Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина (а,О). С ростом 6 знамонатель убывает, и т растет, стремясь к бесконечности, когда 6 Ркс. ЗЗ приближается к числу 61ла. Прямая у = = Ьх1а с угловым коэффициентом Ь,Ла не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то 6 будет убывать, кг расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом — Ь,ла. К прямой у = — Ьхлла относится все, что было сказано о у = Ьхлла: она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 33. Определение.
Прямые с уравнениями у = Ьхлла и у = — Ьхлла в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Запишем уравнения асимптот в виде Ьх — ау = О и Ьх+ау = О. Расстояния от точки ЛХ(х, у) до асимптот равны соответственно 6л=, 6г= )Ьх — ау( )ух+ ау( ног л-Ьг' члод+Ьг Если точка ЛХ находится на гиперболе, то Ьгхг — агуг = азЬг, и (Ь хг — а у~( агЬ аз+ Ьг аг+РР П ред л о жение 7. Проллзведенлле расстояний от точки гипербольл до асимптот постоянно и равно агуг1 (аг + 6~)Л.
Отсюда следует важное свойство асимптот. Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Действительно, хотя бы одно из расстояний 6л или 6г при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно. Введем число с, пологкив сг = аз + Ьз (10) Уу. Эллипс, гипербола и парабола и с > О. Фокусами гиперболы называются точки Еч и Ез с коорди- Рис.
34. сз=пз-~-Ьг Рис. 35. сг — с1=2п; и, '— сч —— -2п натами (с, 0) и ( — г.,О) в канонической системе координат. Отношение е = с/а, как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы е > 1. Предложение 9. Расстояния от произвольной точки М(х,у) ка гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: гг = ~ргМ~ = ~а — ех~, гз = ~Г М~ = ~а+ "х!. (11) Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательствоги предложения 2, и гиы не будем его воспроизводить. Заметим., что равенства (11) можно подробнее записать так: для правой ветви гиперболы (х > а) г1 — — гх — а, гз = эх+а; для левой ветви гиперболы (х ( -а) гг — — а — ех, чз = — гх — а.
Итак, для правой ветви гз — гч = 2а, а для левой ветви гг — гз = = 2а. В обоих случаях ~гг — гг) = 2и. (12) Предложение 10. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной вели шке равнялась вещественной оси гиперболы 2а. Необходимость условии уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде чЧ* — г-~»г=+'"+ '(*-'-.)'-'-и. Дальнейшее отличается от доказательства предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2). Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравненинми а о. х= —, х= — —. (13) Е г Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствуюшими друг другу.
тб Гл. ХП. Линии и поверхности второго порядка Предложение 11. Для того чтобы тпочка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фоку- М са к расстоянию до соответствующей директрисы раен лось эксцентриситвту е (рис. 36). Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса Е ( — с, 0). Пусть ЛХ'(х, у) точка гиперболы. Расстояние от ЛХ' до директрисы с уравнением х = — аХб по формуле (9) б 3 гл. П равно й = ~х-Ь вЂ” = — ~вх+ а~. Из формулы (11) мы видим теперь, что г'7'й' = г.
Уравнение касательной к гиперболе в точке ЛХо(хо.уо), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид :,в — — "",в = 1. (14) Предложение 12. ХХасательнал к гиперболе в точке ЛХо(хо,уо) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусалщ. Доказательство почти не отличается от доказательства предложения 5. Рекомендуем читателю полностью провести доказательства этого и остальных утверждений, здесь сформулированных, но не доказанных для гиперболы. 3.
Парабола. Параболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоутольной системе координат определяется капоническиги уравнением уз = 2рх (15) при условии р > О. Из уравнении (15) вытекает, что для всех точек параболы х > О. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Форма параболы известна из курса средней школы, где она нстречаетсн в качество графика функции у = ахг. Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством 2р = а '.
