Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, надпространство является линейным пространством. П р и м е р 1. Пусть дано некоторое множество Я векторов в линейном пространстве .2'. Обозначим через .К совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов из пл.
Множество 2' является полпространством |бб 1л. Рй Линейные пространства в У. Действительно, если х и у принадлежат У~, то з. = Л|р| + ... ... + Льрь и у = у|у| + ... + рту„„, где р, у С г|л 11 = 1, ..., й; 1 = = 1, ...,|п). Мы видим, что х+ у = ~~| Л,р, + ~~| и, дз, т. е. х+ у также является линейной комбинацией конечного числа векторов из,У. Точно так же мы видим, что ох = ~~| 1оЛ,)р,. Так построенное подпространство .2'~ называется линейной оболочкой множества Я. Пусть р|, ...,р . - линейно независимая систем|а векторов из ээ такая, что каждый вектор из,У по ней раскладывается. |1Если пространство конечномерно, то очевидно, что в каждом множестве, содержашем ненулевые векторы, такая система найдется.) Векторы р|, ...,р„„образуют базис в линейной оболочке М.
В самоы деле, каждую линейную комбинацию векторов из Тг можно представить как линейную комбинацию векторов р|, ..., р„, так как каждый вектор из Я можно разложить по р|, ..., р„и подставить эти разложения в рассматрииаемую линейную комбинацию. В частности, осли,У конечное множество векторов, мы имеем Предложение 1. Размерность линейной оболочки множества из т, ветпоров не превосходит т. Пример 2. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с п неизвестными.
Согласно предложению 3 ~ 6 гл. Л' совокупность всех решений этой системы представляет собой подпространство в линейном пространстве столбцов высоты и. Каждая фундаментальная система решений этой системы уравнений является базисом в этом подпространстве. Пример 3. В каждом линейном пространстве множество, состоящее только из нулевого вектора, является подпространством. Оно называется нулевым. П р и и е р 4. Все пространство,са является подпространством в,.К. Предло|кение 2. Пусть гн — надпространство п-мерного пространства 2а.
Тогда |Вш г" ( и. Если |Вп| г = и, то гн совпадает с 2'. Действительно, любая система из и| > и, векторов в.2а' лежит также и в 2' и потому линейно зависима. Пусть базис в .2" содержит п нектаров. Тогда любой вектор из гс' раскладывается по этому базису и, следовательно, принадлежит 2а . Значит, .2' совпадает с .гг'. Сформулируем еше одно достаточно очевидное Предложение 3. Пусть .гы - - надпространство и-мерного линейного пространства 2'. Если базис е|, ....,еь в.х" дополнить до базиса е|, ...,еь,еьаы ...,е„в.2', то в таком базисе все вектоРы из.гг' и только они будут иметь компоненты ~ь+' = О, ..., ~" = О. Действительно, если для вектора х имеем ~ь'ы = ...
= са = О, то х = ~'е| + ... + (ьеь и, следовательно, х Е 2Ы. Обратно, вектор Г2. Линейные ~вдаровтранства 767 из хы раскладывается в линейную комбинацию х = ~'еь + ... + Сьев. Она же есть разложение х по базису еы ..., е„при Сьт' = ... = Св = О. Заметим, что равенства С "+' = О, ..., .(и = О можно рассматривать как систему линейных уравнений, свнзывающую координаты вектора х. Нетрудно доказать, что и в любом друтом базисе К определяется системой линейных уравнений. Действительно, при замене базиса старые компоненты выражаются через новые по формулам (5) ~ 1, и в новом базисе система уравнений примет вид ~аь+~с = О, ..., ~,"с = О. з=.1 ~=1 Ранг этой системы ранен п — й, поскольку строки матрицы перехода линейно независимы.
Итак,мы доказали Предложение 4. Пусть в и-льврном пространстве .У выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих к.-мерному надпространству хы (й ( п), удовлетворяют однородной системе линейных уравнений ранга п — Е 2. Сумма н пересечение надпространств. Рассмотрим два надпространства .х' и .К линейного пространства .К. Определение.
Будем называть суммой надпространств и .2"' и обозначать вы+ х'" линейную оболочку их объединения .У' О .У". Подробнее определение означает, что вектор х из.х" + .х'" (и только такой) представим в виде х = ~~ озр, + ~~~ Дзуз, где векторы р, лезкат в хз, а вз --- в.2"'.
Обозначая написанные выше суммы через х' и х",мы видим, что надпространство х' + х' состоит из векторов, представимых в виде х = х'+ х", где х' й .х', а хи с .'ь" . Пусть размерности надпространств .х" и хы' равны й и Е Выберем в этих подпространствах базисы еы ..., ез и 1ы ..., 1п Каждый вектор из ьз + ьл раскладывается по векторам еы ..., еы Ты ..., ~п и мы получим базис в .гз' + хв, если удалим из этой системы все венторы, которые линейно выражаются через остальные.
