + х, = о, где хотя бы один вектор отличен от нулн. Не уменьшая общности, можно считать,. что это хл. Тогда хл —— — ха — ... — х,. Это значит, что ненулевой вектор х~ е 2' принадлезкит также сумме .У~ + ...
+.У'. Получено противоречие со 1л. Ий Линейные пространства 170 свойством в). Это заканчивает доказательство всего предложения. Отметим как частный случай свойства в), что сумма двух подпросспранств прямая, если их пересечение. нулевое. Легко видеть, что при сложении надпространств можно произвольно расставлять и убирать скобки.
Это относится и к прямой сумме Например ~ 2»~ СЭ Кз),й ( 2»з 19 с л) О»~ св 2»з Ср Кз сй Ус Если х» С х»', то 2" + х".»' = х»'. В частности, для лсобого надпространства,К' + х» = х". Предло кение 6. Для любого подпространства К' пространства 2' найдется такое надпространство х:е, что ьл = х» 00 х о. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем базис ес, ..., еь надпространства .х» и дополним его до базиса пространства х векторами еьлс, ..., е„, Линейную оболочку ес 1, ..., е„обозначим через х"е. Из предложения 5 видно, что .Н' = л» 61 л'о. Теорема 1.
Размерность суммы двух надпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения. Если сумма пряман, утверждение справедливо; размерность равна сумме размерностей, а пересечение нулевое. Пусть теперь К и У' .— надпространства с ненулевым пересечез нием. Согласно предложению 6 найдется такое надпространство .,Ф; что х' = .Ф'СВ (.хе~ П хе ). Тогда х'~ + 2.'~ = хе~ + ( х ~ О 2»з) + . 4'. Отсюда видно, что 2»~ + лез = х'~ +.4', так как С'л'~ Г1 'г'з) С .'г'~.
Докажем, что 2' + 4' прямая сумма. Для этого рассмотрим 1 произвольный вектор л Н 'хе~ 11.лч' Из Н ФС.х'з следует г Н.х'~ О Г1.2', а следовательно, г Н (.х' П 2' ) О .лу, Отсюда г = о, и пересечение У' Г1,,»У нулевое. По определению пряьлой суьлмы с)11п( К' +,К') = с1нп 2' + с11ш.зз'. Кроме того, с)1ш.2'~ = с)сш( Н'~ О 2»з) + с1шс ..Ф. Вычитая эти равенства почленно, приходим к требуемому заключению.
Упражнения 1. В линейном пространстве 27 задавы векторы аы аз и аз с координатными столбцами 9 10 11 12 в базисе ес, е, ез, еь Найдите базис их линейной оболочки .л'. 2. Найдите систему уравнений, задающую надпространство л' из упр. 1. 3. Найдите какое-нибудь подпростравство .чч", которое вместе с подпространством ье из упр.
1 удовлетворяет условию л' = .л сб,.й' . 4. Подпространство 2» определено в упр. 1, надпространство Н натянуто на векторы Ьс и Ь с координатами 1,1,1,2 и 2,2,2,гд Найдите: а) базис в 2" ж .К"; б) базис в У" 11 л»'. рЗ. Линейные отображения 171 5. В четырехмерном пространстве заданы: а) четыре подпростраяства; б) пять надпространств; н) пять ненулевых подпростраясти. Может ли их сумма быть прямой? й 3. Линейные отображения 1. Определение. Пусть К и У -- два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Под отображением А простраиства У в пространство У понимается закон, по которому каждому вектору из еле сопоставлси единственный вектор из К. Мы будем писать А: К -л 2е. Образ вектора х обозначается А(х). Определение. Отображение А; 2е — е К называется линейным, если для любых векторов л и р из К и любого числа о выполнены равенства А(к+ у) = А(х) + А(д), А(о с) = оА(х).
(1) Следует подчеркнуть, что знак + в левой и правой частях первой из формул (1) обозначает две, вообще говоря, различные операции: сложение в пространстве К и сложсиие в пространстве .У. Аиалогичиое замечание относится и ко второй формуле. Линейное отображение мы будем называть яинейныл1 преобразованием, если пространства .У и У совпадают. Пример 1. Пусть Л фиксированное число.
Сопоставим канедому вектору л простраиства,У вектор Лщ. Легко видеть, что зто "- линейное преобразование. П р и м е р 2. При аффиииом преобразовании плоскости двумерное пространство векторов, иа ией лежащих, отображается само иа себя. В силу формул (11) ~ 2 гл. 1Ъ' --- зто линейное преобразование. П р и м е р 3. Выберем в п-меркам линейном пространстве К какой- нибудь базис. Это сопоставит каждому вектору его координатный столбец и тем определит линейное отображение пространства К в п-мерное арифметическое пространство (пространство столбцов).
Пусть 2е ". вещественное пространство. Сопоставляя каждому вектору его первую компоненту в выбраяиом базисе, мы получаем ли- ИЕйИОЕ ОтабраянЕИИЕ .2е В ЛИНЕИНОЕ ПрОСтраНСтВО ВЕщЕСтВЕННЫХ чисел. Пример 4. Пусть С [ — 1,1] и Со[0,2] пространства функций, непрерывных соответственно па отрезках [-1,1] и [0,2]. Сопоставим функции 7"(1) из первого пространства функцию со(е) = 7"(е — 1) из второго. Это отображение, очевидно, является линейным.
