Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Однако умножение матрицы на столбцы ((1 1()т и ((1 — Ц(т показывает, что па самом деле характеристическими числами являются Л1 = 1,03 и Ла = 0,97. 3. Изоморфизм евклидовых пространств. Два евклидовых пространства У и Г называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А: К вЂ” г Г, при котором (А(з),А(9)) = (аду) (7) для любых к и Л из К Такое отображение называется изомврфизмам евклидовых пространств. Таким образом, термин "изоморфизми имеет различные значения в зависимости от контекста. Если речь идет о евклидовых прост- азо Гл. ЪП. Евклидовы и унитарные пространства ранствах, то при изоморфизме помимо линейности требуется сохранение скалярного произведения. Для того чтобы два евклидовых пространства были изоморфны, разугиеется, необходимо, чтобы были равны их размерности. Действительно, в противном случае они не изоморфны даже как линейные пространства. Оказывается, что этого и достаточно.
Теорема 5. Любые два ввклидовых пространства одной размерности изоморфны. Евклидовы пространства разньгх размерностей не изоморфны. Для доказательства первого утверждения выберем в каждом из рассматриваемых пространств б'и Х по ортонормированному базису. Отображение А: б"-+еж зададим, сопоставлял вектору х Е 4" вектор А(х) Е о', имеющий те же координаты. Матрица этого отображения единичная, поэтому А будет взаимно однозначным.
Из формулы (9) З 1 следует, что при таком отображении сохраняется скалярное произведение. Интересно отметить, что условие (7) очень сильное. Из него следует, что А . — линейное отображение и, более того, инъективно. Действительно, рассмотрим произвольный вектор х из б'и произвольное число се. Скалярный квадрат вектора А(слх) — аА(х) можно записать в виде (4(счх), А(сех)) — 2о(А(сех), А(х)) + оз (А(х), А(х)). Учитывая (7), видим, что это равно (сех, слх) — 2о(сех,х) + оз(х,.х), т.
е. нулю, Таким образом, А(сех) = о4(х). Аналогично доказывается, что А(з:+ + у) = 4(х) + 4(у) Далее, пусть х Е КегА, т. е. 4(х) = о. Это значит, что (А(х), 4(х)) = = О и, в силу (7), что (х, х) = О. Таким образом, ядро А нулевое и А инъективно. В общем случае А не взаимно однозначно, но если сйга б'= е11п1 ее, то из 61тп6'= П8 А по предложению 6 ~3 гл.
У1 следует, что А является изоморфизмом. Мы доказали Предложение 7. Произвольное отображение евклидова пространства в евклидова пространство той же размерности является изоморфизмом, если оно сохраняет скалярное произведение. 4. Ортогональные преобразования. Преобразование А евклидова пространства д'называется ортогональнылй если оно сохраняет скалярное произведение, т. с. если условие (7) выполнено для любых векторов из б'. Из предложения 7 следует, что ортогональное преобразование является изоморфизмом 4'на себя. Предложение 8.
Если преобразование ортогонально, и только в этом случае, сопряженное ему преобразовиние лвляется обратным к нему. Действительно, по формуле (7) имеем (х, А*А(у)) = (х,у), или (х, А" А(у) — у) = О. Это означает, что вектор 4'А(у) — у ортогонален любому вектору пространства и, следовательно, является нулевым. Зг. Линейные преобраюванип евклидовыз прас ~ракете ззг Поскольку равенство А*А(у) = у выполнено для всех у, преобразование А'А нвляется тождественным, что равносильно доказываемому утверждению.
Обратно, из равенства А*А = Е легко получить (7). Предложение 9. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе лвллетсл ортогональной. Это прямо следует из формулы (4) и предложения 8. Предложение 10. Для двух ортонормированных базисов е и Г найдется единственное ортогональное преобразование А, для которого 4(е,) = 1, (з = 1, ...,и). Доказательство. Преобразование, переводящее е в Г, существует и единственна: его знатрица в базисе е состоит из координатных столбцов векторов уы ,1"„ в базисе е. Преобразование явлнется ортогональным, так как его матрица в ортонормированном базисе ортогональная (она же служит матрицей перехода от е к 1). Предложение 11.
Собственные значения ортогонального преобразованил по абсолютной величине равны единице. Действительно, длн л|обого собственного вектора х мы имеем (4(х), 4(х)) = Лз(х, х) и (А(х), А(х)) = (х, х). Отсюда Лз = 1. Предложение 12. Если Фо подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразованил А, то его ортогональное дополнение Г'х также инвариантно относительно А. В самом деле, ортогональное преобразование взаимно однозначно, и потому переводит каждое надпространство в надпространство той же размерности. Так как К' инвариантно, имеем А(ба) = 6"'.
Если х Е 6", а у Е 6"~-, то 0 = (хц у) = (А(х), А(у)). Таким образом, А(у) принадлежит (41е"'))"-. Но из 4(е') = Ез' следует 41о')х = 6""-. Поэтому А(у) Е Ф"'-, как и требовалось. Теорема 6. Пусть А ортогональное преобразование и-мерного евклидова пространства К Тогда сз прям я сумма попарно ортогональных однолгерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно А. Для доказательства воспользуемся индукцией. Для пространств размерностей 1 и 2 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали теорему длн пространств размерностей к — 1 и к — 2, и докажем ее для У-мерного пространства.