Фокусом параболы называется точка Р с координатами (р/2,0) в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением х = — р/2 в канонической системе координат (Рб) на рис. 37). Ху. Эллипс, гипербола и парабола 77 Предложение 13. Расстояние от точки М(х,у), лежащей на параболе., до фокуса равно г=х+ р. 2 (1б) Для доказательства вычислим квадрат расстояния от точки М(х, у) до фокуса по координатам этих точек; га = (х— — р/2)~ + уг и подставим сюда уг из канони- р!2 р72 ческого уравнения параболы.
Л!ы получаем гг = (х — Р) + 2рт = (х+ Р) р е, Отсюда в силу х > О следует равенство (16). Заметим, что расстояние от точки ЛХ до директрисы по формуле 9 2 2 гл. П также равно д = х -~- —. 2 ЛХ Отсюда вытекает необходимость следующего условин. Рис. 37. п=а Предложение 14. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы эгпой параболы. Докажем достаточность.
Пусть точка ЛХ(х, у) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы: 1 ( 2) 2 Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные чле- ны, мы получаем из него уравнение параболы (15). Это заканчивает доказательство. Параболе приписывается эксцентриситет в = 1. В силу этого соглашения формула верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке ЛХо(хо,уо), лежащей на ней. Пусть уо ф О. Через точку ЛХо проходит график функции у = Х(х), целиком лежащий на параболе.
(Это у = тХ2рх хили же у = = — т/2рхп смотря по знаку уо.) Для функции Х(х) выполнено тождество (Х(х))2 = 2рх, дифференцируя которое имеем 2 Х(х)Х'(х) = 2р. Подставляя х = хо и Х(хо) = уо, находим Х'(хо) = р7'уо Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе у уо = — (х — хо). р уп Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что у~г = 2рхо. Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид ууо = р(х + хо) г"л. ХП. Линии и поверхности второго порядка Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив уо ф О, уравнение (17) превращается в уравнение х = О, т.
е. в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение (17) справедливо для любой точки на параболе. Предложение 15. Касательная к параболе в точке ЛХо есть биссектриса угли, смежного с углом между отрезком, который соединяет ЛХо с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 38). Доказательство Рассмотрим касательную в точке ЛХо(хо,уо). Из уравнения (17) получаем ее направлнющий нектар у(уо,р).
Значит, )ъ,ег) = уо и сов угг = уо! ~у~. Вектор РЛХо имеет компоненты хо — р1'2 и уо, а потому ЖЛХо, у) = хоро — - уо + руо = уо) хо + -). р1 2' ' )~ 2) Но ~ЕИо~ = хо + Р)2. СлсДовательно, сов 1ог = Уо)~м~, Это заканчивает доказательство. Заметим, что ~ГХ~ = ~р'Мо~ (см. рис. 38). Упражнения 1. Докал1ите, что вершины гиперболы и точки пересечении ее асимптот с директрисами лежат на одной окружности.
2. Фокус эллипса (гиперболы или параболы) делит проходящую через него хорду на отрезки длины и н е. Докажите, что сумма 11и -~- 1)о постоянна. 3. Выведите уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат, приняв за полюс фокус, а за полярную ось -луч, лежащий на оси симметрии и не пересекающий директрису, соответствующую данному фокусу. 4. На плоскости нарисованы эллипс н парабола вместе с нх осями симметрии. Как с помощью циркуля и линейки построить их фокусы и директрисы7 Тот же вопрос относительно гиперболы.
у которой нарисованы асимптоты. (Задача построения осей симметрии и асимптот решается на основании материала 8 3.) б. Пусть и и е - длины двух взаимно перпендикулнрных радиусов эллипса. Найдите сумму 11и + 11о . б. Найдите кратчайшее расстояние от параболы у = 12х до примой х— — у-87=8. 7. Докажите, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами гиперболы, делится пополам точкой касания. 8. В уравнение касательной к эллипсу (8) в качестве хь и уь подставлены координаты точки, лежащей не на эллипсе, а вне эллипса. Как расположена получившаяся прямая7 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
