Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ЯкЕ = А. Отбрасывая мноялитель Е, мы получаем требуемое разложение. Обратно, последняя формула показывает, что произведение элементарных матриц получается элементарными преобразованиями строк из единичной матрицы, которая невырождена. Поэтому, согласно следствию из предложения 6 оно невырождено. Предложение 10.
Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица яввырождвна. Действительно, .элементарными преобразованиями строк мы превращаем невырожденную матрицу в единичную, столбцы которой линейно независимы. По предложению 7 столбцы исходной матрицы также должны быть линейно независимы.
Обратно, пусть столбцы матрицы А линейно независимы. Это значит, что транспонированная матрица Аг невырождена, и по предыдущему ее столбцы -- строки матрицы А линейно независимы. Иначе предло кение 10 можно сформулировать так. Следствие. Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда невырождека ее транспонировакная Ат . 6. Обратная матрица. Введем Определение. Матрицу Х назовем обратной для матрицы А, если Х.4 =.4Х = Е, где Е единичная матрица. Вспомним, что две матрицы могут быть перестановочны только в том случае, если они обе квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому иметь обратную может только квадратная матрица. Предложение 11.
Если у матрицы А существует обратная, то она единственна. Это легко проверяется от противного. Допустим, что их нашлось две: Хь и Хг. Тогда Х1 = Х1(,4Хг) = (ХьА)Хг = Хг. Предложение 12. Матрица имеет обратнув тогда и только тогда, когда она невырождена. Доказательство. Вернемся к форгиуле (10) и объединим в ней все элементарные матрицы в один множитель Х. Мы можем утверж- 9 Л.В.
Беклемишев 130 Гл. Г Матрицы и системы линейнъи уравнений дать таким образок|, что для любой невырожденной матрицы А существует матрица Х такая, что ХА = Е. Докаявем, что Х удовлетворяет также и второму равенству в определении обратной матрицы. Для этого заметим, что Х невырождена как произведение элементарных матриц, и потому длн нее существует такая матрица У, что 1'Х = Е. Рассмотрим произведение У1ХА) = У. При другой расстановке скобок мы видим, что (УХ)А = А. Поэтому 1' = А, и равенство УХ = Е переписывается как АХ = Е. Нам осталось доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной. Пусть матрица А вырождена., т. е, существует нулевая лиНЕйиая КОМбИНацИя ЕЕ СтрОК Лга1 + ...
+ Л„ан = О, ПРИЧЕМ Лг + ... ... + Л~ у': О. Тогда согласно предложению 1 произведение ненулевой строки ч = ОЛы ..., Л„й на матрицу А -- нулевая строка: чА = о. Если матрица А имеет обратную Х, мы можем умножить на Х справа обе части этого равенства: ч.4Х = оХ. Таким образом, ч = о, что противоречит определению ч. Это заканчивает доказательство. Обратную к матрице .4 принято обозначать А '. На символ — 1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы А целая положительная степень Аь определяется как произведение матрицы А самой на себя к раз.
Положительная степень (А 1)ь матрицы А ' считается отрицательной степенью А ь матрицы А. По определению нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичнан матрица того же порядка. При этом определении для невырожденной матрицы АьА1 = А~~1 при любых целых Й и Е Получим основные свойства обратной матрицы. ° Из определения прямо видно, что (А' ) ' =.4. ° 1АВ) ' = В 'А ', так как (АВ)1В-14-1) = А(ВВ-')А-1 = АА-' = Е. ° Из А 'А =Е., получаем Ат (А 1)т = Е.
Поэтому (Ат) '=1А ')~ Опишем способ вычисления обратной матрицы. Именно, если элементарными преобразованиями строк мы обратим матрицу А в единичную, то те же преобразования перенедут единичную матрицу в матрицу А ', так как для соответствующих элементарных матриц из формулы 110) имеем Тм... Т1К = Тм,,, Т1 — — .4 Эти вычисления могут быть оформлены так: состаним матрицу Р размеров п х 2п, приписан к матрице А справа единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк преобразуем Р так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу.
Тогда правая половина превратится в матрицу А Теорема 1. Пусть А -- невырожденная матрица порядка п,. Тогда любой столбец высоты и раскладывается по столбцалг А, причем коэ1йфициенты разложения однозначно определены. Доказательство. Действительно, если матрица А невырожде- з2. Умножение матриц 131 на, то у нее существует обратная, и мы можем написать равенство Ь = АА 'Ь. Из него видно, что столбец Ь получается умножением матрицы А на столбец А |Ь и, следовательно, является линейной комбинацией столбцов матрицы А. Для доказательства последнего утверждения достаточно вспомнить, что столбцы невырожденной матрицы линейно независимы, и сослаться на предложение 6 3 1. Применяя теорему 1 к транспонировапной матрице,мы получаем Следствие.