Пример преобразоваиия можно получить, если сопоставить функции из С [ — 1, 1] ее первообразцую Г(1), удовлетворяющую условию Е(0) = О. Пример 5. Рассмотрим и-мериое арифметическое простраиство ое" и прямоугольиую матрицу А размеров ьч х и,. Сопоставим 172 1л. е1. Линейные пространства столбцу ~ Е з1'" столбец А(. Он имеет высоту гн. Таким образом, определено отображение Фн в йг""'. В силу свойств умнозкения матриц это отображение линейное. Пример 6. Отображение, сопоставляюшее каждому вектору из У нулевой вектор из ед', является линейным.
Оно называется нулевьм отображением. В дальнейшем в этом параграфе и и т будут обозначать размерности пространства .2' и,У соответственно. Из определения немедленно вытекает, что при линейном отображении линейная комбинация векторов переходит в таку1о же линейную комбинацию их образов. Нулевой вектор переходит в нулевой, поскольку А1о) = А(Ох) = = ОА1з) = о. 10братим внимание, что нулевые векторы пространств 2' и У' мы обозначаем одинаково.) Из сказанного следует, что при линейном отображении линейно зависимые векторы отображаются в линейно зависимые. Как показывает пример 6, обратное вовсе не обязательно верно. Предлозкение 1. При линейном отображении А: 2' — ь 2' линейное надпространство К' С 2' переходит в линейное надпространство А1.ел") С У, причем г11ш А1.з ) ( с1пп ел".
Для нулевого подпространства утверждение очевидно. Рассмотрим надпространство 2' размерности й > О. Пусть еы ..., еь базис в 2 . Для любого вектора з Е 2ы имеем т = ~'е, + ... + ~ьеь и А1х) = А(~'е1+ ... +Сиен) = С'А1ег) + ... + С~А1еь). Г2) Это означает, что произвольный элемент множества А1.У') образов всех векторов из .2" есть линейная комбинация векторов А(ег),... ..., А1еь). Наоборот, каждая такая линейная комбинация, очевидно, является образом вектора из К'.
Итак, множество А(.хы) линейная оболочка А(е1),..., А1еь), и, следовательно, есть подпространство. Размерность его не превосходит й в силу предложения 1 2 2. Необходимо отметить частный случай доказанного предложения: множество образов всех векторов из .2' является подпространством А1.л') в .~. Оно называется множествам значений отображения и обозначается 1ш А. О п р е д ел е н и е. Размерность множества значений отображения называется рангол~ отображения.
Если ранг А равен т, то А(.К) совпадает с 9', и каждый вектор из .2' является образом некоторого вектора из 2'. Отображение, обладаюшее этим свойством, называется сюраентивныл~ отображением. Определение. Ыножество векторов, отображаюшихся в нулевой вектор при отображении А, называется ядром отображения А и обозначается Кег А. Предложение 2. Ядро есть линейное надпространство в И'. 4о. Линейные отображения 773 2. Координатная запись отображений. Рассмотрим линейные пространства х' и г" размерностей п и т и линейное отображение А: г' -ь х'. Пусть еы ...,е„ базис н г'.
Тогда образ произвольного вектора х = С'ег + ... + С "е„раскладывается в линейную комбинацию А(х) = С~А(е~) + ... + СеА(ен). (3) Значит, А(х) может быть найден по координатам х, если известны образы базисных векторов А(ег), ..., А(е„). Выберем также базис в пространстве Г. Пусть это Г = ~~. Каждый из образов базисных векторов мы можем разложить по Г: А(ее) = ~~~ пег"„(1 = 1, ..., и). р — г Если компоненты вектора А(х) мы обозначим через д',...,7~'", то равенство (3) может быть переписано так; ьр Отсюда в силу единственности разложения по базису и й = ~~' О;ь ф= 1,...,7п). о=1 (4) Действительно, ндро не пусто: оно во всяком случае содержит нулевой вектор.
Далее, если А(х) = о и А(у) = о, то А~ох + Ду) = = оА(х) +,ЗА(у) = о. Пусть ядро А ненулевое: гйш КегА > 1. Тогда каждый вектор из А( х") имеет бесконечно много прообразов. Действительно, если у = = А(х) и о ф хо Е Кег А, то А(х + хо) = у. Верно и обратное утверждение: если какой-то нектар р Е,его имеет хотя бы два различных прообраза, то ядро А содержит ненулевой вектор. Действительно, если А(х1) = А(хз) = ф для хг ф хг, то А(х1 — хг) = о и г = х7 — хз ненулевой вектор в ядре. Отображение, при котором различные векторы имеют различные образы, называетсн инаективним отображением. Итак, получено Предложение 3.
Отображение инаективно тогда и только тогда, когда его ядро — нулевое подпространство. Если отображение инъективно, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, пусть образы векторов хы ..., хь линейно зависимы; оп А(хг) + ... + оьА(хь) = о. Тогда А(о~ хг -Ь ... + оьхь) = о. Отсюда для инъсктивного отображения получаем еегхг + ... + оьхь = о, и, следовательно, хы ...,хь линейно зависимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