По следствию из предлозкения 8 з4 гл. 1'1 в Гсуществует или одномерноо, или двумерное инвариантное надпространство Гы Его ортогональное дополнение езь инвариантное надпространство размерности к — 1 или к — 2. К ограничению преобразования А на ~~' мы применим предположение индукции. Подпространства бз,..., К , на которые распадается ею инвариантны относительно А. ойтб'= йтГ~ + айзнер. По предположению индукции г11те"' = ойтуз+ ...
+ айтмат, Таким образом, для надпространств 4, ....,Г„ 232 Гл. УП. Бвклидовы и унитарные пространства размерность суммы равна сумме размерностей, и, следовательно, сумма прямая. Теорема доказана. Выберем в каждом из подпространств б'"„..., бт по ортонормированному базису и объединим все эти базисы. Уйы получим ортонормированный базис в з'. Как следует из предложения 2 2 4 гл. У1, матрица преобразования в этом базисе будет клеточно диагональной. Одномерным инвариантным подпрострапствам будут соответствовать клетки порядка 1, т. е.
числа 1 или — 1 на диагонали. Двумерным подпространствам соответствуют клетки порядка 2. Каждан такая клетка матрица ограничения А' преобразования А. Так как базис ортонормирован, она ортогональна и имеет вид (16) 2 1 при некотором о. Из двух матриц (16) 2 1 вторая матрица симметрична. Если А' имеет такую матрицу, то оно не только ортогональное, но и само- сопряженное, и потому имеет собственный вектор. Как вытекает из предложения 8 2 4 гл. Л'1, двумерные инвариантные подпространства пе содержат собственных векторов, а значит, матрицей А будет первая из матриц (16) матрипа поворота плоскости иа угол о. Такое представление матрицы ортогональнщо преобразования известно как разложение преобразования на плоские вращения, так как каждому двумерному подпространству соответствует поворот, и эти повороты могут осуществляться последовательно.
Надо, однако, помнить, что в общем случае имеются собственные подпространства с собственными значениями 1 и — 1. 5. Полярное разложение. Так называется разложение преобразования на множители, введенное в следующей теореме. Эта теорема является обобщением основной теоремы об аффинных преобразованиях из гл. 1У, и даже доказательства этих теорем весьма сходны: центральным местом является построение ортонормированного базиса, который при данном преобразовании переходит в ортогональный. Т е о р е м а 7. Каждое линейное преобразование А евклидова пространства может быть представлено как произведение А = Я5, гдв 1г - - ортогональное, а 5 - самосопряжвняое преобразование с неотрицательными собственными значениялш.
Доказательство. Согласно формулам (5) и (6) преобразование А*А самосопряженное. Пусть еы ...,ев ортонормированный базис из его собственных векторов. Пронумеруем векторы так, чтобы собственные значения удовлетворяли неравенствам Л1 » ... Ло. Для любых 1 н д вьшолнено (А(е.,),А(е )) = (4'4(е,),е ) = Л;(с„е ). Так как базис е ортонормировап, отсюда следует, что векторы 4(е,) попарно ортогональиы; (А(е;),А(е,И = О при 1 ф зу Кроме того, (4(в,)(2 = Л„откуда, в частности, видно, что Л, > О (1 = 1, ...,и). Собственные значения пронумерованы так, что если только г из них З2.
Линейные преобразования евклидовыз прас ~ракете гзз отличны от нуля, они на первых местах, а Л„ез — — ... —— Л„= О. Числа о, = ч/Лп 1 = 1, ...,п, называются сингулярными числами преобразования А. Векторы Л = сь, 'А(е;), з' = 1, ..., г, составляют ортонормированную систему векторов. Если г < п, дополним произвольным образом эту систему до ортонормированного базиса векто- раМИ 7с ЬЫ ..., Зп. ПОСЛЕ ЭТОГО дпя ЛЮбОГО З МЫ МОЖЕМ НанИСатЬ А(сь) = см7в (При 1 > г обе части такого равенства равны нулю.) По предложению 10 найдется ортогональное преобразование Я такое, что фез) = Зь, для любого 1.
Рассмотрим преобразование 5 = = Я А и докажем, что оно самосопряженное. Действительно, — ! 5(е,') = Я 1А(е,) = Я ~~ссс7' ') = о,е,. (8) Таким образом, е ортонормированный базис из собственных векторов 5, и по предложению 6 преобразование 5 самосопряженное. Его собственные значения оы ...,оп неотрицательпы.
Теорема доказана. Базисы е и К, построенные при доказательстве, называются сингулярными базисали преобразования А. 3 а м е ч а н и е. Если бы в конце доказательства теоремы 7 мы взяли не преобразование 5 = ьг 'А, а 5ь — — Аьг ', то получили бы разложение А = 51ьг, где 51 --. самосопряженное преобразование с собственными векторами 7ы ..., 7„. Укажем геометрический смысл сингулярных чисел. Для этого рассмотрим и-мерную единичную сферу множество векторов, по длине равных 1. 5 представлнет собой растяжение по г попарно перпендикулярным направлениям с коэффициентами оы ...,о„и проектирование вдоль линейной оболочки векторов е„ьы ...,еп, соответствующих нулевым сингулярным числам. Поэтому 5 переводит единичную сферу в г-мерный эллипсоид с полуосями, равными оы ... ..., гз„.
Преобразование ь1 не меннет длин векторов и только перемещает этот эллипсоид. Итак, на сингулярные числа преобразования А следует смотреть как на полуоси эллипсоида, в который А переводит единичную сферу. Приведем матричную формулировку теоремы 7. Предложение 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
