Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Допустим, что формула верна для матриц порядка и — 1, и докажен1 ее для произвольной матрицы А порядка и. Напишеь| разложение Пес А по первой строке: 11е1А = ~( — 1) 41а1ьд11. 111) 1=1 В й-е слагаемое этого разложения входит множитель д1ы равный детерминанту подматрицы Р1ь. Порндок этой матрицы п — 1, и по предположению индукции д11 = 11етРеь = ~ 1 — 1) "' " ь"-Наз„аз ...ав., нйо,ь„й (ч,",1 — ~ ) Здесь все номера 11, ...,ги 1 отличны от й, а первые индексы у сомножителей равны 2, ..., и, так как, сохранял старые обозначения длн элементов матрицы .4, мы должны учесть, что в Р,1. не входят первая строка и й-й столбец.
24. Детерминанты 145 Теггерь в й-м слагаемом формулы (11) можно внести множитель ( — 1)ьж'ага под знак суммы и записать это слагаемое так: ( 1) а гг — Х~' ( 1) асйагг агг ".ащ Числа й, гс, ..., с„г образуют перестановку чисел 1, ..., и, причем гу'(й,гч, ...,ги г) = Х(гС, ...,ги С) + й — 1г так как правее й стоит ровно й — 1 чисел, меньших й.
Следовательно, Х(йггм ..., г'„с) имеет ту же четность, что и Х(гс, ...гг„с) + й+ 1, и мы имеем ( — 1) ' агьагсь = ~ ( — 1) гьз""'м ггаслагг,азгг...а„г„ ггг,,г,. гг В правой части втого выражения собраны все те члены из суммы (10), которые соответствуют перестановкам, имеющим й на первом лгесте. В сумму (11) входят слагаемые для любого й, и потому сумма (11) содержит все члены суммы (10) и, конечно, не содержит никаких других членов. Этим формула полного разложения доказана. Упражнения 1. Пусть А квадратная матрица порядка и.
Выразите бесо.4 через бес А. 2. Пусть А квадратная матрица порядка 2и+ 1, и Ат = — А. Докажите, что гсеС А = О. 3. Докажите, что детерлгинант аюбой треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 4. Вычислите 1 О 8 1 1 4 О 3 2 О 9 3 1 5 4 1 б. Матрица А порядка и содержит нулевую подматрицу размеров ги х й, причем т+ й > и. Докалгите, что йес А = О. 6. Пусть матрица Р порядка и разделена на 4 подматрицы так: О+С Здесь А и С - квадратные матрицы порядков й и и — й, а О нулевая матрица размеров (и — й) х й.
Докажите, что бес Р = йсс, А с1ес С. 7. К каждому элементу матрицы А прибавлено одно н то же число С. Пусть получившаяся матрица А(С). а) Докажи~с, что <1еС А(С) = йС+ 6, где й и 5 пе зависят от С. б) Найдите й и Ь. 8. Вычислите детермиаант порядка и: 2 1 1 — 1 2 1 — 1 — 1 ... 2 1 — 1 — 1 ... — 1 2 10 Д.В. Беклемишев 1л. 11. Матрицы и системы линейных уравнений 9. Даа квадратных многочлеаа ах- + Ьт, + с н охи + дх + т, имеют общий корень. Дока1кнте, что а Ь О а о О а с О с О д 10.
Сколько нарушений порядка в перестановке (5, 4, 3, 2, 1)2 О 5. Системы линейных уравнений (основной случай) 1. Постановка задачи. Систему ураннений вида а1х' -Ь а1хл -1- ... + а'„хи = Ь1 1' 2 "' и 1122.1 + а222 + + а2хи Ь2 1 2 атт1 + атХ + + а паи Ьп1 2 мы будем называть системой т линейных уравнений с и нвилввсгпными х1, ..., хи. Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы 1 1 1 а1 ал,..
аи ат ат ат 1 2 '" и а1 а1 ... а1 Ь1 1 2 "' и . т ат аи1 Ьи1 1 2 "' и Коли свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной. Определение. Совокупность п чисел о~, ...,ои называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в ЧИСЛОВОЕ РаВЕНСтВО ПОСЛЕ ПОДСтаНОВКИ В НЕГО ЧИСЕЛ 111,..иаи ВМЕСТО соответствующих неизвестных х', ..., хи.
Пользуясь определением линейных операций со столбцами, мы люжем записать систему (1) в виде а' 1 1 аи Ь' х 11 2п 1 ат и Ьгп называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец 12, называемый столбцом свободных членов. Матрица системы, дополненная справа столбцол1 свободных членов, называется расширенной матрицей системы и в этой главе обозначается А': уй. Системы линейных уравнений 7основной случай) 447 (пример 1 01) или, короче, х, а1+...+х"а„=Ь, где ам ..., ао столбцы матрицы системы, а Ь столбец свободных членов. Отсюда сразу нытекает следующая интерпретации решения системы линейных уравнений.
П р е д л о ж с н и е 1. Решение системы линейных уравнений это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцалз матрицы системьь Используя умножение матриц, можно записать систему (1) еще короче: .4х=Ъ (приьзер 1 0 2).
Выбор обозначений определяется решаемой задачей. Наша цель состоит в нахождении всех решений системы (1), причем мы не делаем заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и неизвестных. Поатому могут представиться различные возможности.
Система может вообще не иметь решения, как система х'+х- = 1, х+х =О, определяющая две параллельные прямые. Система может иметь бесконечное множества решений, как система (п = 2, т = 1) х' + хз = О, решением которой является любая пара чисел, равных по модулю и отличающихся знаком. Примеры систем, имеющих одно-единственное решение, в изобилии встречаютсн в школьном курсе. Системы, имеющие решения, называются совместными, а не имеющие решений —.
