Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть все главные миноры матрицы В положительны. В частности, ЛХ1 = Ды > О, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с г1 > О. Допустим, что после й шагов мы получили матрицу Вь с положительными сы...,гь, причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы Сь имеем вь.ь1 = Мь.ье/Мь, так как главные миноры не менялись. Поэтому вь.ь1 > О, на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положи- 204 Гл. эЛ. Линейные пространства тельные элелэенты вэ, ...,вь4э. рассуждая так для всех Й, мы придем к доказываемому утверждению. 4.
Полуторвлинейные функции. В комплексных пространствах квадратичные формы используются сравнительно редко. В приложениях чаще встречаются так называемые эрмитовы формы. О и р е д ел е н и е. Функция Ь от двух векторов на комплексном линейном пространстве .х' называется полутораликейкой или эрлэитовой билинейной функцией, если для любых векторов х, у и х и любого комплексного числа н Ь(х + у, з) = Ь(х, з) + Ь1у, х), Ьэох, у) = оЬэ,х, у), Ьэх, у + з) = Ь(х, у) + Ь(х, з), Ьэх,оу) = оЬ(х, у). Отличие полуторалинейной функции от билинейной в том, что она не линсйна по второму аргументу: при его умножении на число сэ значение функции умножается на комплексэю сопряженное число о.
Перечислим основные свойства этих функций. Доказываются они так же, как соответствующие свойства билинейных функций. Ниже черта над буквой, обозначающей матрицу, будет обозначать замену нсех элементов матрицы комплексно сопряженными числами. Если в У' выбран базис, то значение полуторалинейной функции на паре векторов х и у может быть выражено через координаты этих векторов формулой Ьэх, у) = ~ 14иГлпэ = ст В41.
В называется лэатрицей полутараликейнай функции. Ее элементы равны значениям Ь на парах базисных векторов: Д,з = Ь(е„ей). При замене базиса с матрицей перехода Я матрица В заменяется на матрицу В' = Ят ВЯ. Полуторалицейная функция Ь называется эрмитово силэлэетричной, если для любой пары векторов Ь(х,у) = Ь(у,х). Для этого необходилю и достаточно, чтобы в любом базисе элементы лэатрицы этой функции удовлетворяли условиям Ди —— ,3,. Это равносильно условию Вт = В ца матрицу полуторалинейной функции.
Определение. Матрица В, для которой В = В, называется эржитовой матрицей. Элементы эрмитовой матрицы, симметри эные относительно главной диагонали, комплексно сопряжены; Дэ1 = Д1 ээ частности, элементы на главной диагонали вещественные: Дп =,3,;. Определение. Функция к на комплексном линейном пространстве называется эрлэитовой формой, если к(х) = Ьэх, х) для некоторой эрмптовой симметричной полуторалинейной функции Ь. Для заданной эрмитовой формы к можно так выбрать базис, что ес матрица будет иметь канонический вид: диагональная матрица с элелэентами 1, — 1 или 0 на диагонали. При этом для эрмитовых форм справедлив закон инерции: в матрице канонического вида число д 7.
Теорема Жердина 205 элементов иа диагонали, равных О, 1 и — 1, не зависит от базиса, в котором форма имеет канонический вид. Таким образом, эрмитовы формы по снойствам ближе к квадратичныы формахл в всшсственном пространстве, чем к квадратичныы формам в комплекснол| пространстве. Упранлненнн 1. Значевие билинейной функции Ь в некотором базиса записано как многочлен от координат 5' и 0' векторов х и у: Ьфт,у) =5 |? +5 |? — 25 л? +4( г| +35 |? +5 || . Напишите матрицу этой билинейной функции, если вростравство: а) трехмерное; б) четырехмерное.
2. Как изменится матрица билинейвой функции из увр. 1, а), если перейти к базису: е~| —— е| + г; ег = ел + ем ег? — — ез? 3. напишите матрицу квадратичной формы ль ) -ь с с "; ль ) . 4. Приведите к каноническому виду квадратичную форму с матрицей: 1 2 3 1 2 3 а) 2 4 5; б) 2 4 5 3 5 8 3 5 9 и найдите матрицу перехода к каноническому базису. 5. Нуль-ирос|иранством симметричной билинейной функции Ь называется мно|кество векторов х таких, что для всех у выполнено Ь(с, у) = О. Проверьте, что это линейное надпространство. Как связана его размерность г с рангам Ь? Какой будет матрица функции Ь в базисе, васледние г векторов которого лежат а нуль-пространстве'? 6. В и-мерном пространстве заданы а| квадратичных форм.
При каком условии сушествует базис, в котором они все могут быть представлены как многочлсны от первых?л < и координат вектора? 7. Пусть.4 квадратная матрица порядка и и ранга г. У квадратичной формы с матрицей А .4 определите: а) ранг; б) индекс. 8. Квадратичная форма с матрицей В положительно определена тогда и талька тогда,когла найдстсн верхняя треугольная матрица Л, до| В ~ О, такая, что В = Й~Л. Докажите это.
9. Дава квадратичвая форма х. Прн какам условии найдется ненулевой вектор к, для которого клх) = О? 10. Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять главные миноры отрицательно оиределеннай квадратичной формыз 11. у|ожет ли матрица воложительно определенной квадратичной формы иметь неположительный диагональный минор'? (51инор называется диагональным, если главная диагональ его яодматрицы находится на главной диагонали матрицы.) '3 7. Теорема Жордниа 1. Теорема Гамильтона — Кали. Так называется следующая теорема, справедливая как для комплексных, так и для вещественных матриц.
