Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Иначе можно было бы сказать, что в качестве основной квадратичной фор1иы выбрана та, которая в стандартном базисе арифметического пространства (состоящем из столбцов единичной матрицы) имеет канонический вид. Пример 3. В пространстве функций, непрерывных на отрезке (О, Ц, можно ввести скалярное произведение по формуле (.1":й) = /1"(1)й(1) 1К о Аксиомы 1)-4) вытекают из известных свойств определенных интегралов. 2. Длина и угол. В соответствии с формулами 34 гл. 1 введем Определение. Назовем длиной вектора х и обозначим ~х~ число уу(х,х).
Углом между векторами х и у назовем каждое число уо, удовлетворя1ощее условию спасо = ( 'ц). (4) )хйи! 41. Евклидовы кространства 217 В силу аксиомы 4) длина вектора вещественное неотрицательное число, причем она равна нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой. С определением угла дело обстоит несколько сложнее.
Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства (4) по абсолютной величине нс превосходит единицы. Это следует из неравенства (х, у) г < (х, х) Ь, у), (5) связываемого с именами Шварца, Боши и Буклковского. Ниже мы получим это неравенство как следствие из теоремы 1. Еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника, (х + у( < )х! + (у! (6) следует из неравенства Коши Буняковского: <х+ у х+ у) = Из + 2(х у) + М' < И + 2~ !М + Мг = ЦИ + М)г. Знак равенства имеет место, если 1х, у) = )хйу), т.
е. если угол между х и у равен нулю, и только в этом случае. Нераненство (6) для векторов — — направленных отрезков — означает, что длина стороны треутольника меньше суммы длин остальных его сторон. Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогок льными, если (х, у) = О. Это условие выполнено, если хоть один из векторов нулевой. Если оба вектора ненулевые, то по формуле (4) угол между ними равен л/2. Предложение 1. Только нулевой вектор ортогокилвк каждому вектору пространства. Действительно, если (х,у) = О для всех у, то, положив у = х, получим 1х, х) = О, что возможно только при х = о. 3.
Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если н евклидовом пространстне выбран базис е, то скаллрное произведевие векторов х и у, как и звачевие л1обой билинейной функции, выражается по формуле (3) ~ 6 гл. У1 через координатные столбцы ( и 77 этих векторов: 1х, у) = 6 Г71. (7) Согласно определению матрицы билинейной функции элементы де матрицы Г равны скалярным произведениям 1е1, е,), т, е. 1е1, е1) ... 1е1, ек) 1е„,е1) ...
1еь,е„) Эта матрица называется матрицей Грома базиса е. Матрица Грама симметрична. По критерию Сильвестра все ее главные миноры положительны, в частности справедливо Предложение 2. Детерминант матрицы Грал1а любого базиса полозкителен. Гл. 1 П. эвклидовы и унитарные пространства 218 Это предложение может быть обобщена следующим образом. Теорема 1.
Пусть х1,...,хь - произвольная, не обязательно линейно независимая система векторов. Тогда детерлеинант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений, (х1, х1) " (х1, хь) (хь, х1) ... (хь, хь) положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно завис мы. Первое утнерждепие следует из предложения 2, так как линейно независимые векторы составляют базис а своей линейной оболочке. Докая.ем второе утверждение. Если аекторы линейно зависимы, то выполнено равенство сс1х+ ... + сльхь = о, а котором среди коэффициентоа есть отличные от нуля.
Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов, мы придем к системс линейных уравнений сЫ (х1, х1) -1- ... -Ь оь(хы хь) = О, (10) о1'1хьэ т1) + ... + оь(хь, хь) = О, которой удовлетворяют коэффициенты о1, ...,аь. Так как систеьча имеет нетривиальное решение, детерминант ес матрицы равен нулю. Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет л1есто неравенство Коши — Буняковского (5), причем оно вьтолнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.
Пусть оазис е' связан с базисом е матрицей перехода Я. Тогда формула (4) 86 гл. 111 переписывается и виде (8) показынаюшем связь матриц Грама двух разных базисов. 4. Ортогональные базисы. Базис, а котором осноаная каадратичная форма имеет канонический вид, называется ортонормированным базисом. Так как она положительно определена, матрица Грама ортопормироаанного базиса единичная: (еье,) = О при 1 ~ 1 и (еье1) = 1 (1,1 = 1, ...,и). Это значит, что векторы ортонормированного базиса попарно ортогональны, а по длине равны единице.
