Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если мы предположим, что 1(А) = А для некоторой точки А, а Г--- невырожденнос линейное преобразование, то преобразование аффинного пространства будет задано формулой Г(В) = Р(.4, Г(АВ)). Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между невырожденными линейными преобразованиями х' и аффинными у д Плоскости 247 преобразованиями, оставляющими неподвижной точку А.
Нетрудно доказать, что произвольное аффинное преобразование есть произведение параллельного переноса и преобразования, имеющего неподвижную точку. Определение. Аффинное пространство называется точечным ввклидввым пространством, если его пространство векторов евклидова. В этом случае расстоянием между точками А и В называется длина вектора АВ.
Трехмерное точечное евклидова пространство совпадает с пространством, изучаемым в элементарной геометрии, если в последнем фиксировать единицу измерения длин. Декартовой системой координат в аффинпом пространстве называется совокупность точки О и базиса е пространства У. Если в,ьг задана система координат О, е, то каждой точке А из .9' взаимно однозначно сопоставляется упорядоченный набор из п чисел, а именно координаты вектора ОА в базисе е. Эти числа называются декартовыми координатами точки, а столбец из них ее координатным сталбивлс Эти определения фактически повторяют определения из гл.
1, и потому основные утверждения и формулы оттуда справедливы и для любых аффинных пространств. В частности: координатный столбец вектора АВ равен разности координатных столбцов точек В и А; координатный столбец точки Р(А,х) равен сумме координатных столбцов точки А и вектора х. Форлзулы замены координат точки при изменении системы координат выводятся и выглядят так же, как и соответствующие формулы из ~3 гл. 1. 2.
Плоскости в аффннном пространстве. Пусть в аффинном пространстве ,/ заданы точка Ао и к-мерное (к ) 0) надпространство .х" в его пространстве векторов У. Множество 5~' всех точек вида Р(Ао.,х), где х с ..х", называется к-мерной плоскостью в .9'. Точка Ао, разумеется, лежит в плоскости. Мы назовем ее начальной точкой, а надпространство.К' направляющим пвдпрвстракстввм. Любая точка плоскости А = Р(Ао,:а) манжет быть приннта за ее начальную точку. Пействительно, лкзбая точка В = Р(.4о, у) предста- вима в виде В = Р(А, у — х), так как АВ = .4о — АоА. Наоборот, Р(А, г) = Р(Ао,г+ х).
Не представлнет труда доказать, что к-мерная плоскость является й-мерным аффинным пространством. П ред логи ение 2. Если в,У выбрана декартова система координат, та *к-мврнал плоскость мажет быть задана системой линейных уравнений ранга п — к. Обратно, множество точек, координаты которых удовлетворяют совместной системе ранга и — к, являетсл И-меркой плоскостью. Гж УШ. Аффинные пространства 248 До к а з а тел ь с т во. Если до координатный столбец начальной точки, то по опРеделению столбец Д = т? + До Явллетсн кооРдинатным столбцом точки плоскости тогда и только тогда, когда т1 координатный столбец вектора из направляющего подпространства.
По предложению 4 8 2 гл. У1 в этом случае т1 должен удовлетворять однородной системе ранга п — й вида Сгт? = О. Следовательно, столбец д удовлетворяет системе иг. = )3, где )3 = Г(е. Вторая часть предложения следует из теоремы 3 8 6 гл. 1С Общее решение системы линейных уравнений дает параметрические уравнения (и — г)-мерной плоскости, в которых фундаментальная система решений базис в направлиющем подпространстве, а частное решение неоднородной системы -- начальная точка. (п — 1)-мерная плоскость называется гиперплоскостью.
Она задается одним линейным уравненном сгг~~ + ... + о„~" =,3. Одномерная плоскость называется прямой линией. Она может быть задана параметРическими УРавнениЯми вида 4 = ~о + 1г1. Упражнения 1. В некоторой декартовой системе координат четырехмерного аффипного пространства плоскость задана системой уравнений 8' -~- 8' -~- 6' †; — 8' = 1, 28 -ь 38 -ь 48 + 58 = — 1. Напишите ее параметрические уравнения (найдите вачальную точку и базис в направляющем подпространстае). 2.
а) Что может представлять собой пересечение двух плоскостей? б) В и-мерном аффиппом пространстве оцените размерность плоскости, получаемой как пересечение плоскостей размерностей ?с~ и Йа. 3. Докажите, что в аффинном пространстве любые две прямые лежат в некоторой трехмерной плоскости.
8 2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка В этом параграфе мы возвращаемся к геометрии трехмерного точечного пространства, которой были посвящены первые главы книги. Настоящий параграф может изучаться независимо от 8 1. Он содержит применение результатов, полученных для квадратичных форм евклидова пространства, к исследованию произвольной линии или поверхности второго порядка.
1. Закон преобразования коэффициентов. Мы начинаем с рассуждений., одинаково пригодных для линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго поридка, и потому пе будем фиксировать размерность и — оца равна 2 или 3 в зависимости от того, какой случай иметь в виду. (В действительности читатель сможет заметить, что многое здесь справедливо для любых размерностей.) 99. 0йщая теория линий и поверхностей второго порядна 249 И линии, и поверхности мы будем называть поверхностялли, чтобы не делать большого числа оговорок.