Пусть А нееырожденная матрица порядка п. Тогда любая строка длины гг раскладывается по строкам А, причем коэу|угициенты разложения однозначно определены. Упражнения 1. Пусть аффинвые преобразования 1 и 3 в некоторой системе координат записаны, соответственно, формулами х* = а|х -ь Ь|у, ) х* = с|х ж дггу, у* = агх -~-Ьгу, у = сгх ж 3|у. Докажите, что произведение 1 3 запишется такими же формулами, причем матрица коэффициентов будет равна а| Ь| а Ь с| Иг сг дг 2. Пусть Ь23 матрица размеров 1 х 1 с элементом 2.
Верно ли, что: 1 2 1 2 а) е23 2 = 4; б) 2 ))23= 4 ? 3 6 3 6 3. Пусть а|, ..., а„--- столбцы матрицы .4, а Ъ', ..., Ъ" -- строки матрицы В. Убедитесь, что АВ = ~ а,Ь'. 4. Верно ли, что для шобых двух квадратных матриц одного и того же порядка: а) (А+ В)г = Аз+ 2АВ+ В; б) (А+ В)г+ (А В)г — 2(Аг+ Вг)? б. Рассмотрим матричное уравнение Хг + Е = О. е) Проверьте, что матрица Π— 1 1 О Ь Проверьте, что выполнены равенства А(хг) ж А(зг) = А(хг ч- зг), А(у) = Ат(г) А(з|)А( ) 4(згз ) А(з — |) А — г(х) удовлетворяет этому уравнению.
Как объяснить это в терминах задачи 1? б) Найдите все решевия этого уравнения среди вещественных матриц второго порядка. 6. Сопоставим ка|кдому комплексному числу з = а+ Ьг матрицу Гл. Г Матрицы и системы линейньи уравнений 132 7. Найдите обратную длн матрицы 1 О О 1 1 2 1 1 3 8. Разложите матрицу из упр. 7 в произведение злементариых. '2 3. Ранг матрицы 1.
Определение. Введем Определение. Пусть в матрице й существует линейно иезависиман система из г строк, и иет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы .4 равеи г. Пулевая матрица ие содержит никакой линейка независимой системы строк, и ее строчиый ранг по определению равен нулю. Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы.
Оп равен гы если есть линейно независимая система из г1 столбцов, и иет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Предложение 1. Система из г строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка г. Доказательство. 1'. Пусть г строк линейно зависимы. Рассмотрим произвольную подматрипу порядка г, расположенную в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также лиисйио зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие подматрицу, ~и подматрица является вырожденной.
2'. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка линейно независима, если оиа ие пулевая. В этом случае оиа содержит ненулевой элемент, составляющий иевырождеииую подьиатрицу порядка 1. Пусть теперь даны г линейно независимых строк. Первые л — 1 из иих также линейно независимы, и по предположению индукции содержат иевырождеииую подматрицу порядка г — 1. Пусть йы ..., з, номера столбцов этой подматрицы. Рассмотрим отрезок г-й строки, расположенный под подматрицей, т. е. составленный из элсмеитов с номерами уы ...,у„и По следствию из теоремы 1 2 2 этот отрезок раскладывается в лииейпую комбинацию строк подматрицы.
Коэффициеиты этой линейной комбинации обозначим оы ..., о„ Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициентами оы ..., о„п Это обРатит в нУль уы ..., з„ый элемеиты г-й стРоки, ио ие всю строку, так как строки линейно независимы. Таким образом, в преобразованной г-й строке есть ненулевой элемент а,', и его гХ Ранг матрицы гзз номер у отличен от номеров ум ...,у„ В преобразованной матрице рассмотрим столбцы, имеющие номера ум ...,у, м~.
(Мы для удобства пишем у на последнем месте, хотя в действительности столбцы располагаются в порядке возрастания номеров.) Легко видеть, что эти столбцы линейно независимы. Действительно, пусть о1ая+...+о, 1а.„, +па =о (ц их нулевая линейная комбинация. Тогда для последних элементов столбцов о10+ ... +о,. ~О+па" = О. Так как а", у': О, отсюда следует о = О, и мы получаем о1а, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