Сделать это можно, например, так. Выберем какой-либо базис в.2' и составим матрицу из координатных столбцов всех векторов еы ..., еь, 1ы ..., 7ь Те векторы, координатные столбцы которых базисные столбцы этой матрицы, составляют базис в Ел + У". Определение. Назовем пересечением надпространств гв" и "' 1 в и обозначим .г' О .х' множество векторов, которые принадлежат обоим подпространствам. Пересечение Х' О 'ь" есть надпространство. Действительно, нулевой вектор лежит во всех подпространствах и, следовательно, пересечение не пустое множество.
Если векторы х и у лежат в х П .х'", 168 1л. г1. Линейные пространства то они лежат как в х~, так и в .У~~. Поэтому вектор х+ у и при любом гз вектор ох также лежат и в х", и в У", а следовательно, и в .У' й.УО. В конечномерном пространстве надпространства могут быть заданы системами линейных уравнений. Тогда их пересечение задается системой уравнений, получаемой объединением систем, задающих надпространства. Для в > 2 надпространств .У ,..., г' сумма и пересечение опре- 1 деляются аналогично, и полученные выше свойства переносятся на суммы и пересечения з надпространств.
В частности, суммой надпространств У", ...,.2" называется линейная оболочка их объединения. Это множество всех векторов, представимых в виде суммы хз + ... + х„где х, Е К' (1 = 1, ..., в). Каждый из векторов х,, может быть разложен по базису в своем подпространстве .х", и потому любой вектор из суммы х', ..., х раскладывается по системе векторов, получаемой объединением базисов всех поцпространств. Число векторов в этой системе равно Впп 2" + ... + сйш 2". Поскольку векторы всех базисов в совокупности могут быть линейно зависимыми, размерность суммы надпространств может оказаться меньше общего числа векторов в системе: (Пп1(,гго + + 2гз) < д1пз,у1 + + д1П1,2'3 Базис в сумме надпространств получается., как и при з = 2, из объедипенин базисов слагаемых удалением векторов, линейно выражающихся через остальные. Определение.
Сумма надпространств у',..., гл" называется прямой суммой, если ее размерность равна сумме размерностей этих надпространств, т. е. имеет максимальное из возможных значений. Если надо подчеркнуть в обозначении, что сумма прямая, то используют знак й. Прибавление нулевого надпространства не меняет ни размерность суммы, ни сумму размерностей. Но ниже мы будем считать надпространства ненулевыми, чтобы избежать оговорок, вызванных несуществованием базиса в нулевом нодпространстве. Предложение 5. Для того чтобы сумма 2" падпрвстранств .2', ..., х' была прямой суммой, нвобхадилю и достаточно выполнение любого из следующих четырех свойств: а) любая система из т < в ненулевых векторов, принадлежащих различным подпрастранствам У' (1 = 1, ..., з), линейно независил~а; б) каждый вектор х Е хг' однозначно раскладывается в сумму хг + ...
+ х„где х, е .У' (з = 1, ..., 8); в) пересечение каждого из надпространств 2' с су май остальных есть нулевое подпространство; 9 е. Линейные подпространсо~ва г) объединение базисов подпространста хн 11 = 1, ..., ь) есть базис о 2'. Доказательство. Мы докажем, что из определения прямой суммы следует свойство а), и каждое из свойств б), в) и г) следует из предыдущего. Поскольку из свойства г) непосредственно следует определение прнмой суммы, это будет означать равносильность каждого из свойств определению. 1. Докажем от противного, что из определенин следует свойство а). Допустим, что нашлась линейно зависимая система ненулевых векторов х„, ..., х,;„, таких, что никакие два из них не лежат в одном и том же подпространстве 2' .
Дополним каждый из этих векторов до базиса в его подпространстве, а в тех подпространствах, из которых в системе векторов нет, выберем базис произвольно. Объединение этих базисов система из й = г1пп К -Ь ... + гПш У' векторов. Каждый вектор из .2' раскладывается по этой системе, но система эта линейно зависима (так как она содержит линейно зависимую подсистему). Поэтому базис в .х" содержит меньше, чем й векторов, и размерность суммы меньше суммы размерностей. 2.
Докажем, что из свойства а) следует свойство б). Допустим, что б) не выполнено и некоторый вектор х представлен как сумма х = = тл + ... + тз и как сумма х = дг + ... + д„где х„д, Е .хн (1 = 1, ..., з). Тогда (хг — дг) + ... -ь (х, — д,) = о. Если хоть одна из разностей отлична от нуля, мы получаем противоречие со свойством а). 3. Докажем теперь также от противного, что из свойства б) следует в). Не уменьшая общности, мы можем допустить, что .2' игиеет 1 9 ненулевое пересечение с суммой .У + ... + х'. В этом случае существует ненулевой вектор = хг Е 2', представимый в виде суммы ха + ...
+ х,. Но равенство хл = ха + ... + х, означает, что е двумя способами представлен как сумма векторов, выбранных по одному из каждого Ъп'. 4. Докажем, наконец, что из свойства в) следует г). Рассмотрим систему векторов, получаемую объединением базисов надпространств .2п (з', = 1.....,з). Каждый вектор из суммы У" обязательно раскладывается по этой системе, и нам остается доказать, что при условии в) эта система линейно независима. Сделаем это от противного. Допустим, что существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация всех векторов, входящих в рассматриваемые базисы надпространств,х" (1 = 1, ...,з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
