Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Теперь мы займемся изучением систем из т уравнений с я неизвестными. Систему 1 1 1 1 а+ 1 1 н и1 „зх1+ „9 9+ + „9 о бг а"'х' + а!,"ха+ ... + отх" = Ь"' и 150 Гм Г Матрицы и системы линейных уравнений л1ы можем кратко записать в виде Ах = Ь. (1) Система задаетсл своей расширенной матрицей А*, получаемой объединением матрицы системы А и столбца свободных членов Ь.
Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы (1), дает следующая теорема, называел1ан теоремой Кронекера -Капелли. Теорема 1. Система линейных уравнений совл1естна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице А размеров т х п столбпа Ь высоты т не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец линейная комбинация столбцов А. Докажем это. Если КяА* = КяА, то базисный минор А нвлнется базисным и для А'.
Следовательно, Ь раскладывается по базисным столбцам А. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов А, добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами. Обратно, если Ь раскладывается по столбцам А, то элементарными преобразованиями столбцов можно превратить А' в матрицу Ао, получаемую из А приписыванием нулевого столбца.
Согласно предложению 2 з 3, КяАе = КяА*. С другой стороны, КяАе = КяА, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда Кй А = Кя А', каь и требовалось. Предложение 1. Пусть матрица А* приведена к упрощенному виду с пол1ощью элементарных преобразований строк. Система (1) несовместна тогда и только тогда, когда в упрощенную матрицу входит строка !) О .. О 1 й.
Д о к а з а т ел ь с т во. Пусть рассматриваемая система не совместна, и Кя А' > Кя А = г. В упрощенном виде матрицы А последние гп — г строк нулевые. Последний столбец матрицы А' должен быть базисным, и в упрощенном виде матрицы А* последний столбец--- г + 1-й столбец единичной матрицы. Поэтому г + 1-л строка этой матрицы есть )! О ... О 1 (!.
Обратно, если в матрице содержится такая строка, то последний столбец не может быть линейной комбинацией остальных, и система с упрощенной матрицей несовместна. Тогда несовместна и исходная система !предложение 3 1 5). Иначе это предложение можно сформулировать так. Следствие.
Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство О = 1 является линейной комбинацией ее уравнений. Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы можно выразить, понимал ранг матрицы как строчный ранг. Это принедет 4 б. Системы линейных уравнений (общая теория) нас к важной теореэ1е, известной как теорема Фредгольма. Транспонируем матрицу А системы (1) и рассмотрим систему из п линейных уравнений а1у1 + а1уг + ..
+ а1 у„, = О, 1 2 Л1 агу1+агуг+ ... +аз у = О, 1, 2, т (2) а',у1+агуг+ ., +а'„"у = О с т неизвестными, матрицей Ат и свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для систел1ы (1). Если у столбец высоты т. из неизвестных, то систему (2) можно записать как Агу = о, или лучше в виде у А=о, (3) где о -- нулевая строка длины и. Теорема 2. Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетвор ло уравнению у'Ь = д, б1 + ...
+ у Ь'" = О. (4) Доказательство. 1'. Пусть система (1) совместна, т. е. существует столбец х высоты п, для которого Ах = Ь. Тогда для любого столбца у высоты 1п выполнено угАх = утЪ. Если у решение систелвы (3), то у1Ь = (у~А)х = ох = О. 2'. Предположим теперь, что система (1) несовместна. Тогда согласно предложению 1 строка д О ... О 1 й входит в упрощенный вид расширенной матрицы А' = й А ~ Ь й и, следовательно, является линейной комбинацией ее строк. Обозначим коэффициенты этой линейной комбинации у1,...,у и составим из них столбец у. Для этого у"йА~Ь|~ = йо ... 1й (предложение 1 Ч 2).
Это же равенство можно расписать как два: уй А = о и узЬ = 1. Итак, нам удалось найти решение системы (3), не удовлетворяющее условию (4). Это заканчивает доказательство. В качестве примера применим теорему Фредгольма к выводу условия параллельности двух различных прямых на плоскости. Их уравнения составляют систему А1У + В1у + С1 = О, Азк + Вгу + Сз = О Она не имеет решений, если существуют такие числа у1, дг, что д1А1 + угА2 = О, д1В1 + даВ2 = О, но д1С1 + дгС2 т'-' О. Ясно, что д1 и уг не равны нулю. Поэтому можно положить Л = — у /д1 и записать полученное условие в видо; существует число Л такое, что А1 = = ЛА2, В1 = ЛВ2 и С1 у': ЛС2. В таком виде условие нам известно из предложения 7 2 2 гл.
П. 1З2 1л. Г Матрицы и системы линейцън уравнений 2. Нахождение решений. В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из 1п линейных уравнений с п неизвестными. Ранг матрицы системы обозначим г. Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен 1, мы можем считать базисные столбцы матрицы системы базисными столбцами расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями строк приведем расширенную матрицу к упрощенному виду (предложение 6 23). Наша система линейных уравнений перейдет в эквиналентную ей систему из г линейно независимых уравнений.
