Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. расположенная на главной диагонали. Пусть теперь,2' разложено в прямую сумму ь инвариантных подпространств 2' = 2'1 82 ... й .2', размерностей д1,...,д,, и в качестве базиса выбрано объединение базисов этих подпространств. Тогда в матрице преобразования могут отличаться от нуля только элементы квадратных клеток порядков д1,...,д, на диагонали: А1 О (3) Такие матрицы называются клеточно-диагональнылнз или блочно-диагональныльи. Итак, имеет место Предложение 2. Матрица линейного преобразования является клеточно-диагональной тогда и только тогда, когда базис есть Гл. У1.
Линейные пространстве 182 объединение базисов инвариактных надпространств. Преобразование А каждому вектору из инвариантного подпространства К' сопоставляет вектор из .х". Этим определено преобразова! НИЕ Педцреетрацетна,'г', КОтОрОЕ МЫ НаЗОВЕМ ОграяиЧЕниЕЛ1 А На гд' и обозначим А'.
Для векторов из г по определению А'(х) = А(х), а для векторов, не принадлежащих,2", преобразование А' не определено. А' отличается от А только тем, что оно преобразует хл и К', а це 2' н гг' Если сохранить обозначения, введенные выше, то нетрудно заметить, что в базисе ез,...,еь подпространстэа У" матрицей ограничения А' является клетка .41 матрицы (2). Иннариантные подпространства преобразования А тесно связаны с преобразованиями, перестаноночпыми с А. Эту связь описывает Предложение 3.
Если преобразования А и В аерестаковочны, то ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другогв. Доказательство. 1'. Если х Е КегА, то 4(х) = о, и потому В(А(х)) = о. Тогда А(В(х)) = о, а значит, В(х) Е КегА.
2'. Если х Е 1га А, то существует вектор г такой, что х = А(г). Тогда В(х) = В(А(г)) = 4(В(г)). Это означает, что В(х) Е 1шА. 4. Собственные подпространстна. 11ы найдем надпространство, инвариантное относительно заданного линейного преобразования А, если найдем преобразование, перестаноэочное с А и имеющее ненулевое ядро. Перестановочны с А прежде всего многочлсны от А и, и частности, простейшие из них линейные. С точностью до числового множителя линейному многочлену от А можно придать нид А — ЛЕ, где Л .-.
некоторый коэффициент. Определение. Если для числа Л подпространстно Кег(4 — ЛЕ) ненулевое, то Л называется свбстввккыл значением преобразования, а подпространство собственным подарос аранствол, соответствующим (или принадлежащим) собственному значению Л. Отметим один важный частный случай. Если преобразование А имеет ненулевое ядро, то это ядро собственное подпространстэо, соответствующее собственному значению Л = бч Ограничение А на этом инвариантном подпространстне нулевое преобразование. Если вектор х лежит в собственном подпространстве, то для него (А — ЛЕ)(х) = о или А(х) — ЛЕ(х) = А(х) — Лх = о и, окончательно, (4) А(х) = Лх. Отсюда следует Предложение 4. Ограничение преобразования яа собственном подпрвстранстве является или кулевь м преобразоваяиелй или гомотетией: вно умножает каждый вектор этого пвдпространства на собственное значение.
гг. Задача о собсп1венкых век ~орах 183 Пусть нам каким-то образом удалось найти собственные значения преобразованин А. Тогда для нахождения собственных подпространств нужно для каждого собственного значения Л составить систему линейных уравнений (А — ЛЕ)ц = о, (5) где А матрица преобразования в некотором базисе е. Фундаментальная система решений системы (5) состоит из координатных столбцов векторов, составляющих базис собственного подпространства. В развернутом виде система (5) записывается так: (о11 — Л)51+ ог1~2 + ... + о1,5п = О, 11'-„15' + (о. '— Л) Ез + ... + о'„5" = О, (6) оп(1 + оп~2 + + (оп Л)чхп О Определение.
Вектор х пазьлвается собственным вектором преобразования А, соответствующим (или принадлежащим) собственноьлу значению Л, если: 1) х ~ о: 2) А(х) = Лх. Определение означает, что собственные векторы "-- это ненулевые векторы собственных подпространств. Предложение 5. Собственные векторы и только они являются базиснь1ми векторами одномерных подпространств., инвариантных относ1лтельно А. Доказательство.
