Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Нз точки на директрисе проведены две касательные к параболе. Докажите, что онн взаимно перпендикулярны, и отрезок, соединяющий точки касания, проходит через фокус. дХ Линия второго порлдна, заданная олигим уравнением 79 9 3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 1. Пересечение линии второго порядка и прямой. Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением Ахг + 2Вту + Суг + 2Рх+ 2ЕУ+ Е = 0 (1) в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой х =хо+СИ, у =уо+13й (2) Значения параметра г, соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаен|ому подстановкой (2) в (1): А(хо + Ы) + 2В(хо + М)(уо + л61) + С(уо + Я)9+ +2Р(хо+ пг)+2Е(уо+Я+Р = О.
(3) Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение Р1' -~- 2л„Лг + В = О, (4) в котором Р = Аоз + 2ВглД + С~а, Я = (.4хо + Вуо + Р) о + (Вхо + Суо + Е) В, (6) или, при другой группировке слагаемых, О = (Ао+ВЯхо+ (Во+Самуе+ Ро+Елб. (7) Свободный член — это значение многочлена при 1 = О, т. е.
В = Ахо+ 2Вхоуо+ Суо +2Рхо+2Еуо+ Е = О (6) Вообще говоря, уравнение (4) квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны "исключительные" прямые, для которых Р = О, т. е. Апа + 2ВоВ + Срда = О, (9) и, следовательно, уравнение (4) является линейным. В этом случае оно имеет один корень при Ц ф О, а при л.,1 = 0 либо выполнено тождественно (если и В = 0), либо не имеет решений.
Следовательно, "исключительные" прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней великом, или не имеют с ней общих точек. В равенство (9) не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить о и лЗ на общий ненулевой множитель. О п р е д ел е и и е. Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению (9), называется асимптотичесним направлением линии второго порядка. 80 Гл.
1П. Линии и поверхности второго порядки 2. Тип линии. Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив А В В С сформулируем следующее Предложение 1. Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если б < О, одно, если б = О, и ни одного, если б > О. Доказательство. Рассмотрим несколько случаев. 1) Пусть А = С = О. Тогда В ф 0 и б = — Вг < О. Уравнение (9) имеет вид 2Всхд = О, и ему удовлетворнют векторы (1, 0) и (О, 1). 2) Пусть С р': О. Тогда вектор (О, 1) не является решением этого уравнения, и каждое решение можно задать угловым коэффициентом й = о1сг, удовлетворяюшим уравнению С1л + 2Вй+ А = О. Дискриминант этого уравнения равен Вг — АС = — б.
Следовательно, оно имеет два вещественных корин при б < О, один корень при О = 0 и не имеет вещественных корней при б > О. 3) Случай А ф 0 исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать нс угловой коэффициент, а отношение о1'о. Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано. От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак О. Мы определили асимптотическис направления при помощи аналитического условия (9).
Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.
Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотив ческих направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направле- Рес. 39 ния (рис. 39). Поэтому линии второго порядка называются лининми гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направленин. Для линий гиперболического типа б < О, для параболического типа б = О, а для эллиптического б > О. 3.
Диаметр линии второго порядка. Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней 4Х Линия второго порядка, заданная общин уравнениелг 81 не лежат. Таким образом, хорда не может имгеть асимптотического направления. Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.
Мо Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка Рис. 40 Мо(хо, уо) секущей (2) находится в середине хорды, то корни уравнения (4) равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 40). Это будет так в том и только том случае, когда 1'1 = О.
Используя (7), мы получаем, что середины хорд направления (гт,??)~ лежат на прямой (Ао+ В?))х+ (Вп+ СДз)у+ Ргт+ ЕД = О. (10) Определение. Прямая (10) называется диазнетрвм пинии второго порядка, сопряженным направлению (гг, Д). Стоит обратить внимание на то. что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком.
Так может быть, но возмоягно также, что множество середин хорд естви напРимеР, отРсзок или лУч. Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение (10) определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю'? Допустим, что это так, т. е. Ао+ ВД = О, Вгг+ СД = О. Умпожим первое из этих равенств на сг, второе на,З и сложим. Мы получим равенство (9), которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение (10) определнет прямую. 4. Центр линии второго порядка.
Обозначим левую часть ураннения (1) через Ф(х, у) и введем О и редел ение. Точка 0(л:в, уо) называетсн центром линии второго порядка Ф(х, у) = О, если для любого вектора а(о, ~3) выполнено равенство Ф(хо + вь Уо + М = Ф (хо — гг, Уо — Д). (11) По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует нс линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (хо, уо) точки 0 в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению (11). Будут ли *) Мм обозначаем направление номпонентами ненулевого вектора. имеющего это направление.
Ясно, что сг и д интересуют нас с точностью ло общего множителя. 6 Д.В. Беклемишев рл. 1П. Линии и поверхности второго порядка 82 ее координаты (хо, ро) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена Ф(х, р), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что зто так, потому что многочлен Ф так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство Ф(х, Д = Ф(х, р).
Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из 0 сдвигом на векторы а и — а. Ниже мы докажем. что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако поннтие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами., имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой р = О являетсн центром линии с уравпенисмрз+1=0. Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство (11).
Его леван часть равна А(хо + а)з + 2В(хо + сг) (ро + Д) + + С(ро + Щ~ + 211(хо + а) + 2Е(ро + В) + Г. Правая часть отличается от леной только знаками у а и В. Поэтому при вычитании Ф(хо — а, ро — (1) из Ф(хо + а, ро + П) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые а и 3 входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся.
После упрощений мы получаем (.4хо+ Вро+Р)а+ (Вхо+ Сро+ Е)3 = О. (12) Но равенство (11), а вместе с ним и равносильное равенство (12) имеет место при любых а и 11, в частности, при а = 1, Л = О и при а = О, )1 = 1. Отсюда следует, что координаты (хо, рв) центра должны удовлетворять системс уравнений Ахо + Врв + ?д = О, (13) Вхо + Сро + Е = О. Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства (13), то, умножая их на произвольные числа а и )1 и складывая, мы получим (12), а тем самым и (11). Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений (13) согласно предложению 9 8 2 гл. П имеет единственное решение тогда и только тогда, когда (14) Таким образом, условие б ф О необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
