Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть К и Н матрицы квадратичных форм в исходном базисе е. Матрица Н является матрицей Грама базиса е для вспомогательного скалнрного произведения. Поэтому преооразование, присоединенное к форме к в базисе е, имеет матрицу А = Н ~К. Напишем его характеристический много- член г)е1(Н 'К вЂ” ЛЕ) в виде г1е1(Н '(К вЂ” ЛН)') Так как Ое1Н ' ~ О, характеристическое уравнение имеет те же корни, что и уравнение ~Ы(К вЂ” ЛН) = О, (б) называемое обоби1енныж характеристическим уравнениель Для каждого из его корней система уравнений собственного надпространства (Н 'К вЂ” ЛЕ)с = о эквивалентна система (К вЂ” ЛН)6 = о. Для каждого корин фундаментальную систему решений такой системы уравнений надо ортогонализовать и нормировать, находя скалярное произведение по формуле (7) 81 с матрнцей Грама Н. Объединяя все так полученные ортонормированные базисы собственных подпространств, мы получаем базис е'.
Он ортонормирован относительно вспомогательного скалярного произведении, и потому форма П в пем имеет канонический вид. Так как он состоит из собственных векторов преобразования, присоединенного к к, эта форма будет иметь диагональный вид в базисе е'. Упражнения 1. В пространстве маогочленов степени ( 3 скалярное произведение зададим так же, как в упр. 1 8 1. Линейная функция 1 сопоставляет многочлену р(1) его свободный член р(0).
Найдите вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции. 2. Линейное преобразование А присоединеао к билинейной функции Ь. К какой билинейной фуакции присоединено его сопряженное преобразование А*7 3. В белиссе билинейная функция имеет матрицу В. Найдите матрицу ее присоединенного преобразования, если Г матрица Грама балиеве; 2 1 1 1 4. Докажите, что значение квадратичной формы н(х) на векторе х длины 1 заключено менаду наименьшим и наибольшим собственными значениями ое присоедиаенного преобразования, и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.
б. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе многочленом 3(б')а -Ь 3(ба)а + 3(са)а — 2б'~ — 2б'б~ — 2б"б'. Найдите матрицу перехода к ортонормированному базису, в котором она имеет диагональный вид, и ее вид в этом базисе. уо. Понятие об унитарных пространствах 239 6.
Пусть н и 8 квадратичные формы и Ь положительна определена. Существует лн базис, в котором н имеет канонический, а Ь диагональный аид? 7. Приведите пример двух ввадратичных фарм, которые: а) ае приводятся к диагоаальному виду в одном и том же базисе; б) приводятся н диагональному виду в одном и там же базиса, яо ии одна из них не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной. 8. Найдите ыат)зилу перехода к базису, в котором квадратичные формы н(э) = (б')о — 2с 8 ж (с ) и а(э) = 17(с') -ь 89'с ж (с ) обе имеют диагональный эид, а также их вид в этом базисе.
9. Докажите, что для того, чтобы для двух непропорциональных нвадратичиых форм в двумерном пространстве существовал базис, в котором они обе имеют диагональный аид, необходимо и достаточно, чтобы среди их линейных комбинаций нашлась положительно определенная форма. Насколько здесь существеано предположение о размерности пространства? 8 4. Понятие об унитарных пространствах 1. Определение. В этом параграфе мы покажем., как определяется скалярное произведение в комплексных линейных пространствах. При этом мы нс приводим доказательств, поскольку их можно получить незначительным видоизгиенением доказательств соответствующих предложений а евклидоных пространствах.
Договоримся, что черта над буквой, обозначающей матрицу, означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженцыс. Рассмотригн комплексное линейное пространство х' и предположим, что мы каким-то образом сопоставили каждой упорядоченной паре векторов х и у число (щ,у), Оказывается, что естественные аксиомы, определяющие скалярное произведение в евклидовых пространствах, выполнены быть не могут. Действительно, пусть х ненулевой нектар. В нашем пространстве определено умножение на комплексное число, и мы можем взять вектор гш, где ( .- мнимая единица. Коли скалярное произведение линейно по каждому сомножителю, то имеет место равенство (сш,ид) = -(щ,.с).
При положительном произведении справа произведение слева отрицательно. Таким образом, выбирая в качестве скалярного произведения векторов значение билинейной функции, мзп пе можем рассчитывать, что длина вектора будет вещественна. Поэтому в комплексном пространстве вводятся другие определения скалярного произведения. В одном из них заглепяют аксиому 4 более слабыгд требованием: из того, что (х,у) = 0 для всех э, вытекает у = о (иначе говоря, ортогональное дополнение пространства 2о есть нулевое подпрастранство).