Для ортонормироаанного базиса формула (7) имеет вид (х,у) =ц Ч=Ю+" +ГО". (О) Предложение 3. п попарно ортогональных ненулевых векторов 61, ...,Ь в и-мерном ев лидовом пространстве составляют базис. Разложение вектора по этому базису задается формулой (х, К,) )К,р 91. Евнлидввы врвстрвнства 219 Действительно, матрица из произведений (Ь„ 6 ) диагональная с ненулевыми элементами на диагонали.
Из теоремы 1 следует, что 61, ..., Ь„составляют базис. Пусть т = о161+ ... + овал. Умножая это равенство скалярно на любой из 1и, находим, что сс, = (а,6,)/(6,(9, что равносильно (10). Базис из ортогональных векторов называется ортогональным базисом. Вычислим (л., л) с помощью формулы (10). Поскольку (Ав, 61) = 0 при 1 ф 1, получаем равенство Парсеваля и ~„~9 С, (* Дг) (6 (11) 4=1 5. Ортогоиальные матрицы. Рассмотрим два ортонормированных базиса е и е' = е5. Тогда в формуле (8) Г' = Г = Е, и формула принимает вид Б Б=Е. (12) Наоборот, если выполнено условие (12) и исходный базис ортонормированный, то мы получаем Г' = Е, и новый базис также ортонормированный.
Определение. Матрица, удовлетворяющая условию (12), называется ортогональной матрицей. Как мы видели, ортогональныс матрицы и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Равенство (12) равносильно равенству Бт (13) Из свойств обратной матрицы теперь следует, что ВВт — Е (14) Это означает, что матрица Ят также является ортогональной. Обозначив элементы матрицы Я через а'., мы можем написать равенства, равносильные (12) и (14): Ь=1 Впрочем, первое из равенств можно получить непосредственно из (9), если вспомнить, что столбпы матрицы перехода координатные столбцы новых базисных векторов в старом базисе.
Произведение 511 двух ортогональных матриц 5 и Гс . ортогональная матрица. Действительно, (ос1 )т = 11 т 51 = Гс ~Я 1 = (Яо) Вычисляя детерминант обеих частей равенства (12), мы получим (с(е1 Я)9 = 1. Значит, для ортогональной матрицы с)вью = 1 или с!е1Я = — 1. Гл. 17й Евплидввы и унсстариые пространства Рекомендуем читателю проверить, что любая ортогональная матрица порядка 2 имеет один из двух видов сов а — в1п а вша сова сов ск вш а в1п а — сов а (16) 6. Ортогональное дополнение надпространства. Пусть Г'-- Й-глерное подпространство в и-мерном евклидовом пространстве Г Определение. Ортогональным дополнением подпространства Г' называется множоство всех векторов, ортогональных каждому вектору из Г'.
Это множество обозначается о'с П р ед л аж е н и е 4. Ортогональное дополнение И-мерного подпространства в и;мерном пространстве есть (и — И)-мерное надпространство. Доказательство. Пусть ак, ....,аь — базис во'". Вектор х лежит в б" тогда и только тогда, когда кх,ак) = О,...,(а,аь) = О- 117) Действительно, если а 6 Б", то равенства (17), разумеется, выполнены. Обратно, при выполнении этих равенств а ортогонален любому а из в", поскольку (а,а) = (и, ~ Л'ас) = ~Л'(х,а;) = О.
Выберем в суортонормированный базис и обозначим через а', ... ...,а," коллпоненты вектора а; (к = 1, ..., и) в атом базисе, а через ~, ... ..., ~" -- компоненты вектора а. Условия (17) запишутся тогда в ниде однородной системы из Й линейных уравнений с и неизвестными: а, с + ... + ак'с" = О, ск141 + + аиРи О Ранг матрицы системы равен й, поскольку ее строки строки из компонент нектаров ак, ..., аь — линейно независимы.
Таким образом, множество о'~ определяется однородной системой линейных уравнений ранга Й, и потому является (и — Й)-ьсерныьс подпространством. Предложение доказано. Рассмотрим (в"~) — ортогональное дополнение ортогонального дополнения подпространства су . Каждый вектор из су ортогонален каждому вектору из блсл. Поэтому К' С (ссыл)л. Е1о сйпкф'л)т = тс— — си — Й) = Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