Рассмотрим произвольное уравнение второго порядка п и огХ1~ + 2 ~ сх1о4 + иоо = О, (1) Ьй=г 1=1 связывающее координаты точек на плоскости или в пространстве, причем о точках, которые ему удовлетворяют, не будем предполагать ничего, даже того, что такие точки существуют. Если мы изменим систему координат и подставим в (1) выражение старых координат через новые, то мы получим новое уравнение (также второго порядка согласно теоремам 1 и 2 9 1 гл.
П), Мы будем говорить, что уравнение перешло в новое уравнение, или, что то жс самое, что преобразовались его коэффициенты. Получим закон., по которому преобразуются коэффициенты уравнения. Напомним, что замена системы координат распадается на перенос начала координат и изменение базиса. Если мы изменим базис при неизменном начале координат, то старые координаты выразятся через новые по формуле оьс я=1 где а'„, элементы матрицы перехода от старого базиса к новому. Подставляя это в уравнение (1), получаем Е л~ьд х, Ф сгц,оьа;4 ~ +2~ сл,ооьг +слое =О ,длд ьь с коэффициентами иы — — х сгбоьо(, гльо = х о,ооь, глоо = слоо.
(2) ьл Е Если мы перенесем начало координат в точку с координатами Р' (1 < 1 < п), оставив базис без изменения, то старые координаты выразятся через новые по формуле б' = с' ж Р'. Подстановка в уравнение (Ц дает ел„((е + Р')((1 + Р') + 2 ~~' сцо Ц' + р') + глоо = О или ело~'~1 + ~~ глО(4'Рг + ~'Р') + 2 ~~~ ел.о~' + Ноо = О. Отсюда ь об = гам~ оно = ~гетр + ел~о ь 1л. Ъ'1П.
Аффинные пространства зао так как суммы ~ о,гЩ и ~ сг,г(гр1 отличаются только обозначением индексов суммирования. Выражение для свободного члена Поо пам но потребуется. Формулы (2) и (3) выражают искомый закон преобразовании коэффициентов уравнения. Обсудим его. Члены второй степени в уравнении (1) образуют однородный многочлен второй степени.
51ы видим, что его коэффициенты нс меняются при переносе начала координат, а при замене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. Поэтому многочлен и аг С'Сг (4) С1=1 ,о ~ф 1 у2 1 О О ~о 51 52 ав а1 "2 1 1 1 2 2 2 120 121 о 2 Тут переменная ~о не меняется, а для 1' = 1, ..., и к С = ~~' о1С + ос (7) 1 — 1 Если положить дв = ~' = 1, а д1 (1 = 1, ..., ») интерпретировать как декартовы координаты точки и;мерного пространства, то в (7) записано самое общее преобразование декартовой системы координат.
Итак, мы доказали Предложение 2. Ранг и сигнатура большой квадратичной формы (5) не л1енлются при гамене декартовой системы координат. можно рассматривать как квадратичную форму. Назовем ее малой квадратичной формой. Из сказанного вытекает Предложение 1. Ранг и сигнатура малой квадратичной формы (4) не меняются при изменении декартовой системы координат. Получим закон преобразования в друтой форме, позволяющей доказать инвариантность еще двух чисел.
Рассмотрим однородный многочлен нторой степени от и + 1 переменных и и и ~ о ~г~ч = ~ о, ~'~1+2~о,о5'~~+ооо5~5о. (5) г,д=-в Ь1=1 ~=-1 Левая часть (1) получается из (5) при ~о = 1. 51ногочлен (5) можно рассматривать как координатную запись квадратичной формы при некотором выборе базиса в (и + 1)-л1ерном пространстве. Назовем эту квадратичную форму большой квадратичной формой. Ранг и сигнатура этой квадратичной формы не изменятсн, если перейти к другому базису с произвольной матрицей перехода Я порядка и + 1, но нам потребуютсн матрицы перехода, имеюшие специальный вид. Выпишем его при п = 2: Вх.
батая теория линий и поверхностей второго поргдка 251 Поверхность, определяемая уравнением (1), не изменится, если умножить левую часть уравнения на какой-либо отличный от нуля множитель. При этом ранги большой и малой квадратичных форм не изменятся, а сигнатуры могут изменить только знак 1если множитель отрицательный). Отсюда следует Теорема 1. Четыре числа - . ранги и модули сигнатур большой и л1алвй квадратичных форм являются инвариактами поверхности второго порядка.
Обозначим ранг и модуль сигнатуры малой квадратичной формы соответственно через г и а, а ранг и модуль сигнатуры большой квадратичной формы - через Л и Х. 2. Линии второго порядка на плоскости. В теореме 1 5 1 гл. 111 мы показали, что любое уравнение второго порядка на плоскости за счет выбора декартовой прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из девяти канонических видов. В соответствии с этим имеется девять классов уравнений второго порядка. Составляя матрицы большой и малой квадратичных форм для канонических уравнений, мы можем непосредственно усмотреть значения г, а, Л и Х, соответствующие каждому классу. Единственное затруднение нозникает в случае параболы. Матрица большой квадратичной формы для ее канонического уравнения имеет вид О -ро А= -р О О О О 1 Чтобы найти Л и Х, выберем матрицу перехода 1 — 1 О Я= 1 1 О О О 1 Мы получим — 2р О О ЯтАЯ = О 2р О О О 1 и обнаружим, что Л = 3 и Х = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