Для удобства записи аудем предполагать, что первые г столбцов базисные. Тогда преобразованную систему можно записать е ниде д1 ~, 1 .~--~-~ + + 1 в) (5) дв ( ~ ~';1+ + в .в) ~-~1 в Здесь о' и Д' элементы преобразованной расширенной матрицы. В левых частях равенств мы оставили неизвестные, соотяетстнующие выбранным нами базисным столбцам, так называемые базисные неизвестные.
Остальные неизвестпыс, называемые параметрическими, перенесены в правые части равенств. Как бы мы ни задали значения параметрических неизпестных, по формулам (5) мы найдем значения базисных так, что они вместе со значениями параметрических неизвестных образуют решение системы (1). Легко видеть, что так мы получим все множестно решений. На формулах (5) можно было бы и остановиться, но ниже ьлы дадим более простое и наглядное, а также принципиально важное описание совокупности решений системы линейных уравнений. 3.
Приведенная система. Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентон: Ах = о. Ж По отношению к системс (1) она называется приведенной. Предложение 2. Пусть хо решение систел1ы (1). Столбец х также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (6), что х = хо + у. Доказательство. Пусть х решение системы (1). Рассмотрим разность у = х — хо. Для нее .4у = .4х — Ахо = Ь вЂ” Ь = о. Обратно, если у --- решение системы (6)., и х = хо + у, то Ах = = Ахо + Ау = Ь+ о = Ь.
Это предложение сводит задачу описания множестна решений совместной системы линейных уравнений к описанию множества решений се приведенной системы. Однородная система совместна. Действительно, нулевой столбец является ее решением. Это решение назынается триви льным.
Пусть столбцы матрицы А линейно незанисимы, т. е. ВяА = и. У 6. Системы линейных уравнений (обтал творил) ь53 Тогда система (6) имеет единственное решение (предложение 2 у 5) и, следовательно, нетривиальных решений не имеет. Предложение 3. Если хь и хз решения однородной системьц то любая иг линейная комбинация таклсе решение этой системы. Действительно, из Ах, = о и Аха = о для любых о и Д следует А(ох1 + Дхг) = оЛх~ + ПАхз — — о.
Если однородная система имеет нетривиальные решения, то можно указать несколько линейно независимых решений таких, что любое решение является их линейной комбинацией. Сделаем это. Определение. Матрица Г, состояшая из столбцов высоты и, называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, .если: а) АР=О; б) столбцы Г линейно независимы; в) ранг Г максимален среди рангов матриц, .удовлетворяюших условию а). Столбцы фундаментальной матрицы называются у1ундаментальной системой решений. Если фундаментальная матрица сушествует, то каждый ее столбец в силу условия (а) "-.
решение системы. Если система не имеет нетривиальных решений, то фундаментальной матрицы пот. Это будет в том случае, когда столбцы А линейно независимы: ВяА = и. Ниже мы докажем, что в остальных случаях фундаментальная матрица сушествует, но сначала выясним, что означает третье условие в определении. Предложение 4.
Пусть А матрица размеров т х и и ранга г. Если АГ = О, то Вя Г < п — г. Доказательство. Приведем матрицу А к упрошенному виду элементарными преобразованиями строк, а затем элементарными преобразованиями столбцов обратим в нулевые все пебазисные столбцы. Мы получим матрицу А' = РЛО, где Р и О произведения соотнетствуюших элементарных матриц. Первые г строк А'— строки единичной матрицы порядка п, а остальные нулевые. Обозначим Г' = Я 'Г. Тогда ВК Г' = ВК Г. Используя предложение 1 ~ 2, легко заметить, что первые г строк матрицы Л'Г' совпадают с первыми г строками Г'. Но Л'Г' = РАГ = О и, следовательно, Г' содерзкит г нулевых строк. Так как всего в ней и строк, Вй Г' < п, — к Это равносильно доказываемому утверждению.
Покажем теперь, как может быть построена фундаментальная матрица. Согласно предложению 1 ~ 5, решение однородной системы состоит из коэффициентов равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы системы. Мы можем получить такие линейныо комбинации, основываясь на теореме о базисном миноре. Снова для удобства записи будем считать, что в гиатрице А первые г столбцов базисные. Каждый из небазисных столбцов а, 0 = г+ 1, ..., и) раскладывается Гл. Г Матрицы и системы линейньи уравнений ш4 по базисным а.
= о а1 + ... + о'а,. (7) Отсюда следует, что столбец ~~ — о1 ... — о" О ... О 1 О ... О~~ является решением. (Единица в нем стоит на аахм месте.) Таких решений можно составить столько, сколько есть небазисных столбцов, т. е. и — г. Убедимся в том, что эти решения линейно независимы. Для этого объединим нсе столбцы в одну матрицу 1 1 1 о ьг О~ -1-1 Ов-Ьг "' Оп 1 О ... О О 1 ... О (8) О О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