Гл. У1. Пикейные пространства 206 Теорема 1. Если р(Л) = г1е((А — ЛЕ) лногочлен л<атрицгн А, то р(.4) = О. Д о к а з а т е л ь с т во. Если Л не является характеристическим числом матрицы А, то матрица (А — ЛЕ) имеет обратную, элементы которой можно вычислить по формулам (4) ~ 5 гл. У, Следовательно, характеристическии где В(Л) матрица с элементами Ьи(Л) = ( — 1)' 'д',(Л), а множители с(эг являются минорами порядка и — 1 матрицы (А — ЛЕ) и, следовательно, многочленами от Л степени, не большей и — 1. Поэтому ) ( э о + Л о ч + + Так как линейные операции с матрицами определены поэлементно, В(Л) = Во + ЛВ1 + ...
+ Л" 'В„ где Вь матрица с элегиептами Ь~ (й = (), ...,и — 1). Равенство (1) можно переписать в виде (А — ЛЕ)В(Л) = с(еб(А — ЛЕ)Е, или (А — ЛЕ)(Во + ЛВ1 +" + Л 1Вн-1) = р(Л)Е (2) Обозначим коэффициенты характеристического мпогочлена через ао, аы ..., а„. Тогда р(Л)Е = авЕ+ Ли~ Е+ ... + Л" а Е. Раскроем скобки в левой части равенства (2) и приравняем матрицы, стоящие при одинаковых степенях Л.
Это законно, так как равенство (2) имеет место для всех Л и по существу означает, что равны друг другу две матрицы, а значит, равны все их соответствующие элементы, являющиеся многочленами от Л. К(ы получим АВо = аоЕ, .4вч — Во — — а1Е, АВг — В1 = агЕ; АВ„1 — В„а — — а„1 Е., — Вн 1=а„Е. Умножим первое из этих равенств на Ао = Е, второе на А, третье на .4г и т. д., последнее на А" и сложим все равенства почленно. Тогда справа мы получим р(.4) результат подстановки А в характеристический многочлен, а слева нулевую матрицу, так как все слагаемые взаимно уничтожатся. Это заканчивает доказательство.
С лед от вне. Каждое линейное преобразование А линейного пространства 2' удовлетворяет своему характеристическолу уравнению р(А) = О. 47. Теорема Жордана 207 2. Корневые подпростраиства. Рассмотрим и-мерное комплексное линейное пространство 2' н его линейное преобразование А. Характеристический многочлен преобразования р(1) раскладывается на множители в общем случае так: р(1) = (-Ц "(1 — Л,)'(1 — Лз)ь'...(1 — Л,)" . Именно ради возможности такого разложения мы предполагаем пространство комплексным. Если характеристический многочлен линейного преобразования вещественного пространства имеет только вещественные корни, то все следующие ниже результаты справедливы и для такого преобразования. Рассмотрим рациональнун7 функцию 17р(1) и разложим ее на элементарные дроби.
Для наших целей разло кению удобно придать вид 1 Л(г) „„Ь(1) р(1) (1 — Л,)ь "' (1 — Л,)»е ' После приведения к общему знаменателю мы получаем тождество 1 = 07(1) + " + Ь (1), где де(1) многочлен, равный произведению 17(1) на многочлен, получаемый из р(1) вычеркиванием множителя (1 — Л;)ем ( ) Л(1)р(1) % (1 Л )ь Подставим в полученное тождество преобразование А вместо й Е= Ц7+...+ ьг,. (3) Преобразования 7',17 = 47(А) обладают тем свойством, что Я(), = О при (4) Действительно, в произведение 47(1)0 (1) входят все множители, содержащиеся в разложении р(1), и при подстанонке преобразования А это произведение превращается в нулевое преобразование. Умножая (3) на Ц, и используя (4), мы получим для любого 1 = 1, ..., з Ое = О,Я,.
(5) Теперь мы можем разложить пространство .х' в прямую су-мму. Действуем обеими частями равенства (3) на произвольный вектор х: х = Я7(х) + ... + Я,(х), (6) или х = х1 + ... + х„где х,, = 1',1;(х) Е Я,( К). Разложение такого вида единственно. Действителыю, допустим, что х = ры -Ь ... -1- рм где уе Е Е Я,( х') (1 = 1, ...,о), Это значит, что пайдутсн такис векторы хо что у, = Я,(з,).
Теперь, действуя на обе части равенства х = ь),(х7) Ь ...-1- Я,(х,) преобразованием ь77, мы получаем Я,(х) = Я;(хе) в силу свойств (4) и (5), т. е. хе = ро как и требовалось. 1'л. е1. Линейные пространства 208 Равенство (6) означает, что 2' сумма надпространств (3,(2е), а единственность разложения равносильна тому, что сумма прямая; .2' = ОГ(.'е') б ... Сд Гг',(.'с'). (7) По предложению 3 84 подпрострапства ьг;( 2') инвариантны. Они называются корневыми подпространствами.
Обозначим их через Х; (1 = 1, ...,з). Гйы доказали Предложение 1. Каково бы ни б ло линейное преобразование А колтлексного просгпранства 2е, зто пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств преобразования А. Ниже мы покажем, как разложить корневое подпространство в прямую сумму инвариантных подпространств, но сначала докажем П редлоек ение 2. Л8; = Кег (4 — Л;Е)н для любого 1. Доказательство. В произведение (1 — Ле)жд,11) входят все множители, составляющие характеристический многочлен. Поэтому из теоремы Гамильтона -Кали следует., что (А — Л,Е)ы Яе = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