Комплексное линейное пространство, 240 Гл. й71. Явнлидовы и унитарные пространства в котором так определено скалярное произведение, называется комплексным евнлидовым пространством. Такие пространства используются сравнительно редко. Гораздо чаще в приложениях встречаются так называемые унитарные пространства. Определение. Комплексное линейное пространство 2' называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если залан закон, сопоставляюший каждым двум векторам х и у из 2" комплексное число (х, у), называемое их скалярным произведением, и этот закон удовлетворяет следу юшим аксиомам, каковы бы ни были векторы х, у и з и число а: 1) (х,у) = (у,х), т.
е. при перестановке сомножителей скалярное произведение заменяется на комплексно сопряженное число; 2) (ах,у) = а(х,у); 3) (х -Ь у,з) = (х,з) + (у,з); 4) (х, х) > О, осли х ф о. Заметим, что для любого вектора (х, х) = (х, х), и потому скалярный квадрат вектора вещественное число.
В аксиоме 4) требуется, чтобы оно было положительным для х у'= о. Из аксиом 1) и 2) вытекает правило вынесения числового множителя от второго сомножителн в скалярном произведении. Как легко проверить, для любых комплексных чисел Л и р выполнены равенства (лр) = лр, (л+ р) = л+ Р. (1) В силу первого из этих равенств (х, ау) = (ау, т) = а(у, х) = а(у, х), и окончательно (х, ау) = а(х, у). (2) Раскрытие скобок при сложении во втором сомножителе происходит без замены на сопряженное.
Согласно второму из равенств (1) (х, у + з) = (у + с., х) = (у,х) + (з,х) = (у,х) + (з, х) = (х,, у) + (х, з). Это показывает, что унитарное пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в котором задана ноложительно определенная эрмитова форма. Длина вектора и угол между' векторами определяются теми же формулами, что и в евклидовом пространстве.
Длина вектора вещественна, неотрицательна и ранна нулю только для нулевого вектора. Угол, вообще говоря, комплексный. Отметим, что неравенство Коши Буняковского пишется так: (х, х)(у, у) > (х, у)(у,х) = ~(х, у)~ . П р и м е р 1. Комплексное линейное пространство комплексных столбцов высоты и становится п-мерным унитарным пространством, если определить скалярное произведение по формуле (с, 41) = с 41 = 'с г1' + ... + с" з1н.
у4. Понпспие об унитарных пространствах 241 Действительно, по этой формуле имеем также (41, () = г1'~1 + ... + П Рн. При помощи равенств (1) теперь можно получить (~, и) = (41,~). Аксиомы 2) и 3) следуют из свойств умнолеения матриц. Далее, Ы:6 = б'Г1+" ч-4"Г = ~4'Г +" + ~Сии а следовательно, скалярный квадрат неотрицателен и равен нулю только для нулевого столбца.
П р и мер 2. Одномерное унитарное пространство можно построить следующим образом. Рассмотрим в качестве множества векторов векторы обычной плоскости. Сложение векторов определим, как обычно, по правилу параллелограмма. Для того чтобы определить произведение вектора на комплексное число, выберем некоторый (пусть, дли определенности, ортонормированный) базис е1,ез. Произведением вектора х с координатами ~1,сз на число Л = о + 1Д мы назовем вектор с координатами о(~ — Яз и о~х + я1.
Смысл этого определения следующий; вектору х соответствует комплексное число 4~ + газ. Произведением Лх называется вектор, соответствующий произведению чисел Л(С~ + 1Сз). Заметим, что при сложении векторов складываются соответствующие комплексные числа. Проверим аксиомы линейного пространства. Аксиомы, относящиеся к сложению векторов, разумеется, выполнены, так как тут обычные векторы складываются обычным образом. Аксиомы, относящиеся к умножению вектора на число, вытекают из свойств сложения и умножения комплексных чисел.
Таким образом, лпы имеем комплексное линейное пространство. Размерность его равна 1, так как каждый вектор х равен (~1+1~а)е1, где ~1+ г~х .-- кон|плсксное число, определяемое вектором х. Базисом является вектор е1. Скалярным произведением векторов х = Ле1 и у = ре1 назовем число Лр. Не представляет труда проверить, что такое скалярное умножение удовлетворяет аксиомам унитарного пространства. Унитарная длина вектора (1 + 1)е, равна хГ2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