несовместнылш. Как следствие предложения 1 и предложения 6 Ч 1 мы получаем Предложение 2. Если столбцы матрицы системы линейно независимьц то систел7а не может иметь двух различных решений: она или несовместна, или имеет единственное решение. Основным средством исслодованин и решенин систем линейных уравнений для нас будут элементарные преобразования матриц. Причину этого показывает Предложение 3. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы (1) соответствуют преобразования системы уравнений, не меняющие мнозкества ее решений. Действительно, если строка матрицы А* умножается на число Л ~ О, то преобразованная матрица является расширенной матрицей для системы, получаемой из (1) умножением соответствующего уравнения на Л.
Если в матрице 7,'-я строка прибавляется к у-й, то в системе уравнений 1-е уравнение прибавляется к 1-му. В любом случае преобразованная система является следствием исходной. Но элементарные преобразования обратимы, а значит, и исходная система может быть получена из преобразованной и является ее следствием. Поэтому множества решений обеих систем совпадают. 70* сл. Г Матрицы и системы линейньн уравнений 148 2. Основной случай. В этом параграфе мы рассмотрим основной случай, .когда число уравнений равно числу неизвестных;т = п. Кроме того, мы наложим определенные ограничения на коэффициенты системы. Если этого пе сделать, то нам придется изучать здесь, например, и систему из одного уравнения, повторенного и раз.
Уйы хотим, чтобы ни одно уравнение не было следствием остальных. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы ни одно из пих це было линейной комбинацией остальных Св действительности, этого и достаточно, но мы можем не вникать сейчас в этот вопрос). В случае т = и для линейной независимости уравнений необходимо потребовать, чтобы матрица системы была невырожденной, или, что то же, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.
Действительно, если одно из уравнений линейная комбинация остальных с коэффициентами ос, ...,о„1, то соответствующая строка расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных строк с теми же коэффициентами. То же относится и к матрице системы. Теорема 1. Пусть дана система из и уравнений с и неизвестными а1Х1 + а1тз + + а1Хп = у! 1 2'' 1 азхп уз 1 2 С2) ап2.1 + апХ2 + + ап,е™ Ьп 1 2 Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно.
В самом деле, знан предложение 1, мы можем сформулировать эту теорему иначе. Пусть А квадратная матрица порядка и и с)еС А ~ О. Тогда любой столбец Ь высоты и раскладывается по столбцам А, и коэффициенты разложения определены однозначно. Так как отличие детерминанта от нуля равносильно невырождснности матрицы, это утверждение совпадает с теоремой 1 8 2.
3. Правило Крамера. Правилом Бралсера называются формулы для нахождения решения системы из и, уравнений с и неизвестными и детерминантам, отличным от нуля. Для того, чтобы найти значения неизвестных, составляющие решение, выберем произвольный номер неизвестной 1 и рассмотрим детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой ее 1-го столбца столбцом свободных членов Ъ: сь" = сСсС 'пас ...а, 1Ьа,е1 ...а„((. Если хс, ..., хп решение, то Ъ = хсас + ... + х "ап, и в силу линейности детерминанта по столбцу Лс = х' с1еС (!а1 ...а, 1 асаьь1 ...а„(!+ ... ... + хс сСеС 8 ас ...а, 1 а, аз1 ...ап Л+ хп сСеС вас ...а, сапа,, 1 ...а„ц. 4 б. Сиетелвы линейных уравнений (обизал теория) 449 Все слагаемые, кроме (-го, равны нулю, так как матрицы в них имеют по два одинаковых столбца.
Поэтому Ь' = х' в1ет А. Отсюда ~11 х' = (1= 1,...,п) Йеь А (З) Формулы Крамера при и = 3 мы вывели в п. 6 94 гл. 1. 4. Формулы для элементов обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу А с детерминантам, отличным от нуля. Пра- вило Крамера позволяет получить формулы., выражающие элементы обратной матрицы А ' через элементы А. Пусть ел 4-й столбец одиничной матрицы. Заметим, что 4-й столбец .4 ' при произволь- ном 4' равен А ье .
Если мы обозначим его хз то Ах = е . При- меним правило Крамера для нахождения (-й неизвестной в решении этой системы: х,' = Ь'/ с(е1А, где ль' — детерминант матрицы, полу- чаемой из А заменой ес 1-го столбца на у'-й столбец единичной матри- цы. Разлагая ль' по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в ел только у-й элемент равен 1, а остальные равны нулю. Следовательно, лх' = ( — 1)'4лв)лы где ал дополнительный минор эле- мента а', в матрице А. Подчеркнем, что этот элемент стоит в позиции, симметричной с позицией, в которой расположен вычисляемый нами элемент х',.
Окончательно, ( 1)х-<-л (а х1= (4) с(ет А Формулы (4), как и правило Крамера, имеют некоторое теорети- ческое значение, но для численного решения систем линейных урав- нений и обращения матриц применяются совсем другие методы. Упражнения 1. Пусть числа хите, хв попарно различны. Докажите, что при любых уп у, ув найдется единственный многочлен степени не выше двух, график которого проходит через точки с координатами (хи у1), (х, уа), (хз, уо). 2. Пользуясь формулами (4), найдите обратную для матрицы а с а 9 6. Системы линейных уравнений (общая теория) 1. Условия совместности. Общие определения, касающиеся систем линейных уравнений, были введены в начале 95.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