1'. Пусть вектор х собственный, а у принадлежит одномерному подпространству .У с базисом х. Тогда у = глх и А(у) = оА(х) = оЛх. Значит, А(у) лежит в х . 2'. Пусть х -- базис инвариантного надпространства .х". Тогда А(х) лежит в К' и раскладывается по базису: А(х) = Лх. Так как х ~ о, он собственный. Следствие.
В собственном подяространстве через каждый вектор проходит одномерное инвариантное подпространство. Предложение 6. Вл-м столбце матрицы линейного преобразования все элементы еке главной диагонали равны нулю тогда и только тогда, когда 1'-й базисный вектор собственный. В этом случае диагональный элемент столбца . собственное значение.
Действительно, если базисный вектор ел собственный, то А(е1) = = Лел, и поэтому 1-й элемент координатного столбца вектора А(е,) равен Л, а остальные элементы равны нулю. Остается вспомнить, что координатный столбец А(е,) есть 1-й столбец ллатрицы преобразования. Обратное утверждение доказывается аналогично. 5. Характеристическое уравнение.
Выберем базис и обозначим через А матрицу линейного преобразования А в этом базисе. Тогда преобразование А — ЛЕ имеет матрицу А — ЛЕ, и согласно пред- 1л. ьЛ. Линейные пространство 184 ложению 5 '8 3 его ядро отлично от нуля тогда и только тогда, когда а — Л ь ь 2 ь ! сь22 Л 1 сгп сьп = О. (7) с1еь(А — ЛЕ) = с1ес ь 2 '" и Равенство (7), рассматриваемое как условие на Л, называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни характеристическими числами матрицы А. Разумеется, в вешественном пространстве в качестве множите.чей допускаются только вешественные числа, и собственные значения должны быть вещественными.
В соответствии с этим имеет место Теорема 1. В комплексном пространстве все корни характеристического уравнения и только они являются собственными значениями. В веосественном пространстве то же справедливо для веиьественнььх корней характеристического уравнения. Левая часть характеристического уравнения представляет собой многочлен степени и. Действительно, согласно формуле полного разложения (10) 84 гл. з' детерминант равен алгебраической сумме произведений, в каждое из которых входит по и элементов матрипы. Содержат Л только элементы, стоящие на главной диагонали.
Существует одно произведение (аз — Л) 1сь2 — Л)... (о'„' — Л), ь8) в котором все сомножители содержат Л. Если н какое-нибудь другое произведение вошел сомножитель сь,' (з ф ь), то в него не могут войти сомножители (сь', — Л) и (оз — Л). Поэтому каждый член суммы, кроме (8), содержит Л в степени не выше, чем и — 2.
Раскрывая скобки в выражении (8), выпишем два члена со старшими степенями Л; 1-1)" Л" + 1-1) и-ь « ', + .', + ... +,",) Л"-' Эти же члены будут старшими ьзо всем многочлене. Сьзободный член многочлена равен его значению при Л = О, а это значение равно с1еЬЬА — ОЕ) — с1ес А. Таким образом, с1сьЬА — ЛЕ) = Ь' — 1)пЛп -ь ( — 1)" 'Лп ' ~ ~о', + ... +с1ссА, (9) Этот многочлен называется характеристическиль многочленом матрицы А. Остальные его коэффициенты находить не будем, так как они нам не потребуются. ьь1ногочлен степени и, как известно, не может иметь больше, чем и различных корней и всегда имеет хотя бы один комплексный корень.
Если мы рассматриваем вешественное пространство, то может случиться (при четной размерности), что характеристическое уравнение не имеет ни одного нещественного кор- З1. Задача в евбепсвенкых век ~арах сад ня, и, следовательно, линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных надпространств. Примером может слунсить поворот плоскости. В комплексном пространстве и в вещественном пространстве нечетной размерности каждое линейное преобразование имеет хоть одно собственное значение и хоть одно собственное надпространство. Предложение 7. Если А и А' — матрицы линейного преобразования А в разных базисах, то характеристаические многонлекы этих матриц совпадакст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
